분당영덕여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
분당영덕여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험은 중 8문항, 중상 8문항으로 가운데가 두껍고, 상 3문항은 16·18·19번에 모여 있습니다.
핵심 요약
- 21문항 — 1~19번 선택형, 20·21번 서술형 2문항
- 난이도: 하 2 / 중 8 / 중상 8 / 상 3
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 1
- 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(17·18번), 정적분을 포함한 등식(7·20번)
- 미분 쪽 9문항, 적분 쪽 12문항
분당영덕여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
분당영덕여자고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록 기준 1~19번은 선택형, 20·21번은 서술형입니다.
단원은 미분 쪽(05·06단원) 9문항, 적분 쪽(07·08·09단원) 12문항입니다. 적분이 조금 더 많지만, 서술형 두 문항은 모두 극대·극소와 최대·최소를 다룹니다. 도함수의 활용을 앞 단원이라고 미뤄 두면 서술형에서 손해를 봅니다.
앞 열두 문항은 하 2, 중 8, 중상 2로 비교적 편합니다. 13번부터는 중상과 상만 나옵니다. 앞에서 시간을 아껴 13~21번 아홉 문항에 쓰는 것이 기본 전략입니다.
2025학년 난이도 분포 — 13번부터 전부 중상 이상
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 10% | 1·3 |
| 중 | 8 | 38% | 2·4·5·7·9·10·11·12 |
| 중상 | 8 | 38% | 6·8·13·14·15·17·20·21 |
| 상 | 3 | 14% | 16·18·19 |
1~12번에서 중상은 6·8번 두 문항뿐입니다. 둘 다 도함수의 활용 단원이라, 앞부분에서 막히는 곳이 생긴다면 이 두 문항일 가능성이 큽니다.
13~21번 아홉 문항은 중상 6, 상 3입니다. 상 세 문항이 16·18·19번으로 객관식 끝에 몰려 있고, 서술형 20·21번은 중상입니다.
출제 단원 — 정적분 6, 도함수의 활용 9
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 |
|---|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 1·7·16·17·18·20 | 하 1 / 중 1 / 중상 2 / 상 2 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 2·6·12·15·21 | 중 2 / 중상 3 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 3·5·10·11·19 | 하 1 / 중 3 / 상 1 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 8·9·13·14 | 중 1 / 중상 3 |
| 07 부정적분 | 1 | 4 | 중 1 |
상 3문항 중 두 개(16·18번)가 08 정적분입니다. 정적분 단원은 1번 하로 시작하지만 16~18번에서 가장 어려워집니다.
반대로 09 정적분의 활용은 19번을 빼면 하·중입니다. 넓이와 움직인 거리 문항은 확실히 챙겨야 하는 구간입니다.
시그니처 유형 — 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소
정적분으로 정의된 함수의 최대·최소가 17번(중상)과 18번(상) 에 연달아 나왔습니다.
- 17번 중상 정적분으로 정의된 함수의 도함수를 두 인수의 곱으로 나타내고, 극값이 사라지는 경우를 찾습니다.
- 18번 상 절댓값 조건과 오른쪽 경계 조건을 사차함수의 근의 배치로 해석합니다.
두 문항 모두 적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 된다는 기본정리에서 출발합니다. 그다음은 도함수의 부호표를 그려 증가·감소를 따지는 미분 문제로 바뀝니다. 미분과 적분을 오가는 힘이 이 시험의 핵심입니다.
정적분을 포함한 등식(위끝·아래끝이 상수) 도 7번(중)과 서술형 20번(중상) 에 나왔습니다. 7번은 고정된 정적분을 상수로 두고 함수와 적분값을 연립하고, 20번은 극점의 중근 구조와 대칭 조건까지 함께 써서 삼차함수의 극솟값을 구합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 확보 구간 (1·3번) — 하
1번 정적분의 계산, 3번 곡선과 x축 사이의 넓이(삼차곡선의 세 근을 구하고 두 영역의 넓이를 각각 계산).
3번은 x축 위쪽과 아래쪽 영역을 부호를 나누어 따로 적분해야 합니다.
2. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소와 최대·최소 (2·6·12·15·21번)
2번 중 삼차함수가 실수 전체에서 증가 또는 감소하기 위한 조건, 6번 중상 함수의 극대·극소, 12번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 15번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 중상(서술형) 최대·최소의 활용(넓이).
