불곡고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

불곡고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지 미분 후반과 적분 전체에 걸쳐 있고, 미분계수와 도함수 2문항도 포함됐습니다. 이 시험은 난이도 배치가 교과서처럼 정직합니다. 1~3번 하, 4~9번 중, 10~17번 중상, 18~22번 상으로 번호 순서대로 한 계단씩 올라갑니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 전 문항 ①~⑤ 선택형
• 난이도: 하 3 / 중 6 / 중상 8 / 상 5
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 07 부정적분 3 / 08 정적분 3 / 09 정적분의 활용 3 / 03 미분계수와 도함수 2
• 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(18·20번), 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(10·21번)
• 상 5문항이 18~22번 마지막 다섯 자리에 연속 배치

불곡고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

불곡고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록에는 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

단원은 크게 두 덩어리입니다. 미분 쪽(03·05·06단원)이 13문항, 적분 쪽(07·08·09단원)이 9문항입니다. 2학기 기말인데도 미분이 더 많이 나왔다는 점을 먼저 기억하세요. 특히 상 5문항 중 18·19·20·21번 네 문항이 미분 쪽입니다.

또 하나, 16·19번은 03 미분계수와 도함수 단원입니다. 절댓값 함수의 미분가능성, 구간별로 정의된 함수의 미분가능성을 묻는 문항이라 앞 단원 개념을 다시 정리해 두어야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 번호순 계단형

난이도가 번호 순서와 정확히 일치합니다. 앞에서부터 풀면 난이도가 끊김 없이 올라가니 시간 배분을 짜기 쉽습니다. 1~9번까지 아홉 문항을 빠르게 끝내고, 10~17번 중상 구간에서 실수 없이 점수를 지키는 것이 기본 전략입니다.

상 5문항(18~22번) 은 전체의 23%입니다. 다섯 문항 모두 절댓값, 구간별 함수, 사차함수처럼 그래프를 그려 경우를 나누는 문항입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 11문항

도함수의 활용 두 단원이 합쳐 11문항으로 절반입니다. 06 단원은 속도·가속도 같은 운동 문항(2·6·8·9번)과 실근의 개수(18·20번)로 나뉩니다.

09 정적분의 활용 세 문항은 전부 중상입니다. 넓이 문항이 쉬운 자리에 하나도 없다는 뜻입니다.

시그니처 유형 — 실근의 개수와 미정계수의 결정

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 18·20번, 둘 다 상입니다.

• 18번 상 절댓값을 씌운 함수의 미분가능하지 않은 점의 개수와 불연속이 생기는 높이로 사차함수를 정합니다.
• 20번 상 대칭인 사차함수에서 서로 다른 실근이 일곱 개가 되는 조건으로 범위를 제한합니다.

두 문항 모두 사차함수 그래프와 수평선 y=k가 몇 번 만나는지를 세는 문제입니다. 극대·극소의 높이를 기준으로 수평선을 위아래로 움직여 보는 연습이 필요합니다.

함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정은 10·21번에 나왔습니다. 10번(중상)은 유한한 극한값과 구간 안의 최대점 조건으로 삼차함수의 계수를 정하고, 21번(상)은 양쪽 반직선에서의 최솟값 차로 두 극소점의 위치를 찾습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 확보 구간 (1·2·3번) — 전부 하

1번 도함수가 주어질 때 함수 구하기(부정적분 후 초기 함숫값 대입), 2번 가속도(위치를 두 번 미분), 3번 정적분의 계산(일차식의 제곱을 전개해 적분).

세 문항 모두 한 단계 계산입니다. 반드시 맞혀야 합니다.

2. 운동 문항 (2·6·8·9번)

2번 하 가속도, 6번 중 속도, 8번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 9번 중 속도·가속도와 운동 방향.

6번은 높이 조건을 만족하는 양의 시각을 먼저 구하고 그때의 속도를 구합니다. 8번은 세 구간의 운동을 이어 붙여 움직인 거리를 더하는 문항입니다. 9번은 속도가 0이 되는 두 시각이 모두 출발 뒤에 오도록 정수를 정합니다. 운동 방향이 바뀐다 = 속도의 부호가 바뀐다는 대응을 정확히 써야 합니다.

