계원예술고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

계원예술고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원 전부에 걸쳐 있습니다. 미분 파트 10문항, 적분 파트 13문항으로 적분 쪽이 조금 더 무겁고, 중상 4문항이 20~23번 마지막 네 자리에 몰려 있는 구조입니다.

핵심 요약

• 23문항. 정답 기록 기준 23문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 기록
• 난이도: 하 7 / 중 12 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 07 부정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 09 정적분의 활용 3
• 최다 반복 유형: 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분 3회(12·13·14번)
• 중상 4문항: 20·21·22·23번, 시험지 맨 끝에 연속 배치

계원예술고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

계원예술고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 정답 기록 기준으로는 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

배치는 번호 순서와 단원 순서가 대체로 맞아떨어집니다. 1~6번이 미분(도함수의 활용), 7~15번이 적분(부정적분·정적분·넓이) 이고, 16~18번에서 속도·위치 문항으로 미분과 적분을 오간 뒤, 19번 정적분을 거쳐 20~23번 중상 네 문항으로 끝납니다.

눈여겨볼 점은 마지막 네 문항이 다시 단원을 섞는다는 것입니다. 20번과 23번은 04 도함수의 활용 (1)의 접선, 21번은 07 부정적분, 22번은 09 정적분의 활용입니다. 앞에서 단원별로 풀어온 흐름이 끝에서 한 번 더 뒤섞입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 12문항

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 대신 중 난이도가 12문항으로 절반을 넘습니다. 1~19번 안에는 중상이 하나도 없고, 중상은 20번부터 23번까지 연속입니다.

이 배치는 시간 운영에 바로 영향을 줍니다. 앞의 19문항은 하·중으로만 구성돼 있어 막히지 않고 넘어가는 속도가 중요하고, 남은 시간을 마지막 네 문항에 몰아 써야 합니다. 앞쪽 중 난이도에서 한두 문항을 오래 붙잡으면 중상 네 문항을 볼 시간이 그대로 줄어듭니다.

하 7문항은 1·2·7·8·10·16·17번에 흩어져 있습니다. 평균값 정리, 접점이 주어진 접선, 부정적분과 미분의 관계, 도함수로 함수 구하기, 우함수·기함수의 정적분, 위로 던진 물체, 위치의 변화량이 여기에 해당합니다. 반드시 확보해야 할 구간입니다.

출제 단원 — 08 정적분 6문항이 최다

08 정적분이 6문항으로 가장 많고, 나머지 다섯 단원은 3~4문항씩 나눠 가졌습니다. 범위 라벨은 '접선의 방정식~속도와 거리'이고, 실제 배치도 04 단원 접선부터 09 단원 위치의 변화량까지 그대로 이어집니다.

대단원으로 묶으면 미분 10문항(43%), 적분 13문항(57%) 입니다. 중상 4문항은 미분 2문항(20·23번), 적분 2문항(21·22번)으로 반반입니다. 어느 한쪽만 대비해서는 마지막 구간을 넘기 어렵습니다.

시그니처 유형 — 절댓값이 들어간 정적분 3연속

이 시험에서 가장 눈에 띄는 구간은 12·13·14번입니다. 세 문항이 모두 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수이고, 번호까지 연속으로 붙어 있습니다.

같은 유형이지만 세 문항은 나누는 기준이 다릅니다.

• 12번 함수의 부호를 나누어 절댓값 적분을 계산
• 13번 이차식의 영점을 기준으로 절댓값 적분을 나눔
• 14번 두 절댓값의 영점별로 구간을 나누어 적분

공통 뼈대는 절댓값 안이 0이 되는 점을 먼저 찾고, 그 점에서 구간을 쪼갠다는 것입니다. 12번에서 부호 분리, 13번에서 이차식의 두 근, 14번에서 절댓값 두 개로 단계가 하나씩 늘어나는 구성이라, 구간 분할을 손에 익혀 두면 세 문항이 한 번에 열립니다.

