운중고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
운중고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제는 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용에 집중됐습니다. 이 시험은 난이도 배치가 계단처럼 정확합니다. 8번부터 17번까지 열 문항이 연속 중상, 18번부터 22번까지 다섯 문항이 연속 상입니다.
핵심 요약
- 22문항 (정답 기록 기준 전 문항 ①~⑤ 선택형 정답)
- 난이도: 하 3 / 중 4 / 중상 10 / 상 5
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 03 미분계수와 도함수 1 / 07 부정적분 1
- 8~17번 연속 중상, 18~22번 연속 상
- 중상 이상 15문항(68%)
운중고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
운중고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.
이 시험을 한 줄로 요약하면 "7번까지 끝내고, 나머지 15문항에서 승부" 입니다. 하·중 난이도 일곱 문항이 1~7번에 전부 모여 있고, 8번부터는 중 이하가 한 문항도 없습니다.
1번은 배치 단원이 03 미분계수와 도함수로, 다항식을 미분해 값을 대입하는 문항입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 10, 상 5
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% | 1·2·4 |
| 중 | 4 | 18% | 3·5·6·7 |
| 중상 | 10 | 45% | 8~17 |
| 상 | 5 | 23% | 18~22 |
상 5문항이 전체의 23%이고, 이 다섯 문항이 마지막 다섯 자리에 몰려 있습니다.
난이도가 번호 순으로 정확히 올라가므로, 시험 전략은 단순합니다. 1~7번을 실수 없이 빠르게 끝내고, 8~17번 중상 구간에서 최대한 점수를 모은 뒤, 남은 시간으로 18~22번에 들어갑니다. 18번 이후에서 시간을 쓰다가 중상 구간을 놓치는 것이 가장 큰 손해입니다.
출제 단원 — 정적분과 도함수의 활용 (3) 각 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 2·13·14·18·20·22 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 5·6·10·11·12·21 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 3·8·15·16·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 7·9·17 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 1 |
| 07 부정적분 | 1 | 4 |
미분 파트(03·05·06)가 10문항, 적분 파트(07·08·09)가 12문항으로 거의 반반입니다.
상 5문항의 단원을 보면 18·20·22번이 08 정적분, 19번이 09 정적분의 활용, 21번이 06 도함수의 활용 (3) 입니다. 최고 난도 구간은 정적분 단원이 주도합니다.
시그니처 — 우함수·기함수의 정적분 2회, 운동 문제 3회
우함수·기함수의 정적분이 두 번 나왔습니다. 2번(하)은 피적분함수가 주어진 경우, 14번(중상)은 피적분함수가 주어지지 않은 경우입니다. 같은 개념이 기본형과 응용형으로 한 번씩 나온 구조입니다.
운동(속도·가속도·거리) 관련 문항은 5번 가속도, 8번 움직인 거리, 10번 속도로 세 문항입니다. 위치를 미분하면 속도, 한 번 더 미분하면 가속도, 속도를 적분하면 위치 변화, 속력을 적분하면 움직인 거리라는 네 가지 연결을 확실히 정리해 두어야 합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (2·13·14·18·20·22번) — 6문항
2번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우, 13번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 14번 중상 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 20번 상 미적분의 기본정리의 활용, 22번 상 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수.
2번은 대칭 구간에서 홀수 차수 항을 지우고 짝수 차수 항만 적분하면 끝납니다. 14번은 도함수가 우함수라는 조건과 극값 차로 계수를 구한 다음 대칭 구간 적분을 합니다.
13번은 가변 상한 적분을 미분하고, 고정된 적분값을 상수로 두어 연립하는 표준 풀이입니다.
18·20·22번 상 세 문항은 모두 조건이 여러 겹입니다. 18번은 적분 부등식에서 일차식의 범위를 정하고, 20번은 극한 조건과 미적분의 기본정리, 조각함수의 연속 조건을 함께 씁니다. 22번은 절댓값 도함수의 적분에서 삼차식을 정해야 합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (5·6·10·11·12·21번) — 6문항
5번 중 가속도, 6번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 10번 중상 속도, 11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 12번 중상 시각에 대한 넓이의 변화율, 21번 상 평균값 정리 · 접선의 개수.
10번은 두 점 사이 거리가 주어진 값이 되는 시각을 절댓값 방정식으로 구한 뒤 두 속도를 더합니다. 음수 시각을 버리는 것까지 확인해야 합니다.
