서울삼육고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
서울삼육고 3학년 1학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 25문항. 출제 범위는 여러 가지 미분법 ~ 정적분의 활용 로 미적분 후반부 전체입니다. 서울삼육고 3학년 1학기 기말 미적분 시험의 결정적 특징은 상 난이도가 7문항(28%) 이라는 점입니다. 같은 구리시 인근 학교들과 비교해도 상 문항 비중이 두 배 가까이 높고, 반대로 하 난이도는 1번 한 문항뿐입니다.
핵심 요약
- 25문항 — 객관식 20문항 + 단답·서술형 5문항(20·22·23·24·25번)
- 난이도: 하 1 / 중 5 / 중상 12 / 상 7(28%)
- 배치 단원: 10 정적분의 활용 7문항(28%) / 07 도함수의 활용(2) 6 / 09 치환적분법과 부분적분법 5 / 06 도함수의 활용(1) 3 / 05 여러 가지 미분법 2 / 08 여러 가지 함수의 적분법 2
- ★ 최다 빈출 코드: 정적분을 포함한 등식(위끝·피적분함수에 변수) 4회 — 7·18·22·24번
- 선수 학습에서 수학Ⅰ(지수로그·삼각함수·수열)이 15회 요구됨
서울삼육고 미적분 1학기 기말은 어떤 시험인가
서울삼육고등학교는 경기도 구리시에 위치한 고등학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 25문항이며, 20·22·23·24·25번이 답을 직접 써 내는 유형(각각 1/(2ln2), (1/2)ln3, 17, √2/2, 7+e⁻⁴)입니다.
범위는 여러 가지 미분법 → 도함수의 활용(1)·(2) → 여러 가지 함수의 적분법 → 치환적분법과 부분적분법 → 정적분의 활용 으로 후반부 전 범위입니다. 특히 정적분의 활용에서 7문항이 나와, 적분 활용 공식을 폭넓게 요구합니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 7문항, 하는 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 해당 문항 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 4% | 1번 |
| 중 | 5 | 20% | 2·4·7·20·21번 |
| 중상 | 12 | 48% | 3·5·6·8·9·12·13·17·18·19·22·23번 |
| 상 | 7 | 28% | 10·11·14·15·16·24·25번 |
상 7문항은 상당히 높은 비중입니다. 게다가 10·11번(연속), 14·15·16번(연속) 으로 상 문항이 두 덩어리로 뭉쳐 있습니다. 중반부에서 연속으로 어려운 문항을 만나게 되므로, 여기서 시간을 뺏기면 17번 이후의 중상 구간을 놓칩니다.
하 난이도는 1번(1/(x-a)∫ 꼴 극한) 하나뿐입니다. 2번부터 이미 중 난이도이고, 시험 전체가 계산량이 많습니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 7문항
| 배치 중단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 10 정적분의 활용 | 7 | 28% |
| 07 도함수의 활용 (2) | 6 | 24% |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 5 | 20% |
| 06 도함수의 활용 (1) | 3 | 12% |
| 05 여러 가지 미분법 | 2 | 8% |
| 08 여러 가지 함수의 적분법 | 2 | 8% |
적분 파트(08+09+10) 14문항 vs 미분 파트(05+06+07) 11문항. 적분이 더 많고, 그중에서도 정적분의 활용 7문항이 단일 중단원 최다입니다.
정적분의 활용 7문항의 내역을 보면 넓이 4문항(2·17·18·23번), 부피 1문항(13번), 곡선의 길이 1문항(22번), 움직인 거리 1문항(5번), 급수와 정적분 1문항(21번)으로 활용 공식이 전부 동원됐습니다.
서울삼육고 미적분 3-1 기말의 시그니처 — 정적분을 포함한 등식 4회
가장 많이 반복된 코드는 No.4163 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있을 때) 으로 7·18·22·24번 4회입니다.
- 7번 중 — f(ax+b) 꼴 치환적분과 결합
- 18번 중상 — 역함수의 미분법·역함수 넓이와 결합
- 22번 중상 단답 — 곡선의 길이 공식과 결합 (답 (1/2)ln3)
- 24번 상 단답 — 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소와 결합 (답 √2/2)
같은 유형이 매번 다른 단원과 붙어서 나옵니다. 양변을 미분해 f를 확정하는 절차를 반사적으로 밟을 수 있어야 4문항이 열립니다.
