분당중앙고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

분당중앙고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 세 단원입니다. 이 시험의 특징은 분명합니다. 21문항 중 16문항이 "08 정적분" 한 단원에 몰려 있습니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번 선택형, 19~21번 서술형 3문항
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 7 / 상 4
• 배치 단원: 08 정적분 16 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(위끝·아래끝이 상수) 4회(2·8·10·20번)
• 상 4문항: 16·17·18·21번

분당중앙고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

분당중앙고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~21번은 서술형입니다.

단원 배치가 한쪽으로 쏠려 있습니다. 부정적분은 5번 한 문항, 넓이·위치 같은 정적분의 활용은 3·4·9·10번 네 문항이고, 나머지 16문항이 전부 정적분 단원입니다. 정적분의 계산, 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수, 주기함수의 정적분이 골고루 나왔습니다.

그래서 이 시험의 준비는 "정적분으로 정의된 함수를 미분해서 다룰 수 있느냐" 로 정리됩니다. 위끝에 변수가 있는 적분을 미분하는 기본정리가 거의 모든 문항의 출발점입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 9, 중상 7

하 난이도는 1번 하나입니다. 대신 중 난이도가 9문항으로 가장 두껍고, 2~8번은 4번을 빼면 전부 중입니다. 앞부분에서 계산 실수 없이 빠르게 넘어가는 것이 첫 번째 과제입니다.

상 4문항은 16·17·18번 객관식 마지막 세 문항과 서술형 21번입니다. 객관식 상 세 문항이 끝에 모여 있으니 시간 배분을 미리 정해 두세요.

출제 단원 — 정적분 16문항

상 4문항이 모두 08 정적분 단원입니다. 정적분의 활용 네 문항은 3번 중을 빼면 전부 중상이지만 상은 없습니다.

정적분 단원 안에서도 유형이 겹칩니다. 정적분을 포함한 등식(2·6·7·8·20번), 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 최대·최소(11·12·16·17번), 주기함수의 정적분(13·14번)이 세 축입니다.

시그니처 유형 — "정적분을 포함한 등식" 4회

정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우가 2·8·10·20번 네 문항에 나왔습니다. 위끝에 변수가 있는 경우(6번), 위끝과 피적분함수에 모두 변수가 있는 경우(7번)까지 합치면 여섯 문항이 정적분을 포함한 등식입니다.

• 2번 중 양끝이 상수인 적분을 하나의 값으로 두고 항등식을 풉니다.
• 8번 중 적분 방향을 바로잡은 뒤, 같은 구간의 두 식을 빼서 미정계수를 정합니다.
• 10번 중상 적분 등식과 주어진 한 근으로 이차함수의 나머지 근을 구하고, x축과 둘러싸인 넓이까지 구합니다.
• 20번 중상(서술형) 적분값이 양수라는 조건과 정수 약수 조건으로 계수를 정하고 적분상수를 구합니다.

양끝이 상수인 정적분은 그냥 하나의 상수입니다. 이것을 k로 두고 식에 대입해 k에 대한 방정식을 세우는 것이 기본 절차입니다. 8번처럼 위끝과 아래끝이 뒤바뀐 적분의 부호를 놓치지 않는 것도 중요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분으로 정의된 함수 (1·6·7번)

1번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 6번 중 위끝에 변수가 있는 등식, 7번 중 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 등식.

1번은 위끝이 움직이는 정적분의 극한을 미적분의 기본정리로 함숫값 하나로 바꾸는 문항입니다. 6번은 양변을 미분하고 아래끝을 대입해 두 상수를 정합니다. 7번은 피적분함수 안의 x를 적분 밖으로 꺼낸 뒤 미분합니다. 곱의 미분에서 항이 상쇄되는 과정을 직접 써 보세요.

2. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 최대·최소 (11·12·16·17번)

11번 중 극값 조건과 두 함숫값의 차로 양의 두 근 정하기, 12번 중상 극댓값과 절댓값 누적 적분을 세 부분의 넓이로 나누기, 16번 상 하나뿐인 극값과 접하는 영점으로 삼차함수 정하기, 17번 상 주기함수 조각과 꺾인 일차함수의 차로 전체 최댓값 비교하기.