여기에 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소가 5·6번에 두 번 나왔습니다. 5번은 도함수의 부호 변화로 원함수의 개형을 고르는 문항, 6번은 도함수의 부호와 영점을 읽어 보기들을 판정하는 문항입니다. 도함수 그래프에서 x축 위·아래를 읽는 연습이 두 문항을 함께 해결합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) — 접선·평균값 정리 (1·2·20·23번) — 4문항

1번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 2번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 20번 중상 곡선과 직선이 접할 때, 23번 중상 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이.

1·2번은 시험지 첫 두 문항입니다. 1번은 평균 기울기와 도함수를 같게 놓아 값을 구하는 문항, 2번은 주어진 접점에서의 미분계수로 접선의 식을 세우는 문항입니다. 공식 대입으로 끝나는 확보 문항입니다.

같은 단원이 마지막에 중상 두 문항으로 다시 나옵니다. 20번은 접선이 수평인 두 후보와 양수 조건으로 계수를 정하는 문항이고, 23번은 두 접선과 축의 교점을 구해 삼각형 넓이를 구하는 문항입니다. 23번은 곱의 미분으로 두 번째 접선을 구하는 과정이 들어가 있어 계산 단계가 깁니다.

2. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소 (3·5·6번) — 3문항, 전부 중

3번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 6번 같은 유형.

3번은 극값과 도함수가 0이 되는 조건으로 두 계수를 정하는 문항입니다. 연립한 뒤 극대인지 부호로 확인하는 단계까지 챙겨야 합니다. 5·6번은 위에서 말한 도함수 그래프 해석입니다. 도함수가 0인 점이라고 모두 극값은 아니라는 것, 부호가 바뀌어야 극값이라는 구분이 두 문항의 핵심입니다.

3. 도함수의 활용 (3) — 실근의 개수·속도와 위치 (4·16·18번) — 3문항

4번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 하 위로 던진 물체의 위치와 속도, 18번 중 위치의 그래프의 해석.

4번은 극댓값과 극솟값을 비교해 실근의 개수를 정하는 표준 유형입니다. 두 극값을 구하고 y=k가 어디를 지나는지 경계와 비교하면 됩니다.

16번은 시간에 따른 높이가 최대가 되는 순간을 구하는 문항입니다. 속도가 0이 되는 시각을 찾아 대입하는 정형 계산이라 하 난이도입니다. 18번은 위치 그래프의 증감과 축과의 교점을 읽어 운동을 판정합니다. 그래프에서 방향이 바뀌는 지점과, 위치와 속도의 차이를 구분할 수 있어야 합니다.

4. 부정적분 (7·8·9·21번) — 4문항

7번 하 부정적분과 미분의 관계; d/dx∫f(x)dx=f(x), 8번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 9번 중 부정적분과 함수의 연속성, 21번 중상 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기.

7·8번은 기본 확인 문항입니다. 8번은 도함수를 적분하고 초기값으로 적분상수를 정하는 한 호흡짜리 계산입니다.

9번은 0이 아닌 점에서 함수를 구한 뒤 연속성을 적용해 나머지 값을 정하는 문항입니다.

21번은 덧셈 꼴 항등식에서 출발해 도함수의 정의로 함수식을 만들고, 초기값을 이용해 적분하는 3단계 문항입니다. 항등식에서 초기값을 먼저 확보하는 것이 출발점입니다.

5. 정적분 (10·11·12·13·14·19번) — 6문항

10번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우, 11번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 12·13·14번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 19번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한.

10번은 정적분의 차를 하나로 합친 뒤 홀수 함수 성질을 적용합니다. 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라진다는 것만 기억하면 됩니다.

11번은 적분 아래끝의 값을 대입해 상수를 정한 뒤 양변을 미분하는 문항입니다. 대입과 미분, 두 동작의 순서를 정확히 지키면 됩니다.

