보평고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

보평고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험의 성격은 한 줄로 정리됩니다. 중상 난이도가 11문항으로 절반이 넘고, 상 3문항까지 더하면 14문항이 중상 이상입니다. 하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번은 선택형, 19~21번은 답이나 풀이를 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 11 / 상 3
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 5 / 07 부정적분 4
• 속도·위치·움직인 거리 문항: 1·4·5·19번 네 문항
• 상 3문항: 9·14·16번

보평고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

보평고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ(2015 개정)는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답이나 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 후반부(06 도함수의 활용 (3))부터 부정적분, 정적분, 정적분의 활용까지입니다. 문항 수로는 미분 5문항, 적분 16문항으로 적분이 압도적입니다.

시험지 배치도 눈여겨볼 만합니다. 1번이 이미 정적분의 활용(속도 그래프에서의 위치와 움직인 거리)이고, 2·3번이 부정적분, 4번이 도함수의 활용(속도)입니다. 단원 순서대로 배치되지 않았으니 앞 번호라고 앞 단원이라고 생각하면 안 됩니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항

5번부터 18번까지 14문항 중 13문항이 중상 이상입니다(8번만 중). 1~4번 네 문항 안에서 시간을 아끼지 못하면 뒤쪽 열네 문항을 모두 무거운 상태로 만나게 됩니다.

상 3문항(9·14·16번)은 선택형 중반과 후반에 흩어져 있습니다. 상 문항이 한곳에 몰리지 않아서, 막히는 문항을 표시해 두고 넘어가는 판단이 중요합니다.

서술형은 19·21번이 중, 20번이 중상입니다. 서술형에서 상 난이도는 없습니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항

09 정적분의 활용 7문항이 가장 많습니다. 넓이(10·12·15·21번)와 속도·거리(1·5·19번)가 섞여 있습니다.

06 도함수의 활용 (3) 5문항은 4번(중)을 빼면 전부 중상 이상입니다. 상 3문항 가운데 두 문항(14·16번)이 이 단원에서 나왔습니다. 문항 수는 정적분의 활용보다 적지만 난도는 가장 높은 단원입니다.

08 정적분 5문항에서는 정적분을 포함한 등식(6·9번)과 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 극대·극소(17·18번)가 나왔습니다. 9번이 상입니다.

시그니처 — 속도·위치·움직인 거리 4문항

이 시험은 수직선 위를 움직이는 점을 네 번 다룹니다.

• 1번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리 — 속도 그래프의 부호와 넓이로 누적 위치를 비교합니다.
• 4번 중 속도 — 두 위치 함수를 미분해 속도가 같은 순간의 거리 조건을 씁니다.
• 5번 중상 위치와 위치의 변화량 — 초기 위치와 속도의 적분으로 두 점이 만나는지 판정합니다.
• 19번 중(서술형) 움직인 거리 — 두 시각의 위치 대칭 조건으로 속도를 정한 뒤 움직인 거리를 구합니다.

네 문항의 공통 뼈대는 "위치는 속도의 적분, 움직인 거리는 속도 절댓값의 적분" 입니다. 특히 19번처럼 움직인 거리를 묻는 서술형은 운동 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나누는 과정이 들어가야 합니다.

두 번씩 나온 유형

• 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 — 7번(중상), 20번(중상, 서술형)
• 두 그래프의 교점의 개수 — 13번(중상), 14번(상)
• 두 곡선 사이의 넓이 — 10번(중상), 15번(중상)
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 3번(중), 15번(중상)

7번과 20번은 둘 다 함수와 부정적분이 섞인 항등식을 미분해서 계수를 비교하는 문항입니다. 20번은 여기에 극한 조건이 붙어 함숫값과 미분계수를 먼저 정해야 합니다.

13번과 14번은 연달아 나온 교점 개수 문항입니다. 13번은 교점 조건을 중근을 갖는 다항식으로 바꾸고, 14번은 절댓값 방정식을 두 그래프와 수평선의 교점 개수로 바꿉니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (1·5·10·12·15·19·21번) — 7문항

1번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 5번 중상 위치와 위치의 변화량, 10번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 12번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 15번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 두 곡선 사이의 넓이, 19번 중(서술형) 움직인 거리, 21번 중(서술형) 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

10번은 점대칭인 삼차함수를 먼저 정한 뒤 두 곡선 사이의 넓이를 구합니다. 12번은 함수의 이동 항등식과 단조성을 이용해 곡선과 가로축 사이의 넓이를 구하는 문항입니다.

