늘푸른고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

늘푸른고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지 다섯 단원이고, 미분 파트(05·06 단원)가 12문항으로 적분 파트(9문항)보다 많습니다. 중상 8문항에 상 2문항, 어려운 문항이 절반 가까이 되는 고난도 시험입니다.

핵심 요약

• 21문항. 정답 기록 기준 21문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 기록
• 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 8 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 4 / 08 정적분 3 / 07 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(12·15·17번)
• 상 2문항: 11번(최대·최소를 이용한 미정계수), 17번(실근의 개수)

늘푸른고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록 기준으로는 21문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

범위 라벨은 '함수의 증감~정적분의 활용'이고, 실제 배치도 05 도함수의 활용 (2)의 증가·감소부터 09 정적분의 활용까지입니다. 접선 단원인 04 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 없습니다.

배치 순서는 단원별로 묶여 있지 않습니다. 1번이 정적분, 2번이 최대·최소, 3번이 부정적분, 4번이 증가 조건, 5번이 위치의 변화량으로, 첫 다섯 문항이 모두 다른 단원입니다. 미분과 적분을 처음부터 끝까지 번갈아 오가는 구성이라, 단원별 문제집 순서로만 연습했다면 시험지 흐름이 낯설 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 8 · 상 2

하 난이도는 1·2·8번 세 문항뿐입니다. 정적분 계산, 닫힌구간의 최대·최소, 우함수의 정적분으로, 모두 공식을 바로 적용하는 확보 문항입니다.

10번부터는 13·14번 두 문항을 빼면 전부 중상 이상입니다. 10~21번 12문항 중 10문항이 중상·상이라, 시험 후반 절반이 사실상 고난도 구간입니다. 앞쪽 1~9번을 빠르고 정확하게 끝내고 시간을 남기는 것이 무엇보다 중요합니다.

상 2문항은 11번과 17번입니다. 둘 다 4단계 풀이로, 그래프 조건을 거꾸로 따라가며 함수식을 정하는 문항입니다.

출제 단원 — 05·06 도함수의 활용이 각 6문항

미분 파트 12문항(57%), 적분 파트 9문항(43%) 입니다. 미분 쪽에는 중상 5문항(12·15·16·20·21번)과 상 2문항(11·17번)이 모두 들어 있어, 어려운 문항 10개 중 7개가 도함수의 활용입니다.

적분 쪽의 고난도는 10번(부정적분), 18·19번(정적분의 활용) 세 문항입니다. 08 정적분 세 문항은 하 2문항, 중 1문항으로 상대적으로 가볍습니다.

시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회

이 시험의 중심 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수입니다. 12·15·17번 세 문항에 나왔고, 난이도는 중상·중상·상입니다.

세 문항 모두 절댓값이 씌워진 함수를 다룬다는 공통점이 있습니다.

• 12번 중상 절댓값을 씌운 삼차함수에서 교점 수가 바뀌는 높이로 극솟값을 거꾸로 구하는 문항
• 15번 중상 사차함수의 값과 절댓값으로 정한 높이에 따라 수평선과의 교점 수를 세는 문항
• 17번 상 극대점의 위치와 교점 수가 바뀌는 높이로 이차함수의 계수를 정하는 문항

절댓값을 씌우면 x축 아래 부분이 위로 접힌다는 것, 그리고 수평선 y=k가 극값 높이를 지날 때 교점 수가 바뀐다는 것이 세 문항의 공통 뼈대입니다. 그래프를 직접 그리고, 교점 수가 바뀌는 높이를 표로 정리하는 연습을 해 두면 세 문항에 함께 대비됩니다.

16번 두 그래프의 교점의 개수(중상) 도 같은 계열입니다. 합성방정식을 두 집합으로 나누어 중복 없이 실근 개수를 세는 문항이라, 실근의 개수 계열이 사실상 네 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) — 증가·감소와 극값 (2·4·11·13·20·21번) — 6문항

2번 하 함수의 최대·최소, 4번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 11번 상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 20번 중상 함수의 그래프와 증가·감소, 21번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

2번은 닫힌구간 양 끝과 도함수가 0인 점의 함숫값을 비교하는 표준 문항입니다.

4번은 역함수가 존재할 조건을 실수 전체에서 증가할 조건으로 바꾸는 문항입니다. 도함수가 음수가 되지 않도록 판별식을 세우면 정수 범위가 나옵니다.

13번은 열린구간 안에 도함수의 단근이 하나만 들어가는 정수 계수를 구합니다. 구간 양 끝이 열려 있다는 것과 중근은 극값이 아니라는 것을 놓치지 말아야 합니다.

11번(상)은 두 반직선에서의 최솟값 차가 일정한 구간을 이용해 사차함수를 정하는 4단계 문항입니다. 20번은 이후에 함숫값이 더 작아질 수 있는 입력의 범위를 구하고 그 안의 정수를 세는 문항, 21번은 두 구간의 도함수 부호 조건을 합쳐 매개변수 합의 가능한 폭을 구하는 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 부등식·실근의 개수·변화율 (6·12·14·15·16·17번) — 6문항

6번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 12·15번 중상 · 17번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중 시각에 대한 넓이의 변화율, 16번 중상 두 그래프의 교점의 개수.

