유신고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

경기 수원시 유신고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 범위는 함수의 증가와 감소부터 정적분의 활용까지입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 상 난이도가 5문항이라는 점입니다. 그리고 그 다섯 문항이 16번 이후에 몰려 있습니다. 16~21번 여섯 문항 중 19번 하나만 중이고 나머지는 모두 상입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~21번 서술형 3문항
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 6 / 상 5
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2
• 상 난이도: 16·17·18·20·21번
• 서술형 3문항 중 20·21번이 상

유신고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

유신고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번이 선택형, 19~21번이 서술형입니다.

단원은 미분과 적분이 거의 반반입니다.

• 미분 쪽: 05 도함수의 활용 (2) 5문항, 06 도함수의 활용 (3) 5문항 — 합계 10문항
• 적분 쪽: 07 부정적분 2문항, 08 정적분 6문항, 09 정적분의 활용 3문항 — 합계 11문항

난이도는 위에서 아래로 계단처럼 올라갑니다. 1번이 유일한 하, 2~8번은 모두 중, 9~15번은 13번을 빼면 모두 중상, 16번부터는 상이 이어집니다. 문항 번호가 곧 난이도 순서에 가깝습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항

중상과 상을 합치면 11문항으로 절반이 넘습니다. 그런데 이 11문항이 9번 이후에만 있습니다. 1~8번은 하 1문항과 중 7문항이니, 여기서 실수 없이 빠르게 넘어가야 뒤쪽 상 다섯 문항에 시간을 쓸 수 있습니다.

선택형 상 3문항(16·17·18번)이 선택형 맨 끝에 연달아 있고, 서술형도 19번(중) 다음 20·21번이 모두 상입니다.

출제 단원 — 정적분 6문항, 도함수의 활용 10문항

상 5문항을 단원별로 보면 08 정적분 2(17·21번), 05 도함수의 활용 (2) 1(16번), 06 도함수의 활용 (3) 1(18번), 09 정적분의 활용 1(20번) 입니다. 한 단원에 몰리지 않고 미분과 적분 양쪽에 고르게 퍼져 있습니다.

시그니처 유형 — 중복근으로 함수를 정하는 상 문항

상 5문항 중 17·20·21번 세 문항이 중복근 구조를 다룹니다.

• 17번 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 적분 부등식에서 0 이상인 사차식을 중복근 형태로 놓고 판별식으로 마무리
• 20번 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 사차곡선과 접선의 차를 중복근으로 인수분해한 뒤 넓이 계산
• 21번 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 넓이의 극한을 삼각형으로 바꾸고, 절댓값 삼차함수의 중근·단순근 조건으로 계수 결정

"접한다"·"극값을 갖는다"를 중복근으로 번역하는 습관이 이 세 문항의 공통 출발점입니다.

같은 유형이 두 번 나온 짝도 있습니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 9번(중상)은 절댓값 사차함수의 네 근, 18번(상)은 정수 조건이 붙은 세 근
• 움직인 거리 — 11번(중상)은 구간별로 다른 풍선의 속도, 19번(중, 서술형)은 속도·가속도·위치·총거리를 차례로 구하는 문항
• 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우) — 1번(하)과 13번(중). 인접 구간 적분을 합치는 성질

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·12·13·14·17·21번) — 6문항

1번 하 피적분함수가 같은 정적분, 12번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수), 13번 중 피적분함수가 같은 정적분, 14번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 17번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 21번 상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극한.

13번은 인접 구간 적분의 합으로 관계식을 만들고 첫 적분값에서 목표까지 반복하는 문항입니다. 1번과 같은 성질을 여러 번 쓰는 형태입니다.

14번은 적분으로 정의된 함수의 극점에서 피적분함수의 두 근을 찾고, 부호로 최고차항을 정한 뒤 절댓값 적분을 계산합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (3·5·10·15·16번) — 5문항

3번 중 극대·극소를 이용한 미정계수 결정, 5번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건, 10번 중상 삼차함수가 극값을 가질 조건, 15번 중상 함수의 극대·극소, 16번 상 함수의 최대·최소.

