늘푸른고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

늘푸른고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 07 명제 · 08 함수 · 09 유리식과 유리함수 · 10 무리식과 무리함수 네 단원이고, 그중 함수 9문항, 명제 7문항이 전체의 80%를 차지합니다. 중상 6문항에 상 2문항까지 있어, 어려운 문항이 전체의 40%인 시험입니다.

핵심 요약

• 20문항. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
• 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 08 함수 9 / 07 명제 7 / 10 무리식과 무리함수 3 / 09 유리식과 유리함수 1
• 반복 유형: 일대일대응이 되기 위한 조건 2회(12·17번), 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식 2회(15·18번)
• 상 2문항: 18번(선택형 마지막), 20번(서술형 마지막)

늘푸른고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 총 20문항이고, 정답 기록 기준 1~18번이 선택형, 19·20번이 서술형입니다.

범위 라벨은 '명제~무리함수'이고, 실제 배치도 07 명제부터 10 무리식과 무리함수까지입니다. 다만 비중은 고르지 않습니다. 08 함수가 9문항으로 가장 많고, 09 유리식과 유리함수는 7번 한 문항뿐입니다. 유리함수와 무리함수를 합쳐도 4문항이라, 이 시험의 중심은 명제와 함수입니다.

배치 순서는 단원별로 묶여 있지 않습니다. 1번이 함수, 2·3번이 명제, 4·5번이 함수, 6번이 무리함수, 7번이 유리함수로, 앞쪽부터 단원이 번갈아 나옵니다. 명제와 함수를 따로 공부했더라도 시험장에서는 두 단원을 계속 오가며 풀어야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 6문항, 상 2문항

하 난이도는 1·2번 두 문항뿐입니다. 3번부터는 전부 중 이상입니다. 쉬운 문항으로 시간을 벌 수 있는 구간이 짧다는 뜻입니다.

중상은 8번에서 처음 나오고, 12번부터 17번 사이에 다섯 문항이 몰려 있습니다. 이어서 18번이 상, 서술형 20번도 상입니다. 결국 12번 이후 선택형 7문항 가운데 6문항이 중상 이상이고, 서술형 마지막 문항까지 상이라 후반부가 매우 무겁습니다.

중 난이도 10문항 중 9문항은 1~14번 사이에 있습니다. 앞쪽 중 난이도에서 실수 없이 점수를 지키는 것이 이 시험의 기본 전략입니다.

출제 단원 — 08 함수 9문항, 07 명제 7문항

함수 단원이 45% 입니다. 그리고 함수 9문항 중 중상 3문항(12·15·17번)과 상 2문항(18·20번) 이 들어 있습니다. 어려운 문항 8개 가운데 5개가 함수 단원입니다.

명제 7문항에는 중상 2문항(13·16번) 과 서술형 19번이 있습니다. 무리함수 3문항 중에서는 8번이 중상입니다. 유리함수는 7번 한 문항, 중 난이도입니다.

시그니처 유형 — 구간별로 정의된 함수와 일대일대응

이 시험의 고난도 문항은 대부분 구간별로 나뉜 함수를 다룹니다.

• 12번 중상 일대일대응이 되기 위한 조건 — 조각별 치역의 열린 경계를 맞춰 일대일대응을 만드는 문항
• 15번 중상 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식 — 합성 입력의 분기 경계를 나누어 허용되는 해를 합하는 문항
• 17번 중상 일대일대응이 되기 위한 조건 — 두 조각의 치역을 겹치지 않게 맞추고 원상을 구하는 문항
• 18번 상 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식 — 고정점과 역상의 개수를 나누어 두 조각의 계수를 정하는 문항

네 문항의 공통점은 경계에서 무슨 일이 일어나는지입니다. 12·17번은 두 조각의 치역이 겹치지도, 비지도 않도록 경계를 맞추는 문제이고, 15·18번은 합성할 때 어느 조각의 식을 써야 하는지 경계를 나누는 문제입니다. 구간별 함수의 그래프를 직접 그려 보고 경계값을 확인하는 습관이 네 문항을 함께 해결합니다.

