돌마고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

돌마고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지 다섯 단원이고, 적분 파트가 13문항으로 미분 파트(7문항)의 두 배에 가깝습니다. 가장 큰 특징은 중상이 11문항이라는 점입니다. 하 난이도는 1번 한 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 20문항. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
• 난이도: 하 1 / 중 7 / 중상 11 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 07 부정적분 2
• 반복 유형: 실근의 개수 2회(7·12번), 두 곡선 사이의 넓이 2회(4·17번), 속도와 위치 2회(8·11번), 피적분함수가 같은 정적분 2회(9·10번), 끝에 변수가 있는 정적분 등식 2회(15·16번)
• 상 1문항: 14번 함수의 극대·극소의 활용

돌마고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록 기준 1~18번이 선택형, 19·20번이 서술형입니다.

범위 라벨은 '도함수의 활용~정적분의 활용'입니다. 실제 배치는 05 도함수의 활용 (2)부터이고, 접선 단원인 04 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 없습니다. 대신 06 도함수의 활용 (3)이 5문항으로, 미분 파트 7문항 중 대부분을 차지합니다.

배치 순서는 단원별로 묶여 있지 않습니다. 1번 정적분, 2번 삼차방정식, 3번 부정적분, 4번 넓이, 5번 속도로, 첫 다섯 문항이 네 단원을 오갑니다. 시험 전체에 걸쳐 미분과 적분이 번갈아 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항

중상이 전체의 55% 입니다. 하 난이도는 1번 정적분 계산 한 문항뿐이고, 2번부터는 전부 중 이상입니다.

중 7문항은 모두 2~10번 사이에 있습니다. 7번에서 첫 중상이 나오고, 11번부터 20번까지는 상 1문항(14번)을 포함해 전부 중상 이상입니다. 서술형 19·20번도 둘 다 중상입니다.

이런 구성에서는 앞쪽 중 난이도 7문항을 실수 없이 끝내는 것이 점수의 바닥을 정합니다. 그 뒤 10문항은 모두 3~4단계 풀이라 시간이 빠듯합니다. 앞에서 한 문항을 오래 붙잡으면 서술형 두 문항에 쓸 시간이 사라집니다.

출제 단원 — 08 정적분 7문항

08 정적분이 7문항(35%) 으로 가장 많습니다. 7문항 중 하 1, 중 1, 중상 5문항입니다. 정적분 계산 자체보다 정적분을 포함한 등식, 피적분함수가 같은 구간 연립, 절댓값 적분처럼 조건을 다루는 문항이 대부분입니다.

미분 파트는 06 단원 5문항이 중심입니다. 삼차방정식의 근, 속도와 운동 방향, 부등식, 실근의 개수로 도함수의 활용 (3)의 대표 유형을 고르게 다룹니다. 05 단원 2문항은 상 14번과 서술형 19번이라 수는 적어도 무게가 큽니다.

시그니처 — 같은 유형이 두 번씩, 다섯 쌍

이 시험에는 같은 유형이 두 번씩 나오는 쌍이 다섯 개 있습니다. 그중 4→17번, 8→11번은 기본형(중) 뒤에 심화형(중상) 이 오는 구조이고, 9·10번은 앞의 9번이 더 어렵습니다.

4번은 두 포물선의 교점을 구하고 위아래 차를 적분하는 기본형이고, 17번은 접하는 조건으로 포물선을 먼저 정한 뒤 두 영역의 넓이를 비교합니다. 8번은 속도의 부호와 기울기, 구간 적분으로 보기를 판정하고, 11번은 두 점의 속도 부호와 위치 차를 적분해 만남과 거리를 판정합니다.

기본형을 정확히 이해하면 같은 유형의 심화형까지 풀 수 있다는 구조입니다. 유형별로 기본형 하나, 심화형 하나를 짝지어 연습하는 방식이 이 시험에 잘 맞습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (3) (2·5·6·7·12번) — 5문항

2번 중 삼차방정식의 근의 판별, 5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 6번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 7번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 12번 중상 같은 유형.

2번은 삼차식의 두 극값 사이에 있는 정수 높이를 세는 문항입니다. 서로 다른 세 실근을 가지려면 높이가 두 극값 사이에 있어야 한다는 조건을 씁니다.

5번은 위치식을 미분해 운동 방향이 바뀌는 시각을 구하고, 원점 조건을 결합합니다. 6번은 두 함수 차의 증가성과 열린 경계의 하한을 확인하는 문항입니다.

7번은 부호 조건으로 중근을 정하고 두 극값 높이를 구하는 문항, 12번은 사차식의 극값 높이에서 접하는 점과 지나가는 점을 구별해 교점을 세는 문항입니다. 12번은 극값이 세 개라 경계 높이가 많아 실수하기 쉽습니다.

2. 도함수의 활용 (2) (14·19번) — 상 1 · 서술형 1

14번 상 함수의 극대·극소의 활용, 19번 중상 서술형 최대·최소의 활용; 부피.

14번은 절댓값을 씌운 합성함수의 극값 개수 변화와 정수근 조건을 결합한 4단계 문항입니다. 극값 개수가 바뀌는 지점을 찾고, 도함수 곱의 부호와 정수근 조건으로 함수를 정해야 합니다.