12번 시각에 대한 넓이의 변화율은 이 시험에서 가장 낯선 소재입니다. 원뿔과 수면 높이가 주어진 상황에서 닮음으로 수면의 반지름을 나타내는 것이 출발점입니다.
21번 상은 할선의 기울기와 같은 미분계수를 갖는 점의 개수, 그리고 접선 조건까지 묶은 문항입니다.
3. 정적분의 활용 (3·8·15·16·19번) — 5문항
3번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 8번 중상 움직인 거리, 15번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 16번 중상 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식, 19번 상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴.
3번은 함수와 역함수 사이 넓이를 직선 y=x와 원래 곡선 사이 넓이의 두 배로 바꾸는 문항입니다. 8번은 원점으로 돌아온다는 조건으로 속도식의 상수를 정한 다음 움직인 거리를 구합니다.
16번은 1/6 공식을 쓰는 넓이 문제에 자연수 조건과 합이 붙어 있습니다. 공식을 바로 꺼낼 수 있어야 시간이 남습니다.
19번 상은 사차함수 그래프가 주어진 조건을 만족하도록 함수를 정한 뒤 넓이를 구합니다.
4. 도함수의 활용 (2) (7·9·17번) — 3문항
7번 중 함수의 최대·최소, 9번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 17번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.
7번은 닫힌구간의 양 끝값과 극값을 모두 비교하는 기본형입니다. 9번은 구에 내접하는 원기둥의 부피를 최대로 만드는 문제로, 반지름과 높이 사이의 피타고라스 관계를 세우는 것이 첫 단계입니다.
5. 03 미분계수와 도함수 · 07 부정적분 (1·4번) — 하 2문항
1번 하 미분법의 공식, 4번 하 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기. 두 문항 모두 한 단계로 끝나는 확보 문항입니다.
주의 문항 — 상 5문항
18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 상 구간의 첫 문항입니다.
19번 상 (곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴) — 함수를 정하는 과정이 넓이 계산보다 길습니다.
20번 상 (미적분의 기본정리의 활용) — 극한 조건과 연속 조건을 함께 써야 합니다.
21번 상 (평균값 정리 · 접선의 개수) — 두 개념이 한 문항에 묶였습니다.
22번 상 (구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분) — 마지막 문항입니다.
운중고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 미분법 공식과 부정적분 기본 — 1·4번 대비. 확보 구간.
- 우함수·기함수의 정적분 — 2·14번 대비. 기본형과 응용형 모두.
- 함수와 역함수 사이 넓이 — 3번 대비.
- 위치·속도·가속도·움직인 거리 — 5·8·10번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 6번 대비.
- 닫힌구간 최대·최소와 미정계수 결정 — 7·17번 대비.
- 최대·최소의 활용(부피) — 9번 대비.
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 11번 대비.
- ★ 시각에 대한 넓이의 변화율 — 12번 대비. 닮음으로 식 세우기.
- 정적분을 포함한 등식 — 13번 대비.
- 두 곡선 사이 넓이와 1/6 공식 — 15·16번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수와 미적분의 기본정리 — 18·20번 대비.
- 그래프 조건으로 함수를 정한 뒤 넓이 구하기 — 19번 대비.
- 평균값 정리와 접선의 개수 — 21번 대비.
- 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 22번 대비.
자주 나오는 질문
운중고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 22문항 모두 ①~⑤ 중 하나가 정답으로 적혀 있습니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분과 06 도함수의 활용 (3)이 각 6문항으로 가장 많습니다. 09 정적분의 활용 5문항, 05 도함수의 활용 (2) 3문항이 뒤를 잇습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 5문항(18~22번) 이 마지막 다섯 자리에 연속으로 있습니다. 그중 세 문항(18·20·22번)이 정적분 단원입니다.
쉬운 문항은 어디에 있나요?
하 3문항(1·2·4번)과 중 4문항(3·5·6·7번)이 모두 1~7번에 있습니다. 8번부터는 중상 이상만 나옵니다.
같은 학기 1학년 공통수학2 기말과 비교하면 어떤가요?
2025학년 운중고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 22문항 중 하 10문항, 상 1문항이었습니다. 2학년 수학Ⅱ는 하 3문항, 상 5문항으로 난도 차이가 큽니다.
과년도 운중고 기출도 볼 수 있나요?
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