환일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

환일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 분석된 문항이 총 18문항입니다. 구성이 아주 깔끔합니다. 1~9번은 전부 도함수의 활용, 10~18번은 전부 정적분·정적분의 활용입니다. 상 난이도는 한 문항도 없고, 대신 중상 6문항이 앞뒤에 나뉘어 있습니다.

핵심 요약

• 18문항 — 정답 기록 기준 18문항 모두 선택형 정답(①~⑤)
• 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 6 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 반복 유형: 정적분을 포함한 등식 3회(12·13·16번)
• 주의 구간: 2·3번이 연속 중상. 시험지 앞쪽부터 어렵습니다.

환일고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

환일고등학교는 서울 중구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 18문항이고, 정답 기록에는 18문항 모두 ①~⑤ 선택형 정답이 적혀 있습니다.

배치 단원은 번호 순서와 정확히 맞물립니다.

• 1~9번 (9문항) — 04·05·06 도함수의 활용
• 10~18번 (9문항) — 08 정적분 7, 09 정적분의 활용 2

미분과 적분이 9문항씩 정확히 반반입니다. 배치 단원 기준으로 07 부정적분 단원 문항은 없습니다. 적분 파트는 처음부터 정적분으로 시작합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0, 중상 6

상 난이도가 없다는 것이 첫 번째 특징입니다. 손을 댈 수 없는 문항은 없다는 뜻이고, 그만큼 중 8문항에서의 실수가 점수 차이로 바로 이어집니다.

두 번째 특징은 중상 배치입니다. 미분 파트에서는 2·3·5번으로 시험 초반에 몰려 있고, 적분 파트에서는 14·16·18번으로 후반에 흩어져 있습니다. 1번(하)을 풀고 나면 곧바로 중상 두 문항이 이어지니, 막히면 표시하고 4번으로 넘어가는 판단이 필요합니다.

하 4문항 중 3문항(10·11·12번)이 적분 파트 첫머리에 연속으로 있습니다. 미분 파트에서 시간을 썼더라도 10~12번은 빠르게 확보할 수 있는 구간입니다.

출제 단원

08 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 그중 하 3, 중 3, 중상 1(16번)이라 난이도는 고른 편입니다. 09 정적분의 활용은 2문항뿐이지만 둘 다 중상(14·18번) 입니다.

시그니처 유형 — 정적분을 포함한 등식 3회

• 12번 하 — 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(미적분의 기본정리와 초깃값으로 함수 결정)
• 13번 중 — 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우(정적분 값을 상수로 놓고 처리)
• 16번 중상 — 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(항등식 미분, 아래끝 초깃값, 조건 연립)

같은 유형이 하 → 중 → 중상으로 한 단계씩 올라갑니다. 12번에서 양변을 미분하고, 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 넣어 초깃값을 얻는 기본 절차를 확실히 익혀 두면 16번까지 같은 틀로 접근할 수 있습니다.

실근 문항도 두 개입니다.

• 5번 중상 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(중심에 대해 대칭인 삼차함수, 절댓값, 보기 판정)
• 8번 중 — 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(삼차방정식 실근의 부호와 정수 계수)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1~9번) — 9문항

1번 하 곡선과 직선이 접할 때(x축에 접할 조건으로 계수 구하기), 2번 중상 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건(증가 조건의 계수 경계와 최솟값), 3번 중상 속도·가속도와 운동 방향(두 점의 상대 위치 극대와 방향 전환), 4번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(반직선에서 항상 양수가 되는 계수), 5번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 6번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(사차함수 극값 좌표로 만든 삼각형 넓이), 7번 중 최대·최소의 활용; 길이(직사각형 둘레의 최솟값), 8번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 9번 중 함수의 최대·최소(구간 최댓값).

06 도함수의 활용 (3) 네 문항(3·4·5·8번) 은 운동, 부등식, 실근 개수, 실근 부호로 유형이 모두 다릅니다. 한 유형만 깊게 파기보다 단원 전체 유형을 한 번씩 훑는 준비가 맞습니다.

3번 운동 방향 문항은 두 점의 위치 차이를 함수로 보고 그 극댓값을 다루는 문항입니다. 속도 부호가 바뀌는 순간이 방향 전환이라는 기본 원리를 먼저 정리해 두세요.

2. 정적분 (10·11·12·13·15·16·17번) — 7문항

10번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우(적분 구간 합치기와 홀수차 항 소거), 11번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 12·13·16번 정적분을 포함한 등식, 15번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우(원시함수 대칭과 삼차함수 미분값), 17번 중 주기함수의 정적분(구간을 나눠 적분).

17번 주기함수의 정적분은 주기를 이용해 구간을 옮긴 뒤, 조각으로 나눈 구간을 각각 적분하는 문항입니다.

3. 정적분의 활용 (14·18번) — 2문항, 둘 다 중상

14번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우(구간이 움직이는 적분과 넓이), 18번 중상 위치와 위치의 변화량(두 점의 상대 위치와 양의 시각에서 만나는 횟수).

18번은 3번과 짝을 이룹니다. 3번이 미분으로 두 점의 상대 위치를 다뤘다면, 18번은 적분으로 상대 위치를 구해 두 점이 몇 번 만나는지 셉니다.

주의 문항 — 중상 6문항

2번 중상 — 증가 조건에서 계수 범위를 정하고 최솟값까지 구합니다. 시험 두 번째 문항부터 중상입니다.

3번 중상 — 두 점의 상대 위치와 방향 전환을 함께 다룹니다.

5번 중상 — 대칭인 삼차함수에 절댓값이 얹힌 실근 개수 문항으로, 보기를 모두 판정해야 합니다.

14번 중상 — 적분 구간이 움직이는 넓이 문항입니다.

16번 중상 — 정적분 등식 세 문항 중 가장 어려운 단계입니다.

18번 중상 — 마지막 문항입니다. 상대 위치와 만나는 횟수를 따집니다.

환일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 곡선과 직선이 접할 조건 — 1번 대비.
2. 정적분의 계산, 정적분 함수의 극한 — 10·11번 대비. 확보 구간.
3. ★ 정적분을 포함한 등식(기본 → 응용) — 12·13·16번 대비. 이 시험의 시그니처입니다.
4. 삼차함수의 증가 조건 — 2번 대비.
5. 속도·가속도와 운동 방향 — 3번 대비.
6. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 4번 대비.
7. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수와 부호 — 5·8번 대비.
8. 극값을 이용한 미정계수 결정, 최대·최소의 활용(길이) — 6·7번 대비.
9. 구간에서의 최댓값 — 9번 대비.
10. 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 없는 경우) — 15번 대비.
11. 주기함수의 정적분 — 17번 대비.
12. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 14번 대비.
13. 위치와 위치의 변화량, 두 점이 만나는 조건 — 18번 대비.

자주 나오는 질문

환일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 18문항입니다. 정답 기록에는 18문항 모두 ①~⑤ 선택형 정답이 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 각 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상 6문항(2·3·5·14·16·18번)입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 난이도는 1번과 10·11·12번입니다. 적분 파트 첫 세 문항이 연속으로 하입니다.

과년도 환일고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 시험지만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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