개포고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

개포고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 범위는 함수의 극한부터 평균값 정리까지로, 수학Ⅱ의 I단원 전체와 II단원 미분법 앞부분이 들어갑니다. 개포고 2학년 2학기 중간 시험지를 문항별로 분석하면 난이도 구성이 극단적입니다. 중상이 11문항으로 전체의 절반이 넘고, 하는 2문항뿐입니다. 강남 학군 학교답게 기본 확인용 문항을 최소로 줄이고 중상 이상에서 촘촘히 변별하는 구성입니다.

핵심 요약

• 총 21문항, 1~19번 객관식 + 20·21번 서술형
• 난이도 분포 — 하 2 / 중 4 / 중상 11 / 상 4
• 출제 단원 — 03 미분계수와 도함수 7 / 01 함수의 극한 6 / 02 함수의 연속 4 / 04 도함수의 활용(1) 3 / 05 도함수의 활용(2) 1
• 최다 빈출 코드 — 함수의 그래프와 연속 4회, 구간별 함수의 미분가능성 3회, 0/0 꼴의 극한 3회
• 상 4문항은 15·16·18·19번, 전부 연속·미분가능성 판정

개포고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구 개포동에 위치한 일반계 고등학교입니다. 대치·개포 학군에 속해 수학 내신 경쟁이 전국에서 가장 치열한 지역 중 하나입니다.

문항 구성은 객관식 19문항(1~19번)과 서술형 2문항(20·21번)입니다. 하 난이도는 1번(미분법 공식)과 2번(함수가 연속일 조건) 두 문항뿐이고, 3번부터는 곧바로 중 이상으로 올라갑니다. 5번부터 19번까지 15문항 중 13문항이 중상 이상입니다.

2025학년 난이도 분포

중상 11문항(52%) 이 시험의 절반을 넘습니다. 이 정도 비중이면 "쉬운 문제를 다 맞고 어려운 문제 몇 개를 버리는" 전략 자체가 성립하지 않습니다. 중상 11문항을 대부분 처리할 수 있어야 상위권에 들어갑니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수 7문항

I단원(극한·연속) 10문항, II단원(미분법) 11문항으로 거의 정확히 반반입니다. 단일 단원 최다는 미분계수와 도함수 7문항(33%) 이며, 여기에 상 2문항(18·19번)과 서술형 1문항(21번)이 몰려 있습니다.

도함수의 활용은 4문항뿐이지만, 범위가 평균값 정리까지라 극값·증가감소 조건(6번)과 접선의 방정식(13번)만 다뤄졌습니다.

개포고의 시그니처 — 연속과 미분가능성 판정

이 시험의 핵심 주제는 명확합니다. 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 절댓값이 들어간 함수의 연속성과 미분가능성입니다.

함수의 그래프와 연속(No.3639)이 4회로 10·15·16·18번에 등장하고, 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성(No.3680)이 3회로 10·18·19번에 나옵니다. 그리고 상 난이도 4문항(15·16·18·19번)이 전부 이 주제입니다.

정리하면 개포고 수학Ⅱ 중간고사는 이렇게 요약됩니다. 극한·미분 계산은 중 난이도로 확인하고, 변별은 전부 "이 함수가 이 점에서 연속인가, 미분가능한가"로 낸다.

0/0 꼴의 극한; 유리식(No.3610)은 3회(7·12·14번)로 계산 유형 중 최다입니다. 7번은 ∞ 극한에서 차수와 계수를 확정하는 미정계수 문제, 14번은 0/0 필요조건으로 나머지를 확정하는 문제입니다.

주의할 상 난이도 4문항

15번 (상) — 이음점에서의 연속 조건

구간이 나뉜 함수의 이음점에서 연속이 되도록 계수 사이의 관계를 세우는 문제입니다. 선수 개념으로 이차함수 그래프와 x축의 위치 관계, 절댓값 그래프, 이차방정식의 근의 분리가 필요합니다. 조건이 계수 관계식으로 나오기 때문에 경우를 나누는 작업이 뒤따릅니다.