15번은 두 도함수의 차를 적분해 곡선의 차를 정하고 넓이로 넘어갑니다. 21번(서술형) 은 접선이 곡선과 다시 만나는 조건으로 접점을 구한 뒤 접선과 곡선 사이의 넓이를 구합니다.

넓이 문항 네 개 모두 두 함수의 차를 하나의 식으로 놓고, 부호가 바뀌는 교점에서 구간을 나누는 것이 출발점입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (4·11·13·14·16번) — 5문항

4번 중 속도, 11번 중상 삼차방정식의 근의 판별, 13번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 14번 상 두 그래프의 교점의 개수, 16번 상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용.

11번은 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는 조건에서 극댓값 또는 극솟값이 0인 두 경우로 나누어 따집니다.

16번(상) 은 구간 전체에서 위아래 부등식이 성립하도록 사차함수의 정수근을 정하는 문항입니다. 후보를 추린 뒤 구간 전체에서 실제로 성립하는지 다시 확인해야 합니다.

3. 정적분 (6·8·9·17·18번) — 5문항

6번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 8번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 9번 상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 17번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

6번은 상수인 정적분 값을 미지수로 두고 푸는 표준 유형입니다. 8번은 절댓값의 부호가 바뀌는 지점에서 적분 구간을 나눕니다.

9번(상) 은 대칭 구간 적분과 합성 항등식으로 다항식을 구한 뒤 극한까지 계산하는 문항입니다. 단계가 많아 시간이 오래 걸립니다.

17·18번은 정적분으로 정의된 함수를 미분해 원래 함수의 영점, 극값을 읽는 문항입니다.

4. 부정적분 (2·3·7·20번) — 4문항

2번 하 부정적분의 계산, 3번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 7번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 20번 중상(서술형) 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

2번은 이 시험의 유일한 하 난이도입니다. 부정적분 후 초기 함숫값을 대입해 적분상수를 정합니다. 3번은 함수 항등식에서 도함수를 구한 뒤 초기값으로 원래 함수의 값을 구합니다.

주의 문항 — 상 3, 중상 11

9번 상 (정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수) — 대칭 적분, 항등식, 극한까지 이어지는 긴 문항.

14번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 절댓값 방정식을 수평선과의 교점 개수로 바꾸는 문항.

16번 상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 사차함수 정수근 후보를 추리고 다시 확인.

중상 11문항 가운데 서술형은 20번(함수와 부정적분 관계식) 하나입니다. 선택형 중상 10문항(5·6·7·10·11·12·13·15·17·18번)은 넓이, 정적분 등식, 교점 개수에 고르게 퍼져 있습니다.

보평고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 부정적분 계산과 적분상수 — 2·3번 대비. 확보 구간.
2. 정적분 계산, 절댓값 구간 나누기 — 8번 대비.
3. ★ 속도·위치·움직인 거리 — 1·4·5·19번 대비. 이 시험의 시그니처.
4. 함수와 부정적분 관계식 미분하기 — 7·20번 대비. 서술형 포함.
5. 정적분을 포함한 등식 — 6·9번 대비. 상수 적분은 미지수로, 변수 위끝은 미분.
6. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 극대·극소 — 17·18번 대비.
7. ★ 두 곡선·곡선과 직선·접선과 곡선 사이의 넓이 — 10·12·15·21번 대비.
8. 삼차방정식의 근의 판별 — 11번 대비. 극값 조건으로 경우 나누기.
9. 두 그래프의 교점의 개수 — 13·14번 대비.
10. 부등식이 항상 성립할 조건 — 16번 대비.

자주 나오는 질문

보평고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답이나 풀이를 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (3)과 정적분이 각 5문항, 부정적분 4문항입니다.

킬러 문항은 몇 번인가요?

상 난이도는 9·14·16번 세 문항입니다. 다만 중상이 11문항이라 상 문항 외에도 시간이 걸리는 문항이 많습니다.

쉬운 문항은 있나요?

하 난이도는 2번(부정적분의 계산) 한 문항입니다. 중 난이도는 1·3·4·8번과 서술형 19·21번입니다.

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