또 하나 눈에 띄는 축은 함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이(No.4198) 로 18·23번 2회 출제됐습니다. y=x에 대한 대칭성을 이용해 넓이를 치환하는 유형으로, 미적분에서 학생들이 가장 자주 건너뛰는 파트입니다.
2회 반복 코드는 다음과 같습니다.
- No.4133 변곡점 — 3·11번
- No.4143 지수함수의 최대·최소 — 12·25번
- No.4145 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 16·25번
- No.4161 부분적분법(두 번 이용) — 13·23번
- No.4164 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 11·24번
- No.4193 곡선과 x축 사이의 넓이 — 2·19번
★ 빈출 유형 (2025학년 실제 기출 기준)
1. 정적분을 포함한 등식 (7·18·22·24번) — ★ 4문항 (상 1)
위에서 설명한 이 시험의 최대 축입니다. 위끝(또는 아래끝)과 피적분함수 양쪽에 변수가 있는 형태로만 나왔다는 점이 중요합니다. 상수형(∫ 구간이 상수)은 이번 시험에 나오지 않았습니다.
2. 정적분의 활용 — 넓이 (2·17·18·19·23번) — ★ 5문항
2번 중(두 곡선 사이 넓이 이등분), 17번 중상(곡선과 직선 사이의 넓이, 지수함수 극대극소 결합), 18번 중상(함수와 역함수 그래프로 둘러싸인 넓이), 19번 중상(공통인 접선 + 곡선과 x축 사이의 넓이), 23번 중상 단답(함수와 역함수 넓이 + 로그 치환 + 부분적분 2회, 답 17). 넓이만 5문항입니다.
3. 도함수의 활용 (2) — 그래프 해석·실근·부등식 (10·11·12·16·25번) — ★ 5문항 (상 4)
10번 상(도함수의 그래프를 이용한 함수의 해석 + 증가·감소 조건 + ln f(x) 미분), 11번 상(변곡점 + 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소), 12번 중상(부등식이 성립할 미정계수 결정 f(x)≥g(x) 꼴), 16번 상(주기함수의 정적분 + 실근 개수), 25번 상 단답(방정식 f(x)=k의 실근 개수 + 지수함수 최대·최소, 답 7+e⁻⁴). 상 7문항 중 4문항이 여기서 나왔습니다.
4. 접선의 방정식 — 여러 형태 (6·8·9·19번) — ★ 4문항
6번 중상(지수함수 극대·극소 + 접선), 8번 중상(역함수의 미분법 응용 + 곡선 밖 한 점에서의 접선), 9번 중상(음함수의 미분법 + 음함수 곡선의 접선), 19번 중상(공통인 접선). 접선을 구하는 네 가지 상황이 하나씩 다 나왔습니다.
5. 삼각함수 관련 미적분 (4·5·14·16·22번) — ★ 5문항 (상 2)
4번 중(평면 위 점의 가속도), 5번 중상(움직인 거리), 14번 상(삼각함수의 극대·극소 + 합성함수 미분 + 삼각함수의 연속), 16번 상(주기함수의 정적분), 22번 중상 단답(곡선의 길이 + 삼각함수 치환). 삼각함수가 미분·적분 양쪽에서 계속 나옵니다.
주의할 상 난이도 7문항
| 번호 | 난이도 | 핵심 내용 | 답 |
|---|---|---|---|
| 10 | 상 | 도함수의 그래프로 함수 해석 + 증가·감소 조건 | ⑤ |
| 11 | 상 | 변곡점 + 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 | ⑤ |
| 14 | 상 | 삼각함수의 극대·극소 (합성함수 미분, 연속) | ① |
| 15 | 상 | ∫f'/f 꼴 역추론 + 극값을 가질 조건(판별식) | ⑤ |
| 16 | 상 | 주기함수의 정적분 + 실근 개수 | ④ |
| 24 | 상 | 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 | √2/2 |
| 25 | 상 | 방정식 f(x)=k의 실근 개수 + 지수함수 최대·최소 | 7+e⁻⁴ |
상 7문항 중 10·11·14·15·16번이 10~16번 구간에 몰려 있습니다. 시험 중반이 가장 험한 구간입니다.
15번은 f'(x)/f(x) 꼴 적분을 역으로 추론해 원함수를 찾은 뒤 극값 조건(판별식)까지 붙는 복합 문항입니다. 16번은 주기함수의 정적분 성질(한 주기 적분값의 반복)을 알아야 시작할 수 있고, 등비수열 일반항까지 필요합니다.
