태원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

태원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험은 상 7문항, 중상 9문항으로 16문항이 중상 이상입니다. 그리고 "함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정" 유형이 네 번(12·17·19·21번) 나와 시험의 중심축을 이룹니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번은 선택형, 19~22번은 답이나 풀이를 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 1 / 중 5 / 중상 9 / 상 7
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 7 / 09 정적분의 활용 6 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 4회(12·17·19·21번)
• 13~18번 여섯 문항 중 다섯 문항이 상

태원고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

태원고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ(2015 개정)는 총 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답이나 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

배치 단원으로 세면 미분 10문항(05 도함수의 활용 (2) 7, 06 도함수의 활용 (3) 3), 적분 12문항(07 부정적분 2, 08 정적분 4, 09 정적분의 활용 6) 입니다. 2학기 기말이지만 05 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 단일 단원 최다입니다.

극대·극소 단원을 2학기 중간 범위로 생각하고 기말 대비에서 빼 두면 안 되는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 7, 중상 9

1~4번은 하 1문항, 중 3문항입니다. 확보 구간은 여기와 7번(중), 서술형 19번(중) 정도입니다.

5~12번은 7번을 빼면 전부 중상이고, 13~18번은 14번(중상)을 빼면 전부 상입니다. 선택형 후반 여섯 문항에 상이 다섯 개 몰려 있습니다.

서술형도 뒤로 갈수록 어려워집니다. 19번 중, 20번 중상, 21·22번 상입니다. 서술형 상 두 문항은 선택형 상 문항과 시간을 나눠 써야 하므로, 시험 전에 어느 문항을 먼저 잡을지 순서를 정해 두는 것이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 7문항

05 도함수의 활용 (2) 7문항은 1·4·19번이 중, 5·12번이 중상, 17·21번이 상입니다. 이 단원의 7문항 중 4문항이 미정계수 결정 유형입니다.

09 정적분의 활용 6문항은 넓이 5문항(9·11·14·15·22번)과 위치 1문항(10번)입니다. 15·22번이 상입니다.

08 정적분 4문항은 8·20번이 중상, 16·18번이 상입니다. 문항 수는 적지만 절반이 상입니다.

07 부정적분 2문항(2·3번) 은 둘 다 도함수가 주어질 때 함수를 구하는 기본 문항입니다.

시그니처 유형 — 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 4회

• 12번 중상 — 계수의 부호에 따라 극소가 되는 점이 달라지는 경우를 나누고, 주어진 극솟값을 대입합니다.
• 17번 상 — 두 극한이 같다는 조건에서 그래프가 두 번 접하는 조건을 만들고 사차식을 정합니다.
• 19번 중(서술형) — 두 극점에서 도함수를 정하고, 극댓값과 극솟값의 배수 관계를 씁니다.
• 21번 상(서술형) — 두 실근 중 어느 쪽이 중근인지와 극솟값으로 두 실근의 간격과 값을 정합니다.

네 문항의 공통 출발점은 "극값을 갖는 x에서 도함수가 0" 이라는 한 줄입니다. 그런데 난이도는 중부터 상까지 넓게 퍼져 있습니다. 19번처럼 조건을 그대로 대입하면 끝나는 문항도 있고, 12번처럼 계수 부호로 경우를 나눠야 하거나, 21번처럼 어느 근이 중근인지 먼저 판단해야 하는 문항도 있습니다.

두 번씩 나온 유형

• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2번(하), 3번(중)
• 곡선과 직선 사이의 넓이 — 11번(중상), 14번(중상)
• 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 — 9번(중상), 15번(상)

9번은 세 실근과 정적분 조건으로 삼차식을 정해 두 넓이를 더하고, 15번(상) 은 이동하는 최솟값의 미분가능성에서 삼중근을 갖는 사차곡선을 정한 뒤 넓이를 구합니다.

11번은 서로 다른 축으로 경계 지은 두 포물선 영역을 적분하고, 14번은 삼각형의 전체 넓이와 부분 넓이 비로 포물선 계수를 정합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·4·5·12·17·19·21번) — 7문항

1번 중 함수의 극대·극소, 4번 중 함수의 최대·최소, 5번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 12번 중상 미정계수의 결정, 17번 상 미정계수의 결정, 19번 중(서술형) 미정계수의 결정, 21번 상(서술형) 미정계수의 결정.

1번은 도함수의 두 근에서 부호 변화를 확인해 극댓값을 구하고, 4번은 닫힌구간 양 끝과 도함수가 0인 점의 함숫값을 모두 비교합니다.