15번은 도함수의 세 근의 차수(중근 여부)에 따라 극대·극소가 생기는지를 따지는 문항입니다. 짝수 차수 근에서는 부호가 바뀌지 않는다는 점이 핵심입니다.

16번 상은 구간이 움직일 때 그 구간에서의 최댓값을 함수로 보고 분석하는 문항입니다. 양 끝값 중 어느 쪽이 큰지가 바뀌는 시점을 찾는 것이 관건입니다.

3. 도함수의 활용 (3) (4·6·7·9·18번) — 5문항

4번 중 시각에 대한 부피의 변화율, 6번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 7번 중 속도·가속도와 운동 방향, 9번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 18번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

4번은 원뿔 모양 그릇에 물이 차는 상황입니다. 닮음으로 물의 반지름과 높이 관계를 세운 뒤 부피를 시각으로 미분합니다.

7번은 속도가 0이 되는 시각과 부호 변화로 운동 방향이 바뀌는 순간을 찾는 문항입니다.

4. 정적분의 활용 (11·19·20번) — 3문항

11번 중상 움직인 거리, 19번 중(서술형) 움직인 거리, 20번 상(서술형) 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

11번은 속도가 0이 되는 시각에서 최고 높이를 구하고, 부호가 바뀌는 지점에서 나눠 이동 거리를 구합니다. 19번 서술형도 속도가 0인 시각에서 구간을 나눠 총거리를 구하는 흐름이라, 11번과 함께 연습하면 효율적입니다.

5. 부정적분 (2·8번) — 2문항, 둘 다 중

2번 중 부정적분과 미분계수, 8번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

2번은 원시함수의 차를 이용한 극한을 미분계수로 바꾸는 문항이고, 8번은 양변을 미분해 함수를 구한 뒤 적분상수를 정하는 문항입니다.

주의 문항 — 상 5문항

16번 상 (함수의 최대·최소) — 움직이는 구간의 최댓값을 함수로 다룹니다.

17번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 적분 부등식에서 중복근 형태를 찾아야 풀립니다.

18번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 정수 조건으로 근의 위치를 좁혀 함수를 결정합니다.

20번 상 (곡선과 접선 사이 넓이, 서술형) — 사차곡선과 접선의 차를 인수분해하는 과정이 핵심입니다.

21번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극한, 서술형) — 넓이의 극한과 절댓값 삼차함수의 미분가능성이 한 문항에 들어 있습니다.

유신고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분의 구간 합 성질 — 1·13번 대비.
2. 부정적분과 미분계수, 적분상수 결정 — 2·8번 대비.
3. 극값으로 미정계수 결정, 삼차함수 증가 조건 — 3·5번 대비.
4. 부피의 변화율 — 4번 대비. 닮음으로 변수 줄이기.
5. 부등식이 항상 성립할 조건 — 6번 대비.
6. 속도·가속도와 운동 방향 — 7번 대비.
7. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 9번, 그리고 18번까지 연결.
8. 삼차함수가 극값을 가질 조건 — 10번 대비.
9. ★ 움직인 거리 — 11번과 19번 서술형 대비.
10. 정적분을 포함한 등식 — 12번 대비.
11. 절댓값 함수의 정적분 — 14번 대비.
12. 도함수의 근의 차수와 극대·극소 — 15번 대비.
13. 구간이 움직일 때의 최댓값 — 16번 대비.
14. ★ 중복근 구조 연습 — 17·20·21번 대비. 접한다·극값을 인수분해로 번역하기.
15. 곡선과 접선 사이의 넓이 — 20번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

유신고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 각 5문항으로, 도함수의 활용 전체는 10문항입니다.

킬러 문항은 몇 개인가요?

상 난이도가 5문항(16·17·18·20·21번) 입니다. 중상 6문항까지 합치면 11문항이 중상 이상입니다.

서술형은 어렵나요?

정답 기록 기준 서술형은 19~21번 세 문항입니다. 19번은 중, 20·21번은 상입니다. 19번은 확실히 챙기고 20·21번에서 부분 점수를 노리는 전략이 현실적입니다.

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