동산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

동산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용 다섯 단원입니다. 이 시험에서 가장 눈에 띄는 점은 속도·가속도·위치·거리를 다루는 운동 문제가 7문항이라는 것, 그리고 "정적분을 포함한 등식" 유형이 네 번 나왔다는 것입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록 기준 1~19번 선택형, 20·21번 서술형 2문항
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 5 / 상 2
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 09 정적분의 활용 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수) 4회(12·13·15·20번)
• 가장 까다로운 구간: 상 난이도 19번과 서술형 21번

동산고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

동산고등학교는 인천 동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~19번은 선택형, 20·21번 두 문항이 서술형입니다.

파트별로 보면 다음과 같습니다.

• 미분 파트(05·06 도함수의 활용) — 7문항 (3·4·6·7·8·9·18번)
• 적분 파트(07·08·09) — 14문항 (1·2·5·10·11·12·13·14·15·16·17·19·20·21번)

적분 파트가 두 배입니다. 서술형 두 문항도 모두 08 정적분 단원입니다.

이 시험을 관통하는 소재는 운동입니다. 3번 가속도, 6·8번 속도, 5·11번 움직인 거리, 14번 위치와 위치의 변화량, 17번 위치 차와 실근의 개수까지 7문항이 수직선 위 점의 운동을 다룹니다. 미분으로 속도·가속도를 구하는 문항과 적분으로 위치·거리를 구하는 문항이 함께 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항이 중심

1~14번은 하와 중만 나옵니다. 중상 이상 일곱 문항은 모두 15번 이후에 있습니다. 앞 14문항을 정확하게 풀고, 15번부터 시간을 쓰는 구조입니다.

하 난이도 네 문항은 부정적분 계산(1번), 정적분 계산(2번), 가속도(3번), 속도(6번)입니다. 미분·적분의 기본 계산이 그대로 점수가 되는 문항들입니다.

출제 단원 — 정적분 7문항이 최다

08 정적분 7문항에 상 2문항(19·21번)과 서술형 2문항(20·21번)이 모두 들어 있습니다. 이 단원이 상위권을 가르는 단원입니다.

06 도함수의 활용 (3)의 5문항은 가속도·속도 문항 셋(3·6·8번)과 실근의 개수(4번), 부등식(7번)으로 이루어져 있습니다.

시그니처 유형 — "정적분을 포함한 등식" 4회

정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우가 12·13·15·20번 네 문항에 나왔습니다. 12·13번은 중, 15번은 중상, 20번은 서술형 중상입니다.

• 12번(중) — 아래끝을 대입해 매개변수를 정한 뒤 함숫값을 구합니다.
• 13번(중) — 적분 구간이 한 점이 되는 조건으로 계수를 정하고, 항등식을 미분해 미분계수를 구합니다.
• 15번(중상) — 적분 항등식에서 다항함수를 구하는 문항입니다.
• 20번(중상, 서술형) — 극한 조건과 정적분 항등식을 함께 써서 함수의 차수와 계수를 결정합니다.

네 문항의 공통 뼈대는 "아래끝(또는 위끝)에 같은 값을 넣으면 정적분이 0이 된다" 와 "양변을 미분하면 피적분함수가 나온다" 두 가지입니다. 이 두 동작을 자동으로 할 수 있으면 네 문항의 출발점이 같아집니다.

그 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 움직인 거리 — 5·11번
• 속도 — 6·8번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 4·17번
• 위치와 위치의 변화량 — 14·17번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 운동 — 속도·가속도 (3·6·8번)

3번 하 가속도, 6번 하 속도, 8번 중 속도.

3번은 위치를 두 번 미분해 가속도를 구하는 문항, 6번은 주어진 시각에 속도가 0이 되도록 계수를 정하는 문항입니다. 8번은 속도가 주어진 값이 되는 두 시각 중 알맞은 시각을 골라 위치를 계산합니다.

2. 운동 — 위치와 거리 (5·11·14·17번)

5번 중 움직인 거리, 11번 중 움직인 거리, 14번 중 위치와 위치의 변화량, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 위치와 위치의 변화량.

5번은 처음으로 정지하는 시각까지의 거리, 11번은 속도의 부호가 바뀌는 시각으로 구간을 나눈 거리입니다. 위치의 변화량은 속도를 그대로 적분, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분한다는 구분이 두 문항의 핵심입니다.