18번은 4단계 풀이입니다. 계수의 부호에 따라 고정점 개수를 나누고, 한쪽 부호를 배제한 뒤, 중근 조건을 세우고 마지막에 역상의 개수를 다시 확인해야 합니다. 경우를 나누는 기준을 처음에 정확히 세우는 것이 관건입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수 기초 — 역함수·합성함수·항등함수 (1·4·5·10번) — 4문항

1번 하 역함수와 함숫값, 4번 중 합성함수와 역함수, 5번 중 항등함수와 상수함수, 10번 중 역함수가 존재하기 위한 조건.

1번은 역함수의 함숫값을 원래 함수의 값으로 바꿔 계산하는 문항입니다. f⁻¹(a)=b이면 f(b)=a라는 관계 하나로 끝납니다.

4번은 합성함수의 값을 구하고, 다른 합성함수에서 원래 입력값을 찾는 문항입니다. 안쪽 합성을 먼저 계산하고 바깥 역함수는 방정식으로 풉니다.

5번은 항등함수가 되는 조건에서 가능한 정의역의 개수를 세는 문항입니다. f(x)=x를 만족하는 실근을 구한 뒤, 그 근들로 만들 수 있는 공집합이 아닌 부분집합을 셉니다.

10번은 역함수가 존재하도록 구간 양 끝을 대응시켜 계수를 구합니다. 계수의 부호에 따른 두 경우를 모두 따져야 합니다.

2. 일대일대응과 구간별 함수 (12·15·17·18번) — 4문항, 중상 3 · 상 1

위 시그니처 유형에서 설명한 네 문항입니다. 12·17번은 일대일대응, 15·18번은 합성함수 방정식입니다. 이 네 문항이 함수 단원의 핵심이자 시험 전체의 고비입니다.

3. 서술형 20번 — 합성함수의 구간별 최댓값·최솟값 (상)

20번 상 합성함수의 구간별 최댓값·최솟값.

움직이는 구간에서의 최대 조건으로 이차함수를 정하는 서술형입니다. 감소함수가 보내는 구간을 먼저 구하고, 구간이 움직여도 최댓값이 일정하다는 조건에서 꼭짓점을 추론한 뒤, 나머지 조건을 확인해 최종값을 구합니다. 4단계 풀이라 단계마다 근거를 적어 부분 점수를 챙기는 것이 현실적인 목표입니다.

4. 명제 기초 — 진리집합·'모든'과 '어떤'·충분·필요조건 (2·3·14번) — 3문항

2번 하 진리집합, 3번 중 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제, 14번 중 충분·필요조건과 명제의 참, 거짓.

2번은 전체집합 안에서 공배수의 진리집합을 구하는 문항입니다. 최소공배수의 배수를 빠짐없이 나열하면 됩니다.

3번은 '어떤'이 들어간 명제를 '모든'의 명제로 바꿔 부정하고, 이차식의 부호를 판정하는 문항입니다. 판별식의 경계에서 범위의 양 끝을 정합니다.

14번은 필요와 충분의 방향을 나누어 참과 반례를 확인하는 문항입니다. 화살표 방향 하나하나를 따로 확인해야 합니다.

5. 명제의 증명과 절대부등식 (9·13·16·19번) — 4문항

9번 중 대우를 이용한 명제의 증명, 13번 중상 산술평균과 기하평균의 관계; 도형에서의 활용, 16번 중상 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기, 19번 중 서술형 절댓값 기호를 포함한 절대부등식.

9번은 대우 증명에서 나머지로 나눈 두 경우를 전개해 빈칸을 채우는 문항입니다.

13번은 직선의 절편으로 넓이 식을 세우고 산술·기하평균으로 최솟값을 구하는 문항입니다. 등호 조건까지 확인해야 합니다.

16번은 '모든'의 부정에서 나오는 존재 조건과, 명제의 구간 포함 관계를 결합합니다. 명제 p→q가 참이면 진리집합 P⊂Q라는 관계를 부등식으로 옮기는 것이 핵심입니다.

19번 서술형은 절댓값 부등식을 증명하고 부호별로 등호 조건을 정하는 문항입니다. 증명 과정과 등호 조건을 모두 써야 하므로 교과서의 절대부등식 증명 흐름을 그대로 쓸 수 있도록 연습해 두세요.

