성화여고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 기출 분석 (2025)

성화여고 1학년 1학기 중간 수학(공통수학1)은 2025학년 기준 총 23문항, 100점 만점입니다. 출제 범위가 06 여러 가지 방정식까지 넓게 걸쳐 있고, 서술형 3문항이 35점을 차지합니다. 특히 마지막 23번(서술형, 상)이 15점이라 이 한 문항의 무게가 큽니다.

핵심 요약

• 23문항·100점 — 1~20번 선택형 65점, 21~23번 서술형 35점
• 난이도: 하 5 / 중 10 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 02 나머지 정리와 인수분해 5 / 05 이차방정식과 이차함수 5 / 06 여러 가지 방정식 5 / 04 이차방정식 4 / 03 복소수 2 / 01 다항식의 연산 2
• 상 문항: 19번(구간에서 이차함수의 최대·최소, 5점), 23번(정수 조건의 부정방정식, 서술형 15점)
• 배점이 번호 순으로 2→3→4→5점으로 올라가는 구조

성화여고 고1 1학기 중간은 어떤 시험인가

성화여자고등학교는 대구 북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1은 총 23문항이고, 정답 기록을 보면 1~20번이 선택형, 21~23번이 서술형입니다.

출제는 01 다항식의 연산부터 06 여러 가지 방정식까지 여섯 단원 모두에서 이뤄졌습니다. 06 여러 가지 방정식이 5문항으로, 나머지 정리와 인수분해·이차함수 단원과 같은 비중입니다. 삼·사차방정식과 연립이차방정식까지 대비해야 하는 시험입니다.

배점 구조 — 서술형 3문항이 35점

선택형은 번호가 커질수록 배점도 커지는 구조입니다. 1~6번 2점, 7~12번 3점, 13~17번 4점, 18~20번 5점입니다.

서술형 세 문항의 합은 35점입니다. 22번(12점)과 23번(15점) 두 문항만 해도 27점입니다. 선택형 앞 6문항(12점)을 모두 맞혀도 22번 한 문항 배점과 같습니다. 서술형 후반 두 문항에 시간을 남기는 것이 점수 관리의 핵심입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 8문항

하 5문항은 모두 1~6번(2점 구간) 에 있습니다. 2번만 중입니다.

중상 이상 8문항은 13번 이후에 몰려 있습니다. 13~15번 세 문항이 연달아 중상이고, 18~20번 5점 구간도 세 문항 모두 중상 이상입니다. 서술형은 21번이 중, 22번이 중상, 23번이 상으로 번호 순서대로 어려워집니다.

출제 단원 — 세 단원이 5문항씩

나머지 정리와 인수분해, 이차방정식과 이차함수, 여러 가지 방정식이 각 5문항입니다. 버릴 단원이 없는 균형형 배치입니다.

배점으로 보면 06 여러 가지 방정식이 2+3+3+4+15=27점, 02 나머지 정리와 인수분해가 2+3+5+5+8=23점, 04 이차방정식이 2+3+4+12=21점입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 여러 가지 방정식 (6·11·12·17·23번) — 5문항, 27점

6번 하 근이 주어진 삼·사차방정식, 11번 중 삼차방정식의 근과 계수의 관계, 12번 중 {일차방정식·이차방정식} 꼴의 연립이차방정식, 17번 중 삼차방정식과 사차방정식의 켤레근, 23번 상(서술형) 정수 조건의 부정방정식.

11번은 실근 하나를 대입해 인수분해하고, 남은 이차식의 허근에 대해 근의 합·곱을 쓰는 문항입니다.

12번은 일차식을 이차식에 대입해 한 문자를 없애는 연립이차방정식 기본형입니다.

17번은 실수 계수 삼차방정식에서 허근이 주어지면 켤레근도 근이라는 성질로 세 근을 정한 뒤, x 자리에 일차식을 넣은 방정식의 근의 합을 구합니다.

23번(상, 15점)은 서로 다른 세 정수근을 갖는 삼차방정식의 계수 순서쌍 개수를 세는 문항입니다. 공통 일차 인수를 먼저 찾고, 남은 두 정수근의 곱과 "서로 다르다"는 조건으로 경우를 나눈 뒤, 계수의 범위 안에서 개수를 셉니다. 경우를 나눈 기준을 답안에 분명히 적어야 부분 점수를 받을 수 있습니다.

2. 나머지 정리와 인수분해 (1·8·18·20·21번) — 5문항, 23점

1번 하 일차식으로 나누었을 때의 나머지, 8번 중 계수 비교법, 18번 중상 조건이 주어진 다항식의 인수분해, 20번 중상 x⁴+ax²+b 꼴의 다항식의 인수분해, 21번 중(서술형) 일차식으로 나누었을 때의 나머지.

18번은 정수 계수 일차 인수를 갖는 사차식에서 가능한 인수 계수를 모두 나눠 따지는 문항입니다.

20번은 x⁴+ax²+b 꼴을 완전제곱식의 차로 바꿔 인수분해한 뒤, 정수 근이 생기지 않는 조건을 다룹니다. 두 문항 모두 5점 구간입니다.

21번(서술형, 8점)은 두 다항식을 같은 일차식으로 나눈 나머지에서 함숫값의 합과 제곱합을 얻고, 곱셈 공식으로 두 다항식의 곱의 나머지를 구합니다. 나머지 정리와 곱셈 공식 변형을 잇는 문항입니다.