16번 (상) — 그래프 개형으로 불연속점 찾기

함수의 그래프 개형을 그려 불연속이 되는 점을 잡아내는 문제입니다. 절댓값 기호를 포함한 방정식, 이차방정식의 풀이, 이차함수의 최대·최소가 선수 개념으로 들어갑니다. 식만 보고 판단하려 하면 놓치기 쉬우므로 반드시 그래프를 그려야 합니다.

18번 (상) — 절댓값 이중근과 미분가능성

절댓값 안의 식이 이중근(중근)을 가질 때 미분가능해진다는 구조를 이용하는 문제입니다. 구간별 함수의 미분가능성, 미분가능성과 연속성, 그래프와 연속이 모두 걸려 있습니다. |f(x)| 꼴이 x = a에서 미분가능하려면 f(x)가 그 점에서 중근을 가져야 한다는 원리를 정확히 알아야 합니다.

19번 (상) — 미분가능 조건 두 개

구간별로 정의된 함수가 미분가능하기 위한 두 가지 조건(연속 조건과 좌·우 미분계수 일치) 을 모두 세우는 문제입니다. 평균변화율 개념이 함께 들어갑니다. 조건 하나만 쓰고 답을 내면 틀립니다.

서술형 2문항 구성

서술형 두 문항이 중과 중상입니다. 상 4문항이 전부 객관식이라, 서술형은 상대적으로 접근하기 쉽습니다. 20번은 (x − a)f(x) 꼴이 연속일 조건에서 f(a) = 0을 끌어내는 표준 유형이고, 21번은 미분계수의 정의로 존재성을 확인해 미분가능함을 서술로 논증하는 문제입니다.

21번처럼 "미분가능한지 판정하고 근거를 서술하라" 유형은 좌미분계수와 우미분계수를 각각 정의대로 계산해 일치함을 보이는 것이 정석입니다. 결론만 쓰면 감점됩니다.

학생·학부모가 체크할 포인트

• 중상 11문항(52%) 입니다. 어려운 몇 문제를 버리는 전략이 통하지 않습니다.
• 상 4문항이 전부 연속·미분가능성 판정입니다. 이 주제 하나에 심화 학습을 집중해야 합니다.
• 절댓값 함수와 구간별 함수가 반복해서 나옵니다. 그래프를 직접 그리는 습관이 필수입니다.
• 서술형 2문항이 중·중상입니다. 여기서 만점을 받는 것이 전제입니다.
• 21번은 논증형 서술입니다. 좌·우 미분계수를 정의대로 계산해 보이는 서술 훈련이 필요합니다.
• 도함수의 활용은 4문항뿐입니다. 범위가 평균값 정리까지라 극값·접선 위주로만 나왔습니다.

다음 시험 대비 학습 순서 제안

1. 구간별 함수의 연속·미분가능성 집중 — 15·16·18·19번형, 이 시험의 핵심 주제
2. 절댓값 함수 그래프 그리기 — |f(x)| 꼴의 꺾인 점과 미분가능 조건
3. 미분가능성의 두 조건 정리 — 연속 + 좌·우 미분계수 일치, 둘 다 쓰는 습관
4. 0/0 꼴 극한과 미정계수 결정 — 7·14번형, 극한 존재 필요조건 활용
5. (x−a)f(x) 꼴의 연속 조건 — 20번 서술형
6. 미분계수의 정의로 논증하기 — 21번 서술형, 결론이 아닌 과정 서술
7. 평균값 정리 정의 활용 — 4·5번형, 할선 기울기를 f'(c)로 치환
8. 21문항 실전 시간 배분 — 중상 11문항에 시간을 몰아주는 배분

자주 나오는 질문

개포고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

2025학년 기준 함수의 극한부터 평균값 정리까지입니다. 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 앞부분이 범위입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

20·21번 두 문항입니다. 난이도는 중과 중상으로, 상 난이도 서술형은 없습니다.

제일 어려운 문항은 무엇인가요?

상 난이도는 15·16·18·19번이며 모두 객관식입니다. 네 문항 모두 함수의 연속 또는 미분가능성을 판정하는 문제입니다.

어떤 주제를 제일 많이 연습해야 하나요?

구간에 따라 다르게 정의된 함수와 절댓값 함수의 연속·미분가능성입니다. 상 4문항이 전부 이 주제에서 나왔습니다.

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