14번은 운동 방향이 바뀌는 조건으로 자연수를 정한 뒤 위치를 계산합니다. 17번은 두 점의 속도 차를 적분해 위치 차를 만들고, 이를 삼차방정식의 양의 실근 개수 문제로 바꿉니다. 미분 단원의 "실근의 개수"와 적분 단원의 "위치"가 한 문항에서 만난 셈입니다.

3. 정적분 (2·12·13·15·19·20·21번)

2번 하 정적분의 계산, 12·13번 중 정적분을 포함한 등식, 15번 중상 정적분을 포함한 등식, 19번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 중상(서술형) 정적분을 포함한 등식, 21번 상(서술형) 그래프와 정적분으로 정의된 함수.

19번은 정적분으로 정의된 함수의 도함수 부호가 구간마다 어떻게 바뀌는지 따져 극값을 찾는 문항입니다.

**21번(서술형)**은 절댓값이 들어간 함수를 적분해 함수를 만들고, 그 함수와 수평선의 교점(세 실근)과 근의 합 조건을 따지는 문항입니다.

4. 정적분의 활용 — 넓이 (10·16번)

10번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 16번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건.

10번은 역함수 관계에 있는 두 그래프가 y=x에 대칭이라는 점을 이용해 넓이를 한쪽의 두 배로 바꿔 계산합니다. 16번은 곡선과 직선의 위아래 관계를 확인한 뒤 두 넓이가 같다는 조건으로 식을 세웁니다.

5. 도함수의 활용 (4·7·9·18번)

4번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 9번 중 최대·최소의 활용(부피), 18번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

4번은 곡선과 직선의 교점을 수평선과의 교점으로 바꿔 삼차방정식이 서로 다른 두 근을 갖는 조건을 따집니다. 9번은 상자의 부피를 식으로 세워 최댓값을 구하는 문항입니다. 실제 길이가 양수여야 한다는 범위를 먼저 정하는 것이 출발점입니다.

18번은 극값 조건으로 삼차식을 세우고, 접합 부분에서 연속과 미분가능 조건으로 계수를 결정합니다.

6. 부정적분 (1번)

1번 하 부정적분의 계산. 각 항의 원시함수를 구하고 적분상수를 붙이는 기본 문항입니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 5문항

19번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 선택형 마지막 문항입니다. 도함수 부호를 구간별로 나누어 따져야 합니다.

21번 상, 서술형 (그래프와 정적분으로 정의된 함수) — 세 실근 조건과 근의 합 조건을 함께 다룹니다.

20번 중상, 서술형 (정적분을 포함한 등식) — 극한과 항등식을 이용해 함수의 차수부터 정해야 합니다.

15·16·17·18번(중상) — 정적분 등식, 넓이 조건, 위치와 실근의 개수, 조각함수의 미분가능성이 차례로 나옵니다. 네 문항 모두 서로 다른 단원·유형이라 한 가지 방식으로 밀어붙일 수 없습니다.

동산고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 부정적분·정적분 기본 계산 — 1·2번 대비. 확보 구간입니다.
2. ★ 속도·가속도 구하기 — 3·6·8번 대비. 위치를 미분하는 기본.
3. ★ 위치의 변화량과 움직인 거리 구분 — 5·11·14번 대비. 속도 부호가 바뀌는 시각에서 구간 나누기.
4. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 4·17번 대비. 수평선 교점으로 바꾸기.
5. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 7번 대비.
6. 최대·최소의 활용(부피) — 9번 대비.
7. ★ 정적분을 포함한 등식 — 12·13·15·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
8. 역함수 대칭을 이용한 넓이, 넓이가 같을 조건 — 10·16번 대비.
9. 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 18번 대비.
10. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 19·21번 대비. 마지막 고비.

자주 나오는 질문

동산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~19번은 선택형, 20·21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분 7문항이 가장 많고, 09 정적분의 활용 6문항, 06 도함수의 활용 (3) 5문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)과 21번(서술형, 그래프와 정적분으로 정의된 함수) 두 문항입니다. 둘 다 08 정적분 단원입니다.

운동 문제는 몇 문항 나왔나요?

속도·가속도·위치·거리를 다루는 문항이 3·5·6·8·11·14·17번 7문항입니다. 미분으로 속도·가속도를 구하는 문항(3·6·8번)과 적분으로 위치·거리를 구하는 문항(5·11·14·17번)이 섞여 있습니다.

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