19번 서술형은 모서리 총길이로 부피 식을 만들고 도함수로 최댓값을 구하는 문항입니다. 변수의 범위(정의역)를 먼저 쓰고, 부피 함수를 미분해 부호가 바뀌는 점을 찾는 순서로 답안을 쓰면 됩니다. 정의역을 빠뜨리지 않는 것이 서술형 감점을 막는 요령입니다.

3. 부정적분 (3·13번) — 2문항

3번 중 부정적분의 정의, 13번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

3번은 도함수가 같은 두 함수의 차를 상수로 놓고 지정값을 구하는 문항입니다. 13번은 부정적분 항등식을 미분한 뒤 차수와 계수를 비교해 함수를 정합니다. 양수 조건으로 계수를 고르는 단계가 있습니다.

4. 정적분 (1·9·10·15·16·18·20번) — 7문항

1번 하 정적분의 계산, 9번 중상 · 10번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 15·16번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 18번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 20번 중상 서술형 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우.

10번은 정적분의 구간 가법성을 확인하고, 잘못된 추론에는 반례를 드는 보기형 문항입니다. 9번은 적분 방향을 맞춰 두 구간의 값과 길이를 연립합니다. 같은 유형인데 9번이 더 어렵게 앞에 놓여 있습니다.

15번은 움직이는 구간의 적분을 연속된 네 구간 값으로 나누어 푸는 문항, 16번은 적분 항등식을 미분하고 원래의 경계 조건으로 계수를 정하는 문항입니다. 16번은 적분 끝을 고정값에 맞춰 대입하는 단계가 중요합니다.

18번은 원시함수의 부호 구간에 따라 두 적분의 절댓값을 푸는 문항입니다.

20번 서술형은 고정 구간의 정적분을 상수로 놓고 함수를 정한 뒤, 정적분으로 정의된 함수의 극한을 구하는 문항입니다. 상수를 미지수로 두고 다시 적분해 방정식을 세우는 흐름을 답안에 단계별로 적어야 합니다.

5. 정적분의 활용 (4·8·11·17번) — 4문항

위 시그니처 표에서 정리한 두 쌍입니다. 넓이(4·17번), 속도와 위치(8·11번) 가 각각 기본형과 심화형으로 나왔습니다.

주의 문항 — 중상 11 · 상 1

7·12번 중상 (실근의 개수) — 12번은 사차함수라 경계 높이가 더 많습니다.

9번 중상 (피적분함수가 같은 정적분) — 구간 방향과 길이를 함께 연립합니다.

11번 중상 (두 점의 만남과 거리) — 위치의 차와 움직인 거리를 구별해야 합니다.

13번 중상 (부정적분 항등식) — 미분 후 차수 비교가 출발점입니다.

14번 상 (극대·극소의 활용) — 이 시험의 유일한 상, 4단계 풀이입니다.

15·16번 중상 (끝에 변수가 있는 정적분 등식) — 연속 두 문항이 같은 유형입니다.

17번 중상 (두 곡선 사이의 넓이) — 접하는 조건으로 포물선을 먼저 정합니다.

18번 중상 (절댓값 정적분) — 원시함수의 부호로 구간을 나눕니다.

19·20번 중상 서술형 — 부피의 최댓값, 상수 끝 정적분 등식과 극한입니다.

돌마고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산 — 1번 확보.
2. 삼차방정식의 근의 판별 — 2번 대비. 두 극값 사이 높이.
3. 부정적분의 정의 — 3번 대비.
4. 두 곡선 사이의 넓이 기본형 — 4번 대비.
5. 속도·가속도와 운동 방향 — 5·8번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 6번 대비.
7. 정적분의 가법성과 반례 — 10번 대비.
8. ★ f(x)=k의 실근의 개수 (삼차·사차) — 7·12번 대비.
9. 피적분함수가 같은 정적분 연립 — 9번 대비.
10. 두 점의 위치 차와 만남 — 11번 대비.
11. 부정적분 항등식 — 13번 대비.
12. ★ 끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 15·16번 대비. 대입과 미분.
13. 접하는 조건과 넓이 비교 — 17번 대비.
14. 절댓값 정적분 — 18번 대비.
15. 부피의 최대·최소 서술형 — 19번 대비. 정의역부터.
16. 상수 끝 정적분 등식과 극한 서술형 — 20번 대비.
17. 절댓값 합성함수의 극값 개수 — 14번 대비.

자주 나오는 질문

돌마고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 06 도함수의 활용 (3)이 5문항, 09 정적분의 활용이 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 14번 한 문항입니다. 대신 중상이 11문항이라 어려운 문항이 전체의 60%입니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

19번은 부피의 최댓값(05 도함수의 활용 (2)), 20번은 상수 끝 정적분 등식과 극한(08 정적분) 입니다. 둘 다 중상 난이도입니다.

접선 문제는 안 나오나요?

04 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 없습니다. 17번에서 두 곡선이 접하는 조건을 쓰지만, 단원은 09 정적분의 활용입니다.

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