정적분으로 정의된 함수의 도함수는 피적분함수입니다. 그래서 극값의 위치는 피적분함수의 부호가 바뀌는 곳입니다. 12번처럼 넓이 비교가 끼면 피적분함수의 그래프를 그려 부호별 넓이를 표시해야 합니다.

3. 주기함수의 정적분 (13·14번)

13번 중 일정한 값만큼씩 커지는 조건으로 기본 구간의 정적분을 옮기기, 14번 중상 도함수의 대칭과 주기를 함수의 대칭과 기본 구간 적분으로 연결하기.

13번은 한 주기 구간의 적분값을 구한 뒤 구간마다 일정하게 늘어나는 적분값을 등차수열처럼 더하는 문항입니다. 14번은 도함수가 원점에 대해 대칭이면 함수는 y축에 대해 대칭이라는 관계가 열쇠입니다.

4. 구간별 함수와 함수 구하기 (15·18번)

15번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기와 정적분의 계산, 18번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분.

15번은 연속인 도함수를 좌우 두 부분으로 나눠 부호를 정하고 초깃값으로 함수를 구한 뒤 정적분을 계산합니다. 18번은 절댓값 적분의 대칭으로 삼차함수를 정하고 줄어드는 구간마다 나누어 적분해 더하는 문항입니다.

5. 정적분의 활용 (3·4·9·10번)

3번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 4번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 9번 중상 위치와 위치의 변화량, 10번 중상 상수끝 등식과 곡선과 x축 사이의 넓이.

3번은 삼차곡선과 직선의 세 교점을 구한 뒤 두 영역의 넓이를 따로 구합니다. 4번은 접선과 삼차곡선이 접점에서 중근을 가진다는 점을 이용합니다. 9번은 두 점의 위치 차로 다시 만나는 시각과 닫힌 구간에서 최대 거리를 구합니다.

6. 부정적분 (5번)

5번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 항등식을 미분해 최고차항으로 차수를 정하고 계수를 비교합니다. 부정적분 단원에서는 이 한 문항뿐입니다.

서술형 3문항 (19·20·21번)

서술형 세 문항이 모두 08 정적분 단원입니다. 19번은 식이 주어지지 않은 기함수의 정적분을 대칭 구간과 남는 구간으로 나누는 문항이라 중 난이도입니다. 21번은 모든 부분 구간에서 성립하는 적분 부등식을 각 점의 부호 조건으로 바꾸는 문항이라 서술형 중 가장 어렵습니다.

주의 문항 — 상 4문항

16번 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 극값이 하나뿐이라는 조건을 중근 구조로 읽어야 합니다.

17번 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 두 극댓값을 직접 비교해야 전체 최댓값이 정해집니다.

18번 (구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분) — 구간이 계속 줄어드는 구조를 따라가야 합니다.

21번 (서술형, 미적분의 기본정리의 활용) — 부등식 조건에서 삼중근 구조를 끌어내는 문항입니다.

분당중앙고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 함수 구하기 — 5번 대비. 차수 결정과 계수 비교.
2. 미적분의 기본정리와 정적분의 극한 — 1번 확보 구간.
3. ★ 정적분을 포함한 등식(상수끝) — 2·8·10·20번. 이 시험의 시그니처.
4. 위끝에 변수가 있는 등식, 피적분함수에 변수가 있는 등식 — 6·7번 대비.
5. 곡선과 직선, 곡선과 접선 사이의 넓이 — 3·4번 대비.
6. 위치와 위치의 변화량 — 9번 대비. 두 점이 다시 만나는 시각.
7. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 11·12·16번 대비. 피적분함수의 부호.
8. 주기함수의 정적분 — 13·14번 대비.
9. 기함수·우함수의 정적분 — 19번 서술형 대비.
10. 구간별 함수의 정적분과 최대·최소 비교 — 15·17·18번 대비.
11. 적분 부등식과 기본정리의 활용 — 21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

분당중앙고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 16문항으로 압도적입니다. 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항입니다.

넓이 문제는 몇 문항인가요?

넓이를 직접 구하는 문항은 3·4·10번 세 문항입니다. 9번은 위치와 움직인 거리를 다룹니다.

킬러 문항은 어디에 있나요?

상 난이도는 16·17·18번과 서술형 21번입니다. 모두 08 정적분 단원입니다.

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