6. 유리함수·무리함수 (6·7·8·11번) — 4문항

6번 중 무리함수의 그래프의 성질, 7번 중 유리함수의 그래프의 점근선, 8번 중상 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 11번 중 무리함수의 합성함수와 역함수.

6번은 무리함수의 정의역, 평행이동, 지나는 사분면을 판정하는 보기형 문항입니다. 시작점과 절편을 먼저 구해 두면 보기 판정이 빨라집니다.

7번은 x절편과 두 점근선으로 유리함수의 계수를 정하는 문항입니다.

8번은 근호를 치환해 두 교점이 생기는 기울기 범위를 정하는 문항입니다. 치환한 변수가 0 이상이라는 조건과 끝점 포함 여부를 놓치기 쉽습니다.

11번은 그림의 끝점과 절편으로 식을 정하고 역함숫값을 구하는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 6 · 상 2

8번 중상 (무리함수와 직선의 위치 관계) — 처음 만나는 중상입니다. 치환 후 판별식과 부호 조건을 함께 따져야 합니다.

12·17번 중상 (일대일대응이 되기 위한 조건) — 조각별 치역의 경계를 맞추는 문항입니다.

13번 중상 (산술·기하평균의 도형 활용) — 넓이를 식으로 세우는 단계가 먼저입니다.

15번 중상 (구간별 함수의 합성함수 방정식) — 구한 해가 경계 조건에 맞는지 확인해야 합니다.

16번 중상 (명제가 참이 되도록 하는 상수) — 부정, 포함 관계, 정수쌍 나열의 3단계입니다.

18번 상 (구간별 함수의 합성함수 방정식) — 선택형 마지막 문항, 경우 분류가 많은 4단계 풀이입니다.

20번 상 서술형 (합성함수의 구간별 최댓값·최솟값) — 움직이는 구간의 최댓값 조건을 다룹니다.

늘푸른고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 진리집합과 '모든'·'어떤'의 부정 — 2·3번 대비.
2. 충분·필요조건의 방향 확인 — 14번 대비.
3. 대우를 이용한 증명 — 9번 대비. 나머지로 경우 나누기.
4. ★ 명제와 진리집합의 포함 관계 — 16번 대비. 부등식으로 옮기기.
5. 산술·기하평균과 도형 — 13번 대비. 등호 조건까지.
6. 절댓값 절대부등식 증명 — 19번 서술형 대비.
7. 역함수의 함숫값, 합성함수와 역함수 — 1·4번 대비.
8. 항등함수의 조건 — 5번 대비.
9. 역함수가 존재하기 위한 조건 — 10번 대비. 부호에 따른 두 경우.
10. ★ 구간별 함수의 일대일대응 — 12·17번 대비. 치역 경계 맞추기.
11. ★ 구간별 함수의 합성함수 방정식 — 15·18번 대비. 경계 나누고 해 확인.
12. 움직이는 구간의 최댓값·최솟값 — 20번 서술형 대비.
13. 유리함수의 점근선 — 7번 대비.
14. 무리함수의 그래프 성질과 역함수 — 6·11번 대비.
15. 무리함수와 직선의 위치 관계 — 8번 대비. 치환 변수의 범위.

자주 나오는 질문

늘푸른고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 함수가 9문항으로 가장 많고, 07 명제 7문항이 뒤를 잇습니다. 10 무리식과 무리함수는 3문항, 09 유리식과 유리함수는 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 2문항(18·20번) 있습니다. 둘 다 08 함수 단원이고, 20번은 서술형입니다. 중상도 6문항(8·12·13·15·16·17번)이라 어려운 문항이 모두 8개입니다.

유리함수·무리함수는 얼마나 나오나요?

두 단원을 합쳐 4문항입니다. 유리함수는 7번 한 문항, 무리함수는 6·8·11번 세 문항입니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

19번은 명제 단원의 절댓값 절대부등식 증명(중), 20번은 함수 단원의 합성함수 구간별 최댓값·최솟값(상) 입니다.

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