도림고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
인천 남동구 도림고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 23문항입니다. 1~21번은 ①~⑤ 선택형, 22·23번은 서술형 2문항입니다. 배치 단원이 02 함수의 연속부터 09 정적분의 활용까지 8개 단원에 걸쳐 있어, 수학Ⅱ 거의 전 범위가 나온 시험입니다. 상 난이도는 17·20·23번 3문항입니다.
핵심 요약
- 분석표 기준 23문항 — 1~21번 선택형, 22·23번 서술형
- 난이도: 하 2 / 중 11 / 중상 7 / 상 3(17·20·23번)
- 배치 단원: 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 4 / 09 정적분의 활용 3 / 02 함수의 연속 1 / 03 미분계수와 도함수 1 / 04 도함수의 활용 (1) 1
- 앞 단원 문항: 02 함수의 연속(21번), 03 미분계수와 도함수(19번), 04 도함수의 활용 (1)(22번) 각 1문항
- 두 번 나온 유형: 속도·가속도와 운동 방향(2·13번), 정적분을 포함한 등식(12·18번)
도림고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가
도림고등학교는 인천 남동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표에 23문항이 기록되어 있습니다. 정답 기록을 보면 1~21번은 ①~⑤ 선택형, 22·23번은 서술형입니다.
출제 범위 이름은 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지지만, 배치 단원을 세어 보면 앞 단원 문항이 3문항 함께 나왔습니다. 02 함수의 연속 1문항(21번), 03 미분계수와 도함수 1문항(19번), 04 도함수의 활용 (1) 1문항(22번) 입니다. 19·21번은 중상, 22번은 서술형 중 난이도입니다. 함수의 연속과 미분가능성도 다시 정리해 두어야 하는 시험입니다.
미분 쪽(02~06 단원)이 11문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 12문항으로 거의 반반입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 9% | 1·9 |
| 중 | 11 | 48% | 2·3·4·5·6·8·11·13·16·18·22 |
| 중상 | 7 | 30% | 7·10·12·14·15·19·21 |
| 상 | 3 | 13% | 17·20·23 |
하 난이도는 1·9번 두 문항뿐입니다. 부정적분 계산과 속도 그래프에서의 이동거리입니다.
중 11문항이 절반에 가깝습니다. 중상은 7번에서 처음 나오지만, 앞쪽에는 7·10·12번처럼 띄엄띄엄 섞여 있습니다. 상 3문항은 17·20번(선택형)과 23번(서술형) 입니다. 17번부터 23번까지는 18·22번(중)을 빼면 모두 중상 이상입니다.
출제 단원 — 8개 단원에 고르게
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 5 | 10·12·18·20·23 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 4·5·6·15 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 2·11·13·17 |
| 07 부정적분 | 4 | 1·3·7·8 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 9·14·16 |
| 02 함수의 연속 | 1 | 21 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 19 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 22 |
가장 많은 단원도 5문항입니다. 어느 한 단원에 몰리지 않고 넓게 퍼져 있어 빠뜨린 단원이 있으면 바로 드러나는 구성입니다.
08 정적분 5문항 중 20·23번이 상입니다. 둘 다 정적분으로 정의된 함수 문항입니다.
07 부정적분이 4문항으로 적지 않습니다. 부정적분과 극대·극소(3번), 합과 곱의 도함수 적분(7번 중상) 같은 응용형도 있습니다.
반복 유형
- 속도·가속도와 운동 방향 — 2번(중), 13번(중). 2번은 마지막으로 운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도를, 13번은 두 점이 동시에 운동 방향을 바꾸는 조건으로 계수를 구합니다.
- 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우) — 12번(중상), 18번(중).
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (10·12·18·20·23번) — 5문항
10번 중상 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우). 겹치는 적분 구간의 차를 이용해 단위 구간의 적분을 구합니다.
12번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우). 등식을 미분하고 아래끝 조건으로 함수를 정합니다.
18번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우). 등차 조건으로 계수와 함숫값을 구합니다.
20번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소. 적분으로 정의된 함수가 극값을 갖지 않을 조건입니다.
23번 상 (서술형) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소. 적분값에 조건이 걸렸을 때의 최솟값을 다룹니다.