6번은 사차함수 도함수의 부호를 나누어 최솟값이 양수가 되는 상수의 경계를 찾습니다. 최솟값 하나만 0보다 크면 된다는 것이 출발점입니다.

14번은 정육각형 위를 움직이는 점을 좌표로 두고 넓이의 시간 변화율을 계산하는 문항입니다. 넓이를 시각 t의 식으로 세운 뒤 미분하면 됩니다.

12·15·16·17번은 위 시그니처 유형에서 정리했습니다.

3. 부정적분 (3·10번) — 2문항

3번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 10번 중상 미분가능성과 연속성 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

3번은 관계식을 미분한 뒤 초기 조건으로 적분상수를 정하는 문항입니다.

10번은 평행이동한 두 도함수의 곱에서 단근의 개수로 미분 불가능한 점을 판정하고, 별도의 초기 조건으로 도함수를 적분해 함숫값을 구하는 문항입니다. 절댓값 함수에서 단근이 있는 곳은 꺾이고, 중근이 있는 곳은 매끄럽다는 구분이 핵심입니다.

4. 정적분 (1·8·9번) — 3문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 8번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 9번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.

1번은 원시함수를 구해 양 끝 값을 빼는 기본 계산입니다. 8번은 짝함수의 정적분을 양수 구간으로 옮겨 주어진 적분값을 합치는 문항입니다.

9번은 상수 정적분을 미지수로 두고 함수식을 구한 뒤, 움직이는 구간의 적분을 최소화합니다. 적분 결과가 이차함수로 나오므로 꼭짓점에서 최솟값을 찾습니다.

5. 정적분의 활용 (5·7·18·19번) — 4문항

5번 중 위치와 위치의 변화량, 7번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 18번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

5번은 초기 위치에 속도의 적분을 더해 두 점이 처음 만나는 시각을 찾는 문항입니다. 7번은 속도 그래프를 누적해 위치의 극값과 원점을 지나는 시각을 찾습니다. 7번은 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 위치가 극값을 갖는다는 점을 그래프로 읽어야 합니다.

18번은 같은 세 점을 지나는 두 곡선의 위아래를 나누어 넓이를 비교하는 문항이고, 19번은 직선 위의 한 점에서 그은 두 접선과 곡선 사이의 넓이를 최소화하는 문항입니다. 19번은 접점 두 개의 간격을 이차식으로 정리해 최솟값을 구하는 마지막 단계가 있습니다.

주의 문항 — 중상 8 · 상 2

10번 중상 (미분가능성과 도함수) — 단근·중근으로 미분 불가능한 점을 판정합니다.

11번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수) — 반직선 위 최솟값 조건으로 사차함수를 정하는 4단계 문항입니다.

12·15번 중상, 17번 상 (실근의 개수) — 절댓값 그래프와 수평선의 교점 수 변화를 다룹니다.

16번 중상 (두 그래프의 교점의 개수) — 합성방정식의 실근을 겹치지 않게 세야 합니다.

18번 중상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 두 곡선의 위아래 관계를 먼저 정리해야 합니다.

19번 중상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 넓이를 구한 뒤 최솟값까지 이어집니다.

20·21번 중상 (증가·감소 조건) — 시험지 마지막 두 문항이 모두 05 단원 고난도입니다.

늘푸른고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 닫힌구간의 최대·최소 — 2번 확보.
2. 정적분 기본 계산, 우함수·기함수 — 1·8번 확보.
3. 실수 전체에서 증가할 조건 — 4번 대비. 판별식으로 범위.
4. 구간에서 극값을 가질 조건 — 13번 대비. 열린 끝과 중근 주의.
5. 함수와 부정적분의 관계식 — 3번 대비.
6. 위치와 움직인 거리 — 5·7번 대비. 속도 부호와 위치 극값.
7. 모든 실수에서 부등식이 성립할 조건 — 6번 대비.
8. 시각에 대한 넓이의 변화율 — 14번 대비.
9. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 9번 대비.
10. ★ 절댓값 그래프와 f(x)=k의 실근의 개수 — 12·15·17번 대비. 이 시험의 시그니처.
11. 합성방정식의 실근 개수 — 16번 대비.
12. 단근·중근과 미분가능성 — 10번 대비.
13. 두 곡선 사이 넓이, 접선과 곡선 사이 넓이 — 18·19번 대비.
14. 구간별 증가·감소 조건과 매개변수 범위 — 20·21번 대비.
15. 최대·최소 조건으로 사차함수 정하기 — 11번 대비.

자주 나오는 질문

늘푸른고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 21문항 모두 ①~⑤ 선택형으로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 각 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 09 정적분의 활용 4문항, 08 정적분 3문항, 07 부정적분 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 2문항(11·17번) 있습니다. 중상도 8문항이라, 10번 이후는 13·14번을 빼면 전부 중상 이상입니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 1·2·8번 세 문항입니다. 중 난이도 8문항도 대부분 앞쪽(3~9번)에 있어, 1~9번을 정확히 푸는 것이 점수의 바탕이 됩니다.

접선 단원은 안 나오나요?

04 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 없습니다. 다만 19번 넓이 문항에서 곡선에 그은 두 접선을 다룹니다.

과년도 늘푸른고 기출도 볼 수 있나요?

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