3. 이차방정식과 이차함수 (4·5·10·16·19번) — 5문항

4번 하 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계, 5번 하 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소, 10번 중 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소, 16번 중 두 이차함수의 그래프의 교점 조건과 이차식 구하기, 19번 상 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소.

제한된 범위에서의 최대·최소가 5·10·19번 세 번 나왔습니다. 5번은 꼭짓점이 구간 안에 있는지만 확인하면 되는 하 문항, 10번은 최솟값 조건으로 상수를 정한 뒤 끝값을 비교해 최댓값을 구하는 중 문항입니다.

19번(상)은 구간에서의 최댓값·최솟값의 곱 조건으로 대칭축의 위치를 좁혀 이차함수를 정하는 문항입니다. 꼭짓점이 구간 안쪽에 있는지, 서로 다른 입력에서 같은 함숫값이 나오는지를 연결해야 하는 4단계 풀이입니다.

16번은 두 포물선의 차에 대한 판별식이 음수가 되는 조건에서 자연수 쌍을 따지는 문항입니다.

4. 이차방정식 (3·9·15·22번) — 4문항, 21점

3번 하 이차방정식의 근의 판별(중근), 9번 중 이차방정식의 작성(역수를 두 근으로), 15번 중상 이차식이 완전제곱식이 되는 조건, 22번 중상(서술형) 미정계수의 결정; 두 이차방정식이 주어진 경우.

15번은 판별식이 0이 되는 조건을 항등식으로 정리해 문자의 곱과 제곱합을 구하고, 네제곱합까지 계산하는 문항입니다.

22번(서술형, 12점)은 실수 계수 이차방정식의 켤레근 구조와, 그 근을 평행이동한 근을 갖는 다른 이차방정식의 관계로 계수를 정하는 문항입니다. 마지막에 근이 실제로 허근인지 확인하는 과정까지 써야 합니다.

5. 복소수 (2·14번), 다항식의 연산 (7·13번)

2번 중 복소수가 서로 같을 조건, 14번 중상 허수단위 i의 거듭제곱, 7번 중 다항식의 나눗셈(몫과 나머지), 13번 중상 곱셈 공식의 변형(x²+1/x², x³+1/x³).

7번은 제수에 상수가 곱해진 경우의 몫과 나머지를 구합니다. 나눗셈 결과를 제수의 최고차항 계수에 맞춰 바르게 고르는 것이 포인트입니다.

13번은 주어진 식에서 x+1/x의 값을 얻고 제곱합·세제곱합 공식으로 고차식의 값을 구합니다. 14번은 기본 복소수의 제곱을 i로 정리한 뒤 네 항 주기로 소거하고 남는 항을 더합니다.

주의 문항 — 중상 이상 8문항

13번 중상 (x+1/x 꼴 곱셈 공식 변형, 4점) — 4점 구간 첫 문항부터 중상입니다.

14번 중상 (i의 거듭제곱 주기합, 4점) — 남는 항 계산에서 실수가 잦습니다.

15번 중상 (완전제곱식 조건, 4점) — 항등식으로 정리하는 발상이 필요합니다.

18번 중상 (정수 일차 인수를 갖는 사차식, 5점) — 경우를 모두 나눠야 합니다.

19번 상 (구간 최대·최소, 5점) — 선택형 최고 난도입니다.

20번 중상 (x⁴+ax²+b 인수분해, 5점) — 완전제곱식의 차로 바꾸는 단계가 관건입니다.

22번 중상 (두 이차방정식의 미정계수, 서술형 12점) — 켤레근과 근의 이동을 함께 다룹니다.

23번 상 (정수 조건의 부정방정식, 서술형 15점) — 이 시험에서 배점이 가장 큰 문항입니다.

성화여고 고1 1학기 중간 대비 학습 순서

1. 나머지 정리, 판별식, x축과의 위치 관계, 근이 주어진 삼차방정식 — 1·3~6번(2점 구간) 확보.
2. 복소수의 상등, 다항식 나눗셈 — 2·7번 대비.
3. 계수 비교법, 역수 근의 이차방정식 작성 — 8·9번 대비.
4. 삼차방정식의 근과 계수, 연립이차방정식 — 11·12번 대비.
5. x+1/x 꼴 곱셈 공식 변형, i의 거듭제곱 — 13·14번 대비.
6. 완전제곱식 조건(항등식) — 15번 대비.
7. 두 포물선의 교점 조건, 켤레근 — 16·17번 대비.
8. ★ 구간에서 이차함수의 최대·최소 — 5·10·19번 대비. 19번은 상.
9. 정수 조건 인수분해, x⁴+ax²+b 꼴 — 18·20번 대비.
10. 나머지 정리와 곱셈 공식 결합 — 21번 서술형 대비.
11. ★ 켤레근과 근의 이동 — 22번 서술형(12점) 대비.
12. ★ 정수근을 갖는 삼차방정식의 경우 세기 — 23번 서술형(15점) 대비.

자주 나오는 질문

성화여고 1학년 1학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항, 100점 만점입니다. 1~20번은 선택형(65점), 21~23번은 서술형(35점)입니다.

배점은 어떻게 되나요?

선택형은 1~6번 2점, 7~12번 3점, 13~17번 4점, 18~20번 5점입니다. 서술형은 21번 8점, 22번 12점, 23번 15점입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

나머지 정리와 인수분해, 이차방정식과 이차함수, 여러 가지 방정식이 각 5문항입니다. 배점으로는 여러 가지 방정식이 27점으로 가장 큽니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19번(5점)과 23번(서술형 15점) 두 문항입니다. 중상은 13·14·15·18·20·22번 여섯 문항입니다.

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