2번은 역함수가 존재한다 = 실수 전체에서 증가(또는 감소)한다로 바꾸고 판별식을 씁니다. 6번은 두 곡선 사이의 세로 거리를 절댓값 함수로 나타내 극값의 개수를 셉니다. 12번은 상수의 부호에 따라 경우를 나눠 최대·최소를 맞추고, 15번은 두 극점을 잇는 선분의 기울기로 최고차항의 계수를 정합니다.
3. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식·변화율 (8·9·13·14번)
8번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건과 최대·최소, 9번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중상 시각에 대한 넓이의 변화율.
8번은 항상 양수인 사차식에서 상수의 범위를 구한 뒤 최댓값과 최솟값을 따집니다. 9번은 두 삼차식의 차를 하나의 함수로 놓고 양의 근 두 개, 음의 근 한 개 같은 부호 조건을 적용합니다. 14번은 움직이는 두 점 사이의 거리와 삼각형의 넓이를 시각에 대한 식으로 나타내는 문항입니다.
4. 정적분 (7·16·17·18·20번)
7번 중 정적분을 포함한 등식, 16번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 17번 중상·18번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 20번 중상(서술형) 극대·극소와 정적분을 포함한 등식.
16번은 주어진 관계식을 만족하면서 연속인 함수가 되도록 구간별 식을 고른 뒤 구간마다 적분합니다.
5. 정적분의 활용 (5·10·11·19번)
5번 중 움직인 거리, 10번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 11번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 19번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성과 위치의 변화량.
5번은 속도가 0이 되는 시각을 기준으로 구간을 나눠 거리를 적분합니다. 11번은 역함수의 정적분을 직사각형 넓이에서 원래 함수의 정적분을 빼서 구합니다. 19번은 부호가 바뀌는 함수의 미분가능성과 운동 조건을 함께 따지는 상 문항입니다.
6. 부정적분 (4번)
4번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기. 차수 조건과 유한한 극한값 조건으로 삼차식을 정합니다.
서술형 2문항 (20·21번)
| 번호 | 단원 | 유형 | 난이도 |
|---|---|---|---|
| 20 | 08 정적분 | 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 / 정적분을 포함한 등식 | 중상 |
| 21 | 05 도함수의 활용 (2) | 최대·최소의 활용; 넓이 | 중상 |
21번은 포물선 위의 두 점으로 삼각형과 사각형의 넓이를 차례로 최대화하는 문항이고, 정답 기록상 소문항 (1)부터 나뉜 형태입니다. 앞 소문항의 결과가 다음 소문항에 쓰이니 첫 단계부터 정확히 써야 합니다.
주의 문항 — 상 3문항
16번 (구간별 함수의 정적분) — 연속 조건으로 구간별 식을 먼저 확정해야 합니다.
18번 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 사차함수의 근 배치를 조건에서 읽어 내야 합니다.
19번 (미분가능성과 위치의 변화량) — 미분과 운동을 한 문항에서 함께 다룹니다.
분당영덕여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분 기본 계산과 x축 넓이 — 1·3번 확보 구간.
- 삼차함수의 증가 조건과 판별식 — 2번 대비.
- 부정적분과 미분의 관계 — 4번 대비.
- 움직인 거리, 곡선과 접선의 넓이, 역함수의 정적분 — 5·10·11번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 7·20번 대비.
- 절댓값 함수의 극값, 항상 성립하는 부등식 — 6·8번 대비. 앞부분 중상 두 문항.
- 실근의 부호와 개수 — 9·13번 대비.
- 미정계수의 결정(최대·최소, 극대·극소) — 12·15·20번 대비.
- 시각에 대한 변화율 — 14번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 17·18번. 이 시험의 시그니처.
- 구간별 함수의 정적분과 미분가능성 — 16·19번 대비.
- 최대·최소의 활용(넓이) — 21번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
분당영덕여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 1~19번은 선택형, 20·21번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 부정적분 1문항입니다.
미분 단원도 나오나요?
네. 도함수의 활용 두 단원에서 9문항이 나왔고, 서술형 21번도 도함수의 활용입니다.
킬러 문항은 어디에 있나요?
상 난이도는 16·18·19번입니다. 13번부터는 모든 문항이 중상 이상입니다.
과년도 분당영덕여고 기출도 볼 수 있나요?
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