창현고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

창현고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 범위는 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지, 수학Ⅱ 미분과 적분을 거의 통째로 다룹니다. 미분 파트 13문항, 적분 파트 12문항으로 양쪽이 거의 반반입니다. 가장 눈에 띄는 것은 "구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성"이 22·24·25번 세 문항에서 쓰였고, 그중 두 문항이 상 난이도라는 점입니다.

핵심 요약

• 25문항 — 정답 기록 기준 1~23번 선택형, 24·25번 서술형 2문항
• 난이도: 하 6 / 중 10 / 중상 5 / 상 4
• 배치 단원: 08 정적분 5 / 03 미분계수와 도함수 4 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 3 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 최다 반복 유형: 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 3회(22·24·25번)
• 운동 문제(속도·가속도·위치 변화량·움직인 거리)가 4·12·15·19번 네 문항

창현고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

창현고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 25문항이고, 정답 기록을 보면 1~23번은 선택형, 24·25번은 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

단원 흐름은 교과서 순서를 크게 벗어나지 않습니다. 1·2번 미분계수, 3·4번 도함수의 활용, 5·6번 부정적분, 7·8번 정적분으로 앞쪽 여덟 문항이 범위 전체를 한 바퀴 훑는 구조입니다. 9번부터 다시 미분으로 돌아가 같은 순서를 한 번 더 반복하고, 21번 이후는 고난도 문항이 이어집니다.

한 단원도 6문항을 넘지 않습니다. 가장 많은 08 정적분이 5문항이고, 나머지 단원이 3~4문항씩 나눠 가졌습니다. 04 도함수의 활용 (1)만 1문항(10번 접선의 방정식)으로 적습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항이 21번 이후에 몰림

배치가 아주 정직합니다. 1~7번은 6번 한 문항을 빼면 전부 하, 8~16번은 전부 중, 17번부터 중상, 21번 이후는 상과 중상이 섞입니다. 번호가 곧 난이도 순서라고 봐도 됩니다.

그래서 시간 배분의 기준선이 분명합니다. 16번까지 16문항을 정확하게 끝내고, 17번 이후 아홉 문항에 남은 시간을 쓰는 시험입니다. 상 난이도 네 문항(21·23·24·25번) 중 두 문항이 서술형이라, 뒤쪽에서 부분 점수를 챙길 여지를 남겨 두려면 앞에서 시간을 아껴야 합니다.

출제 단원 — 미분 13문항, 적분 12문항

대단원으로 묶으면 미분(03~06) 13문항, 적분(07~09) 12문항입니다. 시험 범위 끝에 있는 적분 단원도 미분만큼 무겁게 나왔으니, 기말 직전에 배운 정적분 파트를 가볍게 넘기면 안 됩니다.

난이도로 보면 차이가 있습니다. 상 난이도 4문항 중 두 문항(21·25번)이 08 정적분, 두 문항(23·24번)이 미분 쪽입니다. 그런데 25번은 배치 단원이 정적분이지만 미분가능성 조건을 먼저 풀어야 적분으로 넘어가는 문항이라, 사실상 미분과 적분을 모두 묻습니다.

시그니처 유형 — "구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성" 3회

이 시험에서 유일하게 세 번 나온 유형입니다. 22번(중상), 24번(상·서술형), 25번(상·서술형) 으로, 전부 뒤쪽 고난도 구간입니다.

• 22번 중상 — 양쪽 경계에서의 미분가능성
• 24번 상 — 절댓값이 들어간 함수가 전 구간에서 미분가능할 조건
• 25번 상 — 미분가능하지 않은 점이 하나뿐일 조건, 그리고 구간별 정적분

세 문항의 공통 뼈대는 경계점에서 "연속" → "좌우 미분계수 일치"를 차례로 확인하는 것입니다. 22번에서 이 절차를 익혀 두면 24·25번의 첫 단계가 같은 방식으로 열립니다. 절댓값 함수가 언제 미분가능하지 않은지(그래프가 꺾이는 점)를 그림으로 이해해 두는 것이 핵심입니다.

이 밖에 두 번씩 쓰인 유형은 다음과 같습니다.

• 함수의 극대·극소 — 3·9번
• 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 7·8번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (1·2·22·24번) — 4문항

1번 하 평균변화율, 2번 하 미분법의 공식(다항함수의 미분계수), 22번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 24번 상 같은 유형의 서술형.

양 끝이 극단적입니다. 1·2번은 정의와 공식을 대입하면 끝나는 확보 문항이고, 22·24번은 이 시험에서 가장 까다로운 축에 속합니다. 중간 난이도 문항이 하나도 없는 단원입니다.

2. 접선과 평균값 정리 (9·10번) — 2문항

9번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 함수의 극대·극소 — 정리의 가정과 반례를 따지는 문항입니다. 10번 중 접선의 방정식; 기울기가 주어진 경우.

9번은 평균값 정리가 성립하려면 어떤 조건이 필요한지를 묻습니다. 정리를 공식처럼 외우기보다 닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능이라는 가정을 정확히 기억해야 반례를 고를 수 있습니다.

3. 극대·극소 (3·16·23번) — 3문항

3번 하 함수의 극대·극소(극값의 정의), 16번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(증감에서 극댓값), 23번 상 함수의 극대·극소의 활용.

23번은 두 극점의 좌표가 정사각형을 이루는 설정입니다. 극점 좌표의 차이를 식으로 세우고 함수식을 결정해야 하는 4단계 문항이라 시간이 오래 걸립니다.

4. 도함수의 활용 (3) (4·11·12·17번) — 4문항

4번 하 속도(위치에서 속도), 11번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 12번 중 가속도(속도가 같아지는 조건과 가속도), 17번 중상 접선의 개수(곡선 밖의 점에서 그은 접선).

