양청중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025 이차방정식·이차함수)

양청중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년도 기준 총 22문항으로 분석됩니다. 출제 범위는 이차방정식의 풀이부터 이차함수의 활용까지로, 중3 1학기 후반부의 핵심인 이차방정식(인수분해·제곱근·근의 공식·활용)과 이차함수(그래프·꼭짓점·활용)를 한 번에 묻는 시험입니다. 양청중 3학년 1학기 기말 수학의 가장 큰 특징은 이차방정식 11문항과 이차함수 11문항이 정확히 반반으로 나뉘어, 한쪽만 공부해서는 절반밖에 못 맞히는 구조라는 점입니다. 충청북도 청주시에 있는 양청중학교의 이번 기말 수학을 문항별로 뜯어봤습니다.

핵심 요약

• 22문항, 범위: 이차방정식의 풀이 ~ 이차함수의 활용
• 난이도: 하 2 / 중 7 / 중상 8 / 상 5 — 상 5문항(23%)이 18~22번에 집중
• 대단원 비중: 이차방정식 11문항 · 이차함수 11문항 (정확히 반반)
• 빈출 유형: 인수분해를 이용한 풀이(3회) · 이차함수 그래프의 활용(3회) · 꼭짓점과 축의 방정식(3회)
• 상 문항: 18번(이차방정식 실생활 활용)·19번(이차함수 활용)·20번(a, p, q 부호)·21번(근의 공식)·22번(이차함수 활용)

출제 범위 — 이차방정식과 이차함수가 정확히 반반

양청중 2025 3학년 1학기 기말은 이차방정식 단원(08·09·10)과 이차함수 단원(11·12)에서 골고루 출제됐습니다. 문항별 주 단원을 기준으로 정리하면 다음과 같습니다.

이차방정식 11문항, 이차함수 11문항으로 양쪽이 정확히 같습니다. 이차방정식 안에서도 인수분해·중근·공통근을 다루는 '풀이 (1)'과 제곱근·근의 공식·완전제곱식을 다루는 '풀이 (2)'가 각각 5문항씩 균형을 이룹니다. 이차함수는 그래프의 기본 성질(11단원) 5문항과 일반형 $y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점·활용(12단원) 6문항으로 후반 단원 쪽이 살짝 무겁습니다.

난이도 분포 — 상 5문항이 18~22번에 몰려 있다

하·중이 9문항(41%)이라 기본기를 갖춘 학생은 앞부분에서 점수를 쌓을 수 있습니다. 다만 상 5문항(18·19·20·21·22번)이 시험지 후반에 한꺼번에 몰려 있어 마지막 5문항에서 등급이 갈립니다. 중상 8문항(36%)까지 더하면 상위권을 노릴수록 만만한 문제가 거의 없는 구성입니다. 시간 배분을 잘못해 앞쪽에서 시간을 쓰면 후반 상 문항을 손도 못 대고 끝날 수 있으니, 평소 22문항을 정해진 시간 안에 푸는 연습이 필요합니다.

양청중 기말의 빈출 유형 — 같은 유형이 3번씩 반복

문항별 유형 코드를 분석하면 양청중 기말은 특정 유형을 난이도만 바꿔 반복하는 패턴이 뚜렷합니다.

1. 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 — 3회 (7·18·22번)

가장 자주 등장한 코드입니다. 7번(중근을 가질 조건과 결합), 18번(상, 실생활 활용 속 풀이), 22번(상, 이차함수 활용 속 풀이)으로, 기본 풀이가 뒤로 갈수록 다른 단원과 엮여 상 난이도로 변주됩니다. 인수분해 계산이 흔들리면 후반 상 문항까지 연쇄로 무너집니다.

2. 이차함수의 그래프의 활용 — 3회 (17·19·22번)

12단원의 핵심으로 17번(중상), 19번(상), 22번(상)에 배치됐습니다. 그래프 위의 점, 좌표평면 위 도형의 넓이와 결합해 출제돼 상 난이도 변별의 중심이 됩니다.

3. 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식 — 3회 (11·12·19번)

$y=ax^2+bx+c$를 $y=a(x-p)^2+q$ 꼴로 고쳐 꼭짓점과 축을 찾는 유형이 11·12·19번에 나왔습니다. 표준형 변형은 이차함수 단원 전체를 관통하는 기본기라 반드시 손에 익혀야 합니다.

이 밖에 제곱근을 이용한 풀이, 근의 공식, 완전제곱식 꼴 고치기, $y=ax^2$의 그래프 모양, 표준형 그래프 등이 각각 2회씩 출제돼 단원 전반이 고르게 다뤄졌습니다.

주의해야 할 상 난이도 문항 (18~22번)

• 18번 (상) — 이차방정식의 실생활 활용: 인수분해 풀이와 결합된 활용 문제. 식을 세우는 과정에서 막히기 쉬우니 활용 문제 유형별 식 세우기를 미리 정리해 두세요.
• 19번 (상) — 이차함수의 그래프 활용: 꼭짓점·축과 좌표평면 위 도형의 넓이를 묶은 문제입니다.
• 20번 (상) — a, p, q의 부호: $y=a(x-p)^2+q$ 그래프 모양으로 부호를 판정하는 유형. 그래프의 위치·방향과 부호를 연결하는 훈련이 필요합니다.
• 21번 (상) — 근의 공식: 여러 가지 이차방정식의 풀이와 엮인 계산형. 근의 공식 대입과 정리에서 실수가 잦습니다.
• 22번 (상) — 이차함수의 그래프 활용: 인수분해 풀이까지 동원되는 종합 문항으로 배점 비중이 큰 마무리 문제입니다.

상 5문항 중 18·22번은 이차방정식, 19·20·22번은 이차함수 쪽이라 어느 한 단원도 버릴 수 없습니다.

학습 전략 — 양청중 기말 수학 대비 순서

1. 이차방정식 풀이 4종 완성 — 인수분해, 제곱근 이용, 완전제곱식, 근의 공식. 양청중은 네 가지 풀이법이 모두 출제됐습니다.
2. 이차함수 표준형 변형 반복 — $y=ax^2+bx+c$를 $y=a(x-p)^2+q$로 고쳐 꼭짓점·축 찾기(11·12·19번 유형).
3. 그래프와 좌표를 결합한 활용 연습 — 17·19·22번처럼 그래프 위의 점, 도형의 넓이와 묶이는 문제.
4. 이차방정식 실생활 활용 식 세우기 — 18번 같은 상 문항 대비.
5. 22문항 실전 시간 관리 — 앞쪽 하·중을 빠르게 처리해 후반 상 5문항에 시간을 남기는 연습.

선수 학습 측면에서는 일차식의 덧셈·뺄셈, 식의 값 구하기, 좌표평면 위 도형의 넓이가 반복적으로 깔려 있어, 중1·중2 기본기가 약하면 계산에서 점수를 흘립니다.

자주 나오는 질문

양청중 3학년 1학기 기말은 어디까지 나오나요?

이차방정식의 풀이부터 이차함수의 활용까지입니다. 인수분해·제곱근·근의 공식으로 푸는 이차방정식, 이차방정식의 활용, 그리고 $y=ax^2$부터 $y=ax^2+bx+c$까지의 이차함수 그래프와 활용이 모두 범위입니다.

상 난이도는 어디서 나오나요?

2025년 기준 18~22번에 상 5문항이 몰려 있습니다. 이차방정식 실생활 활용, 이차함수 그래프 활용, a·p·q 부호, 근의 공식이 핵심입니다.

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