19번은 lim 1/(x-a)∫f(t)dt 꼴의 극한에 분모 인수분해가 결합된 형태입니다. 분모를 먼저 인수분해해 적분 평균 꼴을 만들어야 공식이 적용됩니다.

6. 정적분의 활용 (15·17·22번) — 3문항

15번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우, 17번 하 위치와 위치의 변화량, 22번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이.

15번은 곡선의 영점과 부호로 x축 사이의 넓이를 구하는 문항입니다. 17번은 초기 위치에 속도의 정적분을 더해 위치를 구하는 기본 문항입니다.

22번이 이 단원의 고비입니다. 역함수와의 대칭을 이용해 넓이를 바꿔 보고, y=x 위의 교점을 찾아 적분하는 3단계 구성입니다. 대칭으로 넓이를 옮긴다는 발상을 먼저 떠올려야 합니다.

주의 문항 — 중상 4문항

20번 중상 (곡선과 직선이 접할 때) — 접점 후보가 두 개 나오고, 양수 조건으로 하나를 골라야 합니다.

21번 중상 (항등식과 도함수의 정의로 함수 구하기) — 항등식, 도함수의 정의, 적분이 차례로 이어지는 3단계 문항입니다.

22번 중상 (역함수의 대칭을 이용한 넓이) — 수학Ⅱ 넓이 단원에서 낯설게 느낄 수 있는 유형입니다.

23번 중상 (접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이) — 접선 두 개를 구하고 교점으로 삼각형을 만드는 긴 계산입니다.

네 문항이 모두 3단계 풀이입니다. 각 단계는 앞 단원에서 이미 연습한 기본 동작이지만, 이어 붙이는 순서를 놓치면 중간에서 멈추게 됩니다.

계원예술고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 평균값 정리와 접선의 방정식 — 1·2번 확보 구간.
2. 극대·극소 조건으로 미정계수 결정 — 3번 대비. 극대인지 부호 확인까지.
3. ★ 도함수 그래프 읽기 — 5·6번 대비. 부호가 바뀌어야 극값.
4. f(x)=k의 실근의 개수 — 4번 대비. 두 극값과 y=k 비교.
5. 위로 던진 물체, 위치 그래프 해석 — 16·18번 대비.
6. 부정적분 기본과 적분상수 결정 — 7·8번 확보 구간.
7. 구간별 적분과 연속성 — 9번 대비.
8. 우함수·기함수의 정적분 — 10번 대비.
9. 정적분을 포함한 등식 — 11번 대비. 대입 먼저, 미분 다음.
10. ★ 절댓값이 들어간 정적분 — 12·13·14번 대비. 이 시험의 시그니처.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 19번 대비. 분모 인수분해 연습.
12. 곡선과 x축 사이의 넓이, 위치의 변화량 — 15·17번 대비.
13. 곡선과 직선이 접하는 조건, 접선으로 만든 삼각형 넓이 — 20·23번 대비.
14. 항등식과 도함수의 정의 — 21번 대비.
15. 역함수 대칭을 이용한 넓이 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

계원예술고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 23문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 04 도함수의 활용 (1)과 07 부정적분이 각 4문항, 나머지 세 단원이 각 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 4문항(20·21·22·23번)이고, 모두 시험지 맨 끝에 연속으로 배치돼 있습니다.

미분과 적분 중 어디에 더 비중을 둬야 하나요?

문항 수는 적분 13문항, 미분 10문항으로 적분이 조금 더 많습니다. 중상은 양쪽에 2문항씩이라 한쪽만 대비하면 마지막 구간에서 막힙니다.

속도와 거리 문항은 몇 개인가요?

16·17·18번 세 문항입니다. 16번 위로 던진 물체, 17번 위치의 변화량은 하 난이도이고, 18번 위치 그래프 해석이 중 난이도입니다.

과년도 계원예술고 기출도 볼 수 있나요?

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