돌마고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)
돌마고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 07 명제 · 08 함수 · 09 유리식과 유리함수 · 10 무리식과 무리함수 네 단원이고, 명제 8문항, 함수 7문항이 중심입니다. 서술형 3문항이 붙어 있고, 그중 마지막 21번이 이 시험의 유일한 상 문항입니다.
핵심 요약
- 21문항. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~21번 서술형 3문항
- 난이도: 하 7 / 중 7 / 중상 6 / 상 1
- 배치 단원: 07 명제 8 / 08 함수 7 / 10 무리식과 무리함수 4 / 09 유리식과 유리함수 2
- 반복 유형: 역함수와 함숫값 2회(2·10번), 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식 2회(11·18번)
- 중상 6문항은 10·11번과 15~18번, 상 1문항은 서술형 21번
돌마고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가
돌마고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 총 21문항이고, 정답 기록 기준 1~18번이 선택형, 19~21번이 서술형입니다.
범위 라벨은 '명제~무리함수'이고, 실제 배치도 07 명제부터 10 무리식과 무리함수까지입니다. 명제가 8문항으로 가장 많고, 유리식과 유리함수는 6·8번 두 문항입니다.
시험지 앞부분은 명제와 함수가 번갈아 나옵니다. 1번 명제, 2번 함수, 3번 명제, 4번 함수로 시작하고, 6·8번에 유리함수, 9번에 무리함수가 들어갑니다. 서술형 세 문항은 19·20번이 명제, 21번이 무리함수입니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 7 · 중 7 · 중상 6 · 상 1
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 7 | 33% | 1·2·3·4·7·8·20 |
| 중 | 7 | 33% | 5·6·9·12·13·14·19 |
| 중상 | 6 | 29% | 10·11·15·16·17·18 |
| 상 | 1 | 5% | 21 |
1~4번이 연속으로 하입니다. 대우, 역함수, '모든'과 '어떤', 대응도의 합성함수로 시작해 시험 초반 흐름이 가볍습니다. 7·8번도 하입니다.
중상은 10·11번에서 먼저 두 문항이 나오고, 12~14번 중 난이도 명제 세 문항을 지난 뒤 15~18번 네 문항이 연속 중상입니다. 선택형 마지막 구간이 가장 무겁습니다.
서술형은 난이도가 서로 다릅니다. 20번이 하, 19번이 중, 21번이 상입니다. 20번은 반드시 챙기고, 21번은 단계별 부분 점수를 노리는 전략이 맞습니다.
출제 단원 — 07 명제 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 07 명제 | 8 | 1·3·7·12·13·14·19·20 |
| 08 함수 | 7 | 2·4·5·10·11·17·18 |
| 10 무리식과 무리함수 | 4 | 9·15·16·21 |
| 09 유리식과 유리함수 | 2 | 6·8 |
명제 8문항에는 중상·상이 하나도 없습니다. 하 4문항(1·3·7·20번), 중 4문항(12·13·14·19번)입니다. 명제 단원은 확실히 점수를 쌓는 구간입니다.
반면 함수 7문항 중 4문항(10·11·17·18번)이 중상이고, 무리함수 4문항 중 3문항(15·16·21번)이 중상·상입니다. 이 시험의 점수 차는 함수와 무리함수에서 납니다.
시그니처 — 구간별 함수의 합성, 무리함수와 역함수
고난도 문항은 두 갈래로 나뉩니다.
첫째, 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식(11·18번). 11번은 선분으로 된 그래프를 구간별로 합성해 방정식을 푸는 문항이고, 18번은 이동 경로에서 넓이 함수를 만든 뒤 합성방정식을 푸는 문항입니다. 두 문항 모두 합성할 때 안쪽 함숫값이 어느 구간에 들어가는지를 나누고, 구한 해가 그 구간에 맞는지, 중복되지 않는지를 확인하는 단계가 있습니다.
둘째, 무리함수와 역함수·치역(15·16·21번). 15번은 무리함수와 그 역함수의 두 그래프 교점을 빠짐없이 구하는 문항입니다. 제곱해서 구한 해 중 근호 조건에 맞지 않는 것을 걸러내야 합니다. 16번은 무리함수와 유리함수의 치역으로 수평선과의 교점 개수를 세는 문항이고, 21번 서술형은 전체 치역의 빈 구간을 채우는 두 무리함수를 결정하는 문항입니다.
세 문항의 공통 열쇠는 치역입니다. 무리함수의 시작점과 증가·감소 방향을 보면 치역이 정해지고, 치역이 정해지면 교점과 역함수의 범위가 따라옵니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 명제 기초 (1·3·7·12·14번) — 5문항
1번 하 명제의 대우를 이용하여 상수 구하기, 3번 하 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제, 7번 하 진리집합, 12번 중 충분·필요조건과 명제의 참, 거짓, 14번 중 충분·필요·필요충분조건과 진리집합.
1번은 명제의 대우에 결론 쪽 조건의 근을 대입해 상수를 구하는 문항입니다. 3번은 '모든'과 '어떤'이 들어간 명제의 참·거짓을 각각 판단합니다. 7번은 전체집합에서 부정 조건과 다른 조건을 합친 진리집합을 구합니다.
12번은 두 조건의 함의 방향과 반례로 필요조건을 판단하고, 14번은 집합의 포함 관계를 먼저 구한 뒤 함의의 방향을 판정합니다. 화살표 방향을 하나씩 따로 확인해야 실수가 없습니다.
2. 산술·기하평균과 서술형 명제 (13·19·20번) — 3문항
13번 중 산술평균과 기하평균의 관계; 도형에서의 활용, 19번 중 서술형 귀류법, 20번 하 서술형 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기.
