서울 중랑구 혜원여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 중랑구 혜원여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원이고, 상 난이도는 없습니다. 중 난이도가 12문항으로 절반이 넘고, 하 6문항은 1~7번 안에 모여 있습니다.

핵심 요약

• 22문항. 정답 기록 기준 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 기록
• 난이도: 하 6 / 중 12 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2
• 반복 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이 2회(14·21번), 상수 구간 정적분 등식 2회(15·20번)
• 중상 4문항: 13·15·18·22번

혜원여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

혜원여자고등학교는 서울 중랑구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 내신판 정답 기록에는 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

미분 파트(04·05·06 단원)는 9문항, 적분 파트(07·08·09 단원)는 13문항입니다. 범위 라벨인 '도함수의 활용'부터 '정적분의 활용'까지와 실제 배치 단원이 일치합니다.

문항 순서는 단원 순이 아닙니다. 1번이 정적분 계산이고, 2·3번이 접선과 증가·감소, 4번이 다시 움직인 거리입니다. 미분과 적분이 번갈아 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 12문항

1~7번 중 4번만 중이고 나머지 여섯 문항은 하입니다. 8번부터는 하 난이도가 없습니다.

상 난이도가 없고 중상도 4문항이라, 손을 못 댈 문항은 적은 시험입니다. 대신 중 12문항에서 계산 실수를 줄이는 것이 점수를 가릅니다. 중상 네 문항은 13·15·18·22번으로 뒷부분에 흩어져 있습니다.

출제 단원 — 08 정적분·09 정적분의 활용 각 5문항

08 정적분과 09 정적분의 활용이 5문항씩입니다. 09 정적분의 활용 5문항은 모두 중 난이도이고, 08 정적분 5문항 중 15·22번 두 문항이 중상입니다.

시그니처 — 넓이 세 문항과 상수 구간 정적분 등식

넓이를 구하는 문항이 세 개입니다.

• 14번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(짝 대칭 곡선과 축 사이 넓이)
• 17번 중 두 곡선 사이의 넓이(차함수로 두 곡선 사이 넓이)
• 21번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(정적분 영점으로 곡선 넓이)

14번과 21번은 같은 유형입니다. 교점을 구해 구간을 나누고 적분하는 흐름은 같지만, 14번은 대칭을, 21번은 정적분 값이 0이라는 조건을 이용해 다른 근을 찾습니다.

정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우) 도 15번(중상)과 20번(중) 두 번 나왔습니다. 상수인 정적분을 문자로 놓고 연립하는 것이 공통 출발점입니다.

빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)

1. 정적분 (1·12·15·20·22번) — 5문항

1번 하 정적분의 계산, 적분 구간이 같은 경우(원시함수로 정적분 계산), 12번 중 우함수·기함수의 정적분(대칭 구간을 대응한 정적분), 15번 중상 정적분을 포함한 등식, 아래끝과 위끝이 상수인 경우(단위 구간 적분의 점화 관계), 20번 중 같은 유형(고정 정적분 상수 연립), 22번 중상 함수의 증가와 감소 · 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분(복원한 함수의 구간 적분).

15번은 단위 구간 적분 사이의 관계를 이용하고, 이를 이어 가며 목표 구간의 적분을 구하는 문항입니다.

22번은 도함수 조건으로 함수를 먼저 복원한 뒤, 세 구간으로 나눠 정적분을 계산합니다.

2. 정적분의 활용 (4·14·16·17·21번) — 5문항, 모두 중

4번 중 움직인 거리(속도 부호로 이동 거리 적분), 14번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 중 함수와 그 역함수의 정적분(역함수 경계와 정적분 계산), 17번 중 두 곡선 사이의 넓이, 21번 중 곡선과 x축 사이의 넓이.

4번은 속도가 0이 되는 시각에서 구간을 나눠 절댓값 적분으로 움직인 거리를 구합니다.