24·25번은 단답형인데 둘 다 상 난이도입니다. 마지막 두 문항의 배점이 크고 난이도도 최고이므로, 시간을 남겨 두는 배분이 중요합니다.
선수 학습에서 발목 잡히는 부분
이 시험은 수학Ⅱ(MJ) 27회 + 수학Ⅰ(DS) 15회로, 수학Ⅰ 의존도가 유난히 높습니다.
- 삼각함수 사이의 관계(DS-3477) — 4·5·22번 3회
- 주기함수(DS-3491) — 14·16번
- 지수함수의 성질(DS-3435) — 6·20번
- 로그 성질 활용(DS-3420) — 2·19번
- 절댓값 기호를 포함한 삼각함수의 그래프(DS-3496) — 11번
- 삼각함수의 그래프의 대칭성(DS-3500) — 14번
- 등비수열의 일반항(DS-3550) — 16번
상 문항 14·16번은 수학Ⅰ의 삼각함수 그래프·주기 개념이 없으면 아예 접근이 안 됩니다. 미적분 문제집만 붙들지 말고 수학Ⅰ의 삼각함수 그래프(주기·대칭성·절댓값)를 반드시 복습하세요.
수학Ⅱ 쪽에서는 미적분의 기본정리(MJ-3757, 1·7·11번)와 함수의 증가와 감소(MJ-3707, 3·15·23번)가 각각 3회로 최다입니다.
학생·학부모가 체크할 포인트
- 상 7문항(28%) — 인근 학교 대비 확실히 어려운 시험입니다. 상위권 변별이 강하게 걸려 있습니다.
- 10~16번이 최대 고비 — 상 5문항이 이 구간에 몰려 있습니다. 막히면 과감히 넘기고 17번 이후 중상 구간을 먼저 확보하는 것이 유리합니다.
- 정적분을 포함한 등식 4문항 — 변수형 절차(양변 미분) 하나만 확실히 잡아도 16%입니다.
- 함수와 역함수의 넓이 2문항 — 자주 건너뛰는 파트인데 여기서 2문항이 나왔습니다. y=x 대칭 치환을 반드시 정리하세요.
- 수학Ⅰ 삼각함수 그래프 복습 필수 — 상 문항 접근의 전제 조건입니다.
남은 학기 대비 학습 순서 제안
- 수학Ⅰ 삼각함수 그래프 복습 — 주기·대칭성·절댓값 그래프. 14·16번 유형의 전제
- ★ 정적분을 포함한 등식(변수형) 절차 고정 — 양변 미분 → f 확정 → 대입, 7·18·22·24번 유형
- ★ 함수와 그 역함수의 넓이 — y=x 대칭 치환, 18·23번 유형
- 정적분의 활용 공식 전부 정리 — 넓이(곡선-x축 / 곡선-직선 / 두 곡선 / 역함수) · 부피 · 곡선의 길이 · 움직인 거리 · 급수와 정적분
- 접선 4종 정리 — 접점 주어진 경우 / 곡선 밖 한 점 / 음함수 / 공통인 접선
- 서울삼육고 2025학년 1학기 기말 기출 실전 풀이 — 25문항 시간 배분, 10~16번 구간 통과 전략 수립
자주 나오는 질문
서울삼육고 3학년 1학기 기말 미적분은 어디까지 나오나요?
여러 가지 미분법 ~ 정적분의 활용 까지입니다. 여러 가지 미분법, 도함수의 활용(1)·(2), 여러 가지 함수의 적분법, 치환적분법과 부분적분법, 정적분의 활용이 모두 범위입니다.
난이도는 어느 정도인가요?
25문항 중 상이 7문항(28%), 중상이 12문항(48%)입니다. 하 난이도는 1번 한 문항뿐이라 전반적으로 어려운 시험입니다.
어느 단원이 제일 많이 나오나요?
정적분의 활용 7문항(28%) 이 가장 많고, 도함수의 활용(2) 6문항, 치환적분법과 부분적분법 5문항 순입니다.
단답·서술형은 몇 문항인가요?
20·22·23·24·25번 5문항입니다. 답은 각각 1/(2ln2), (1/2)ln3, 17, √2/2, 7+e⁻⁴이고, 24·25번은 상 난이도입니다.
과년도 서울삼육고 기출도 볼 수 있나요?
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