13번은 좌표로 직사각형 둘레를 나타내고 산술·기하평균을 적용하는 문항입니다. 등호가 성립하는 점에서 대각선 길이까지 구합니다.
19번 서술형은 유리수라고 가정한 뒤 서로소 조건과 짝수·홀수의 모순을 쓰는 귀류법 증명입니다. 기약분수로 놓는 첫 줄과 모순이 생기는 마지막 줄을 정확히 쓰는 연습이 필요합니다.
20번 서술형은 존재 조건을 두 닫힌구간이 공통점을 가질 조건으로 바꾸는 문항입니다. 하 난이도지만 서술형이므로 부등식을 세우는 근거를 빠짐없이 적어야 합니다.
3. 함수 기초 (2·4·5번) — 3문항
2번 하 역함수와 함숫값, 4번 하 합성함수와 역함수, 5번 중 일대일대응이 되기 위한 조건.
2번은 역함수의 정의를 원래 함수의 방정식으로 바꾸어 계산하고, 4번은 대응도에서 합성과 역함수의 입력을 찾아 계산합니다.
5번은 절댓값으로 나뉜 두 구간의 기울기를 비교해 일대일대응이 되는 조건을 정합니다. 양쪽 기울기의 부호가 같아야 한다는 것이 핵심입니다.
4. 함수 고난도 (10·11·17·18번) — 4문항, 전부 중상
10번 역함수와 함숫값, 11·18번 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식, 17번 합성함수 fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수.
10번은 2번과 같은 유형명이지만 일대일대응이라는 조건으로 가능한 값을 걸러 역함숫값을 정하는 3단계 문항입니다.
17번은 반복 합성이 항등함수가 되는 조건으로 대응과 고정점을 구분하는 문항입니다. 원소들이 어떻게 돌아가며 대응하는지 순환 구조를 나눠 세어야 합니다.
11·18번은 위 시그니처에서 설명했습니다.
5. 유리함수 (6·8·9번) — 3문항
6번 중 유리함수의 그래프의 활용, 8번 하 유리함수의 그래프의 대칭성, 9번 중 유리함수의 그래프의 평행이동 · 무리함수의 최대·최소.
6번은 자연수 조건을 만족하는 유리함수 위의 좌표를 모두 나열해 비교하는 문항입니다. 8번은 두 대칭축의 교점을 유리함수의 점근선 교점(중심)과 일치시킵니다.
9번은 무리함수 단원에 배치됐지만, 유리함수의 점근선 이동으로 상수를 정한 뒤 무리함수의 제한된 구간에서 최댓값을 구하는 결합형입니다.
6. 무리함수 고난도 (15·16·21번) — 중상 2 · 상 1
위 시그니처에서 정리한 세 문항입니다. 15번 교점, 16번 교점 개수, 21번 치역이 모두 무리함수의 시작점과 방향에서 출발합니다.
주의 문항 — 중상 6 · 상 1
10번 중상 (역함수와 함숫값) — 일대일 조건으로 후보를 지워 나가야 합니다.
11번 중상 (선분 그래프의 합성방정식) — 구간별로 나눠 합성합니다.
15번 중상 (무리함수와 역함수의 교점) — 제곱 후 근호 조건에 맞지 않는 해를 거릅니다.
16번 중상 (무리함수·유리함수와 수평선의 교점) — 두 함수의 치역이 겹치는 부분을 따집니다.
17번 중상 (fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수) — 순환 구조별로 경우를 셉니다.
18번 중상 (넓이 함수의 합성방정식) — 도형의 높이를 구간별 식으로 먼저 세웁니다.
21번 상 서술형 (무리함수의 정의역과 치역) — 증가·감소 두 방향을 따로 따져 계수를 정하는 4단계 문항입니다.
돌마고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서
- 명제의 대우, '모든'과 '어떤', 진리집합 — 1·3·7번 확보.
- 충분·필요조건과 진리집합의 포함 관계 — 12·14번 대비.
- 산술·기하평균의 도형 활용 — 13번 대비. 등호 조건까지.
- 귀류법 증명 서술 — 19번 서술형 대비.
- 존재 조건과 구간의 공통점 — 20번 서술형 확보.
- 역함수의 함숫값, 대응도에서 합성 — 2·4번 확보.
- 절댓값 함수의 일대일대응 — 5번 대비.
- 일대일 조건과 역함숫값 — 10번 대비.
- ★ 구간별 함수의 합성방정식 — 11·18번 대비. 구간 나누고 해 확인.
- fⁿ이 항등함수가 되는 함수 세기 — 17번 대비.
- 유리함수의 대칭성과 좌표 나열 — 6·8번 대비.
- 점근선 평행이동과 무리함수의 최댓값 — 9번 대비.
- ★ 무리함수와 역함수의 교점 — 15번 대비. 근호 조건 확인.
- 치역으로 교점 개수 세기 — 16번 대비.
- 무리함수의 치역으로 계수 정하기 — 21번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
돌마고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~21번 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 07 명제가 8문항으로 가장 많고, 08 함수 7문항, 10 무리식과 무리함수 4문항, 09 유리식과 유리함수 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 서술형 21번 한 문항입니다. 무리함수의 정의역과 치역 문항입니다. 중상은 6문항(10·11·15·16·17·18번)입니다.
명제 단원은 어렵게 나왔나요?
명제 8문항은 하 4문항, 중 4문항으로 중상 이상이 없습니다. 확실히 점수를 쌓아야 하는 단원입니다.
서술형은 어떤 내용인가요?
19번 귀류법 증명(중), 20번 명제가 참이 되도록 하는 상수(하), 21번 무리함수의 정의역과 치역(상) 입니다.
과년도 돌마고 기출도 볼 수 있나요?
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돌마고 1학년 2학기 기말 공통수학2 기출 받아보기
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