3. 최대·최소와 극값 (4·5·10·13·21번)

4번 중 함수의 최대·최소, 5번 중 도함수의 그래프를 이용한 극대·극소, 10번 중상 미정계수의 결정, 13번 중상 최대·최소의 활용(부피), 21번 상 미정계수의 결정.

4번은 닫힌 구간에서 끝점의 값과 도함수가 0인 점의 값을 모두 비교합니다. 5번은 도함수 그래프의 부호를 읽어 증가 구간과 극값에 관한 진술을 판정합니다. 13번은 구에 내접하는 사각뿔의 부피를 높이에 대한 식으로 나타내 최댓값을 구하는 문항입니다.

4. 부정적분 (1·7·12번)

7번 중 부정적분과 극대·극소(도함수의 영점과 극값으로 함수 구하기), 12번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식(양변 미분 후 중근 조건).

12번은 관계식을 미분해 도함수를 얻은 뒤 서로 다른 두 근과 중근 조건으로 적분상수를 정합니다.

5. 정적분과 정적분의 활용 (11·14·15·17·22번)

11번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 14번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 17번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 22번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분.

11번은 우함수라는 조건과 영점 조건으로 부호를 정해 넓이를 구합니다. 14번은 정사각형 안에서 포물선이 나누는 영역의 넓이 비로 계수를 구합니다. 17번은 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭이라는 성질로 두 영역의 넓이를 연결합니다. 22번은 움직이는 구간에서의 최솟값을 함수로 보고 경계별로 나누어 정적분합니다.

6. 미분가능성 (16·19번)

16번 중상 미분가능성과 연속성, 19번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

16번은 절댓값 함수가 미분가능하지 않은 점이 단순근에서 생긴다는 것으로 단순근과 중근을 구분합니다. 19번은 경계에서 함숫값과 미분계수를 맞추는 조건과 절댓값의 미분가능성을 함께 따져 매개변수 범위를 정합니다.

주의 문항 — 상 5문항

18번 (실근의 개수) — 절댓값과 사차함수가 함께 나와 경우가 많습니다.

19번 (구간별 함수의 미분가능성) — 앞 단원 개념이 마지막 구간에서 다시 나왔습니다.

20번 (실근의 개수) — 일곱 개의 실근 조건을 그래프로 읽어야 합니다.

21번 (미정계수의 결정) — 두 극소점의 위치를 최솟값 조건에서 찾아야 합니다.

22번 (구간별 함수의 정적분) — 최솟값 함수를 경계별로 나눠 적분하는 마지막 문항입니다.

불곡고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분·정적분 기본 계산, 가속도 — 1·2·3번 확보 구간.
2. 닫힌 구간의 최대·최소, 도함수 그래프 읽기 — 4·5번 대비.
3. 속도·가속도와 운동 방향, 움직인 거리 — 6·8·9번 대비.
4. 부정적분과 극값, 관계식으로 함수 구하기 — 7·12번 대비.
5. 최대·최소의 활용(부피) — 13번 대비.
6. 넓이 세 유형(x축·직선·역함수 대칭) — 11·14·17번 대비. 전부 중상.
7. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 15번 대비.
8. 절댓값 함수와 구간별 함수의 미분가능성 — 16·19번 대비.
9. ★ 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 10·21번 대비.
10. ★ 사차함수와 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 18·20번 대비.
11. 구간별 함수의 정적분 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

불곡고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로는 전 문항이 ①~⑤ 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3)이 6문항, 05 도함수의 활용 (2)가 5문항입니다. 적분 쪽은 부정적분·정적분·정적분의 활용이 3문항씩입니다.

기말인데 미분이 더 많이 나왔나요?

네. 미분 쪽 13문항, 적분 쪽 9문항입니다. 상 5문항 중 네 문항도 미분 쪽입니다.

킬러 문항은 어디에 있나요?

18~22번 마지막 다섯 문항이 모두 상입니다. 앞 17문항은 번호 순서대로 하·중·중상입니다.

과년도 불곡고 기출도 볼 수 있나요?

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