2. 도함수의 활용 (2) (4·5·6·15번) — 4문항
4번 중 도함수의 그래프의 해석(응용). 도함수 그래프로 증가·감소와 극값을 보기별로 판정합니다.
5번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건. 조건을 만족하는 정수를 셉니다.
6번 중 최대·최소의 활용(부피). 닮음을 이용해 원기둥 부피를 식으로 세우고 최대를 구합니다.
15번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정. 합성함수의 최솟값 조건입니다.
3. 도함수의 활용 (3) (2·11·13·17번) — 4문항
2번 중 속도·가속도와 운동 방향.
11번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건. 두 함수의 차를 놓고 최솟값을 봅니다.
13번 중 속도·가속도와 운동 방향.
17번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 사차함수와 수평선의 교점 높이를 따집니다.
4. 부정적분 (1·3·7·8번) — 4문항
1번 하 부정적분의 계산.
3번 중 부정적분과 극대·극소. 부정적분으로 주어진 함수의 극댓값 조건으로 상수를 정하고 극솟값을 구합니다.
7번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 두 함수의 합과 곱의 도함수를 각각 적분합니다.
8번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.
5. 정적분의 활용 (9·14·16번) — 3문항
9번 하 그래프에서의 위치와 움직인 거리. 속도 그래프에서 이동거리를 구합니다.
14번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이. 곡선 아래 영역과 삼각형으로 이루어진 넓이가 최대가 되는 경우입니다.
16번 중 위치와 위치의 변화량. 원점으로 돌아오는 조건을 씁니다.
6. 앞 단원 (19·21·22번) — 3문항
19번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성(03 미분계수와 도함수). 절댓값이 들어간 함수의 좌우 미분계수를 따집니다.
21번 중상 함수가 연속일 조건(응용)(02 함수의 연속). 구간별 함수의 곱이 연속이 되는 조건입니다.
22번 중 (서술형) 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이(04 도함수의 활용 (1)). 접선의 방정식에서 두 절편을 구해 삼각형 넓이를 구합니다.
주의 문항 — 상 3문항
17번 상 (사차함수와 수평선) — 사차함수의 극값 위치를 먼저 정해야 교점 조건을 쓸 수 있습니다.
20번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극값) — 극값이 없다는 조건을 도함수 조건으로 바꿔 읽는 것이 핵심입니다.
23번 상 (서술형, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 서술형 마지막 문항입니다. 경우를 나누는 근거를 풀이에 써야 합니다.
19·21번 중상 (앞 단원) — 출제 범위 이름만 보고 공부했다면 놓치기 쉬운 문항입니다.
서술형 22·23번
서술형 2문항은 접선과 좌표축으로 둘러싸인 넓이(22번 중) 와 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(23번 상) 입니다. 22번은 앞 단원인 04 도함수의 활용 (1) 문항이니 접선의 방정식을 다시 확인해 두세요.
도림고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분 계산과 속도 그래프의 이동거리 — 1·9번 대비. 확보 구간.
- ★ 함수의 연속과 미분가능성 복습 — 19·21번 대비. 앞 단원.
- 접선의 방정식과 절편 — 22번 서술형 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 2·13번 대비.
- 도함수 그래프 해석과 삼차함수 증가 조건 — 4·5번 대비.
- 부피의 최대 — 6번 대비.
- 부정적분과 극대·극소, 관계식으로 함수 구하기 — 3·7·8번 대비.
- 겹치는 구간의 정적분 — 10번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 11번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 12·18번 대비.
- 넓이의 최대, 위치의 변화량 — 14·16번 대비.
- 합성함수의 최솟값 조건 — 15번 대비.
- ★ 사차함수와 수평선의 교점 — 17번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 최대·최소 — 20·23번 대비.
자주 나오는 질문
도림고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 분석표 기준 23문항입니다. 1~21번은 선택형, 22·23번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분 5문항이 가장 많고, 05·06 도함수의 활용과 07 부정적분이 각 4문항, 09 정적분의 활용 3문항입니다.
범위 밖 단원도 나왔나요?
배치 단원 기준으로 02 함수의 연속(21번), 03 미분계수와 도함수(19번), 04 도함수의 활용 (1)(22번) 이 1문항씩 함께 나왔습니다.
가장 어려운 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 17·20·23번 3문항입니다. 23번은 서술형입니다.
과년도 도림고 기출도 볼 수 있나요?
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