5번(중상) 은 두 극값점이 서로 다른 열린 구간에 놓이도록 하는 계수 범위를 구합니다. 경계에서 도함수의 부호를 등호 없이 따져야 합니다.

2. 정적분의 활용 (9·10·11·14·15·22번) — 6문항

9번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴, 10번 중상 위치와 위치의 변화량, 11번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 14번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 15번 상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴, 22번 상(서술형) 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식.

10번은 원점에서 출발한 두 점의 속도를 적분해 위치 차를 구하고, 처음 다시 만나기 전까지 두 점 사이 거리의 최댓값을 구합니다.

22번(서술형, 상) 은 정수점 개수 조건으로 이차함수와 직선을 정한 뒤, 두 교점 사이 포물선과 직선의 넓이를 구합니다.

3. 정적분 (8·16·18·20번) — 4문항

8번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 16번 상 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 중상(서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우.

8번은 항등식에서 함수를 구한 뒤 대칭 구간 정적분의 극한을 계산합니다. 16번(상) 은 절댓값으로 접힌 삼차함수에서 꺾이는 점이 하나뿐이라는 조건과 적분 조건으로 함수를 정합니다.

18번(상) 은 원시함수의 같은 높이 두 점 중 한 점만 극값점이 되도록 하는 조건을 따집니다.

20번(서술형) 은 피적분함수에도 x가 들어 있는 정적분을 x를 밖으로 꺼내 분리한 뒤 두 번 미분하는 표준 유형입니다.

4. 도함수의 활용 (3) (6·7·13번) — 3문항

6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 7번 중 속도, 13번 상 두 그래프의 교점의 개수.

6번은 절댓값을 씌운 식에서 두 수평 높이의 근 개수를 더하는 문항이고, 7번은 두 점의 속도가 같은 시각에서 위치 차를 구합니다. 13번(상) 은 정적분으로 구한 절댓값 곡선과 직선의 세 교점에서 접점을 찾습니다.

5. 부정적분 (2·3번) — 2문항

2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 3번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

2번은 도함수를 적분하고 한 점의 값으로 적분상수를 정하는 이 시험의 유일한 하 문항입니다. 3번은 도함수 그래프가 직선일 때 기울기를 먼저 정하고 적분합니다.

주의 문항 — 상 7

13번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 절댓값 곡선과 직선의 접점.

15번 상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 삼중근을 갖는 사차곡선 구하기.

16번 상 (절댓값을 포함한 함수의 정적분) — 꺾이는 점 조건과 적분.

17번 상 (미정계수의 결정) — 극한 조건에서 두 번 접하는 사차식.

18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 원시함수의 같은 높이와 극값점.

21번 상 (미정계수의 결정, 서술형) — 중근 판단과 두 실근 간격.

22번 상 (포물선과 직선 사이 넓이, 서술형) — 정수점 조건과 넓이.

중상 9문항(5·6·8·9·10·11·12·14·20번) 은 5~14번 구간에 몰려 있습니다. 이 구간을 얼마나 빨리 통과하느냐가 상 문항에 쓸 시간을 결정합니다.

태원고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2·3번 대비. 확보 구간.
2. 극대·극소, 닫힌구간 최대·최소 — 1·4번 대비. 확보 구간.
3. 속도와 위치 차 — 7·10번 대비.
4. ★ 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 12·17·19·21번 대비. 이 시험의 시그니처, 계수 부호와 중근 판단까지.
5. 구간에서 극값을 가질 조건 — 5번 대비. 경계의 부호.
6. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 두 그래프의 교점 — 6·13번 대비.
7. 정적분을 포함한 등식(피적분함수에 x) — 20번 서술형 대비. 분리 후 두 번 미분.
8. 정적분으로 정의된 함수의 극한·극대·극소 — 8·18번 대비.
9. 절댓값을 포함한 함수의 정적분 — 16번 대비.
10. 곡선과 x축·곡선과 직선 사이 넓이 — 9·11·14·15번 대비.
11. 포물선과 직선 사이 넓이(1/6 공식) — 22번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

태원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답이나 풀이를 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많고, 정적분의 활용 6문항, 정적분 4문항, 도함수의 활용 (3) 3문항, 부정적분 2문항 순입니다.

킬러 문항은 몇 번인가요?

상 난이도는 13·15·16·17·18·21·22번 일곱 문항입니다. 그중 21·22번은 서술형입니다.

쉬운 문항도 있나요?

하 난이도는 2번 한 문항, 중 난이도는 1·3·4·7번과 서술형 19번입니다.

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