17번 접선의 개수는 접점을 문자로 두고 접선이 주어진 점을 지나는 조건을 세운 뒤, 그 방정식의 실근 개수로 접선 개수를 셉니다. 실근 개수는 다시 극댓값·극솟값의 부호로 판정하므로 극값과 그래프 개형까지 이어지는 문항입니다.

11번은 x가 일정 범위에 있을 때 부등식이 항상 성립할 조건입니다. 그 구간에서의 최솟값이 0 이상이면 된다는 원칙 하나로 정리됩니다.

5. 부정적분 (5·6·18번) — 3문항

5번 하 부정적분의 계산, 6번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 18번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

18번은 f(x)와 그 부정적분이 함께 들어간 등식에서 함수를 찾는 유형입니다. 양변의 최고차항 차수를 먼저 맞추고 계수를 비교하는 순서가 정석입니다.

6. 정적분 (7·8·13·21·25번) — 5문항

7번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 8번 중 같은 유형(같은 구간 적분의 합산), 13번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 21번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 25번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분.

13번은 위끝에 x가 있는 정적분 등식입니다. 위끝·아래끝이 같아지도록 x값을 대입해 0을 만들고, 양변을 미분해 f(x)를 구하는 두 단계를 기억하세요.

21번은 적분으로 정의된 함수의 극값을 묻습니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 되므로, 극값 문제를 피적분함수의 부호 문제로 바꿔 읽는 것이 출발점입니다.

7. 정적분의 활용 (14·15·19·20번) — 4문항

14번 중 두 곡선 사이의 넓이, 15번 중 위치와 위치의 변화량, 19번 중상 움직인 거리(두 점 사이의 거리와 이동 거리), 20번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이(넓이의 비로 교점 결정).

15번과 19번의 차이를 확실히 구분해야 합니다. 위치의 변화량은 속도를 그대로 적분하고, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분합니다. 19번은 운동 방향이 바뀌는 시각을 빠짐없이 찾는 것이 관건입니다.

운동 문제 4문항 — 미분과 적분 양쪽에서

4번(속도), 12번(가속도)은 위치를 미분하는 쪽, 15번(위치의 변화량), 19번(움직인 거리)은 속도를 적분하는 쪽입니다. 같은 주제가 두 대단원에 걸쳐 네 번 나왔습니다.

위치 → 미분 → 속도 → 미분 → 가속도, 거꾸로 속도 → 적분 → 위치라는 연결 고리를 한 장에 정리해 두면 네 문항이 한 번에 대비됩니다.

주의 문항 — 상 4문항, 중상 5문항

21번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 적분 함수의 극값과 대칭 구간 적분이 함께 나옵니다.

23번 상 (극대·극소의 활용) — 극점 좌표가 정사각형을 이루는 설정에서 함수식을 결정합니다.

24번 상·서술형 (미분가능성) — 절댓값 함수가 전 구간에서 미분가능할 조건입니다.

25번 상·서술형 (미분가능성 + 정적분) — 미분가능하지 않은 점이 하나뿐일 조건을 찾고 구간별로 적분합니다.

17번 중상 (접선의 개수), 18번 중상 (함수와 부정적분의 관계식), 19번 중상 (움직인 거리), 20번 중상 (곡선과 직선 사이의 넓이), 22번 중상 (미분가능성) — 17번부터 25번까지 아홉 문항 연속으로 중상 이상입니다.

창현고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 평균변화율·미분계수 기본 계산 — 1·2번 확보.
2. ★ 구간별로 정의된 함수의 연속·미분가능성 — 22·24·25번의 공통 뿌리. 이 시험의 시그니처.
3. 절댓값 함수의 그래프와 꺾이는 점 — 24·25번 대비.
4. 평균값 정리의 가정 — 9번 대비. 반례까지 떠올릴 수 있게.
5. 기울기가 주어진 접선의 방정식 — 10번 대비.
6. 극대·극소의 정의와 미정계수 결정 — 3·16번 대비.
7. 극값을 이용한 함수식 결정 — 23번 대비.
8. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 11번 대비. 최솟값 기준.
9. ★ 접선의 개수 — 17번 대비. 접점을 문자로 두고 실근 개수로.
10. ★ 속도·가속도·위치 변화량·움직인 거리 — 4·12·15·19번 묶음 대비.
11. 부정적분과 함수 구하기 — 5·6번 확보.
12. 함수와 부정적분의 관계식 — 18번 대비. 차수부터 맞추기.
13. 적분 구간이 같은 정적분의 성질 — 7·8번 확보.
14. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 13번 대비. 대입하고 미분.
15. 정적분으로 정의된 함수의 극값 — 21번 대비.
16. 두 곡선·곡선과 직선 사이의 넓이 — 14·20번 대비.

자주 나오는 질문

창현고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 25문항입니다. 정답 기록 기준 1~23번은 선택형, 24·25번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (2), 도함수의 활용 (3), 정적분의 활용이 각 4문항입니다. 미분 13문항, 적분 12문항으로 거의 반반입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도 4문항(21·23·24·25번) 입니다. 그중 24·25번은 서술형이고, 둘 다 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성을 다룹니다.

어떤 유형을 가장 먼저 봐야 하나요?

구간별로 정의된 함수의 미분가능성입니다. 22·24·25번 세 문항이 이 유형이고, 모두 중상 이상입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

1~7번 중 6번을 뺀 여섯 문항이 하 난이도입니다. 미분계수, 극값의 정의, 속도, 부정적분, 정적분 기본 계산이라 반드시 확보해야 하는 구간입니다.

과년도 창현고 기출도 볼 수 있나요?

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