16번 역함수의 정적분은 직사각형 넓이와 원래 함수의 적분의 차로 계산합니다.

3. 도함수의 활용 (2) (3·8·10·13번) — 4문항

3번 하 함수의 증가와 감소(증감 경계로 도함수 복원), 8번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소(도함수 그림과 전역 극값 판단), 10번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(양 끝과 극점 값으로 계수 결정), 13번 중상 함수의 극대·극소의 활용(접촉 중근으로 극값 차 계산).

10번은 구간 양 끝 값과 극값을 비교해 최댓값·최솟값을 정하고 두 계수를 연립합니다.

13번은 접한다는 조건을 중근으로 바꿔 삼차함수의 극점을 찾고 극값의 차를 구합니다.

4. 부정적분 (5·6·9번) — 3문항

5번 하 부정적분과 미분계수(부정적분 미분계수 극한), 6번 하 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기(부정적분 등식으로 함수 결정), 9번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(부정적분 관계 미분과 초기값).

6·9번 모두 항등식을 미분하는 것이 출발점입니다. 9번은 미분한 뒤 초기값으로 적분상수까지 정해야 합니다.

5. 도함수의 활용 (3) (7·18·19번) — 3문항

7번 하 속도(낙하 위치로 도달 속도 계산), 18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(사차함수와 수평선의 실근 수), 19번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(열린 경계 포함한 부등식 조건).

18번은 수평선 y=k의 높이에 따라 근의 개수가 어떻게 달라지는지 나눠 보고, 접하는 높이를 역으로 구합니다.

19번은 구간 왼쪽 끝이 열려 있다는 점에 주의해야 합니다. 끝점 값과 내부 극솟값을 비교합니다.

6. 도함수의 활용 (1) (2·11번) — 2문항

2번 하 접선의 방정식, 접점의 좌표가 주어진 경우(접점에서 접선 계수 대입), 11번 중 접선의 방정식, 기울기가 주어진 경우(같은 기울기 접선의 양수 절편).

11번은 기울기 조건을 만족하는 접점이 두 개 나오고, 그중 절편이 양수인 쪽을 고릅니다.

주의 문항 — 중상 4문항

13번 중상 (극대·극소의 활용) — 접한다는 조건을 중근 구조로 바꾸는 것이 핵심입니다.

15번 중상 (단위 구간 적분의 관계) — 관계식을 여러 번 이어 써야 해 계산이 길어집니다.

18번 중상 (방정식의 실근의 개수) — 수평선 높이별로 경우를 나눕니다.

22번 중상 (함수 복원과 구간 적분) — 마지막 문항입니다. 복원 단계에서 틀리면 뒤 계산이 모두 어긋납니다.

혜원여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산, 접선의 방정식 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 증가·감소, 속도 — 3·7번 대비.
3. 부정적분과 미분의 관계 — 5·6·9번 대비.
4. 움직인 거리 — 4번 대비.
5. 도함수 그래프와 극대·극소 — 8번 대비.
6. 최대·최소로 미정계수 결정 — 10번 대비.
7. 기울기가 주어진 접선 — 11번 대비.
8. 우함수·기함수의 정적분 — 12번 대비.
9. ★ 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 14·17·21번 대비.
10. 역함수의 정적분 — 16번 대비.
11. 부등식이 항상 성립할 조건 — 19번 대비.
12. ★ 정적분을 포함한 등식(상수 구간) — 15·20번 대비.
13. 극대·극소의 활용(접할 조건) — 13번 대비.
14. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 18번 대비.
15. 함수 복원과 구간별 정적분 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

혜원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 내신판 정답 기록에는 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분과 09 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2) 4문항, 07 부정적분과 06 도함수의 활용 (3)이 각 3문항, 04 도함수의 활용 (1) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 4문항(13·15·18·22번)입니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 6문항(1·2·3·5·6·7번) 으로 모두 앞쪽에 있습니다.

과년도 혜원여고 기출도 볼 수 있나요?

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