서울고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항으로, 서초구 인근 학교 중 문항 수가 많은 편입니다. 출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 전 영역입니다. 서울고 2학년 2학기 중간 수학2 시험은 도함수의 활용(1)(2)(3)까지 진도를 모두 소화한 구성이라, 다른 학교보다 범위가 넓다는 점을 먼저 알고 대비해야 합니다.
핵심 요약
- 22문항 구성. 1~18번 객관식, 19~22번 서술형 4문항
- 난이도: 하 5 / 중 5 / 중상 8 / 상 4(18%)
- 출제 단원: 03 미분계수와 도함수(7) / 02 함수의 연속(5) / 01 함수의 극한(4) / 04 도함수의 활용(1) 3 / 06 도함수의 활용(3) 2 / 05 도함수의 활용(2) 1
- ★ 최다 빈출: 0/0 꼴 유리식 극한 4회 · 함수가 연속일 조건(응용) 4회
- 상 4문항은 14·15·18·22번. 22번이 서술형(답 a=2+2√2 또는 a=5)
서울고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
서울고등학교는 서울시 서초구에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 서초 학군의 전통적인 남자고등학교로, 이과 상위권 학생 비중이 높고 수학 시험 문항 수가 많은 편입니다.
2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 1~18번이 객관식, 19~22번 4문항이 서술형입니다. 같은 서초구 안에서도 상문고·서문여고가 20문항인 데 비해 서울고는 22문항이라, 문항당 처리 시간이 더 짧습니다.
난이도 분포 — 하가 5문항, 앞에서 시간을 벌어야 한다
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 해당 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 23% | 1·2·3·4·19 |
| 중 | 5 | 23% | 5·6·11·13·20 |
| 중상 | 8 | 36% | 7~10·12·16·17·21 |
| 상 | 4 | 18% | 14·15·18·22 |
1~4번이 모두 하 난이도로 배치됐습니다. 서술형 19번도 하 난이도(∞-∞ 꼴 극한, 답 a=2, b=1/4)라 여기서 확실히 시간을 벌어야 합니다.
상 4문항은 14·15·18·22번입니다. 14번과 15번이 연달아 상으로 배치돼 있어, 이 구간에서 붙잡히면 뒤의 16~18번까지 시간이 밀립니다. 22문항 체제에서는 어려운 문제를 넘기는 판단력이 특히 중요합니다.
출제 단원 — 미분계수와 도함수 7문항, 도함수의 활용 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 7 | 32% |
| 02 함수의 연속 | 5 | 23% |
| 01 함수의 극한 | 4 | 18% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 14% |
| 06 도함수의 활용 (3) | 2 | 9% |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 5% |
가장 눈에 띄는 것은 도함수의 활용이 (1)(2)(3) 합쳐 6문항(27%) 이라는 점입니다. 접선의 방정식·평균값 정리·롤의 정리·삼차함수의 극값·두 그래프의 교점 개수까지 모두 나왔습니다. 서초구 다른 학교가 도함수의 활용을 1~2문항으로 마무리한 것과 대비됩니다.
서울고 대비의 핵심은 진도 끝부분을 버리지 않는 것입니다. 06 도함수의 활용(3)에서 나온 12번(중상)과 22번(상 서술형)이 모두 "두 그래프의 교점의 개수" 유형인데, 22번이 이 시험의 최고 배점 변별 문항입니다.
서울고의 시그니처 — 교점의 개수와 연속 조건의 결합
이 시험에서 반복된 코드는 두 축입니다.
0/0 꼴 유리식 극한 이 2·8·14·18번 4회 등장합니다. 단독으로는 하 난이도지만, 8번에서는 다항함수의 결정과, 14번에서는 평균변화율과, 18번에서는 삼차함수의 극값 조건과 결합돼 난이도가 올라갔습니다.
함수가 연속일 조건(응용) 도 7·12·21·22번 4회 나왔습니다. 특히 12번과 22번은 연속 조건 + 두 그래프의 교점의 개수라는 동일한 조합입니다. 12번은 중상 객관식, 22번은 상 서술형으로 난이도만 올렸습니다. 즉 12번을 정확히 이해하면 22번의 접근법이 보이는 구조입니다.
그 밖에 도함수의 정의로 도함수 구하기 3회(5·6·20번), 접선의 방정식(접점 좌표 주어짐) 2회(4·17번), 곱의 미분법 2회(3·9번), 미분가능성과 연속성 2회(11·16번)가 반복됐습니다.
★ 빈출 유형 정리
1. 두 그래프의 교점의 개수 — 12·22번, 중상 + 상 서술형
시험 전체의 하이라이트입니다. 삼차방정식의 근의 판별, 함수가 연속일 조건, 함수의 최대·최소가 겹쳐 있습니다. 22번의 답이 a=2+2√2 또는 a=5 로 두 개인 만큼, 경우를 나누는 논리를 답안에 명확히 써야 부분 점수를 잃지 않습니다.
2. 함수가 연속일 조건 (응용) — 7·12·21·22번, 4문항
21번 서술형(답 k=1)은 (x-a)f(x) 꼴 연속에 "주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건"까지 붙었습니다. 연속 조건만으로 끝나지 않고 증가·감소 판정이 추가되는 형태입니다.
3. 도함수의 활용(1) — 접선·평균값 정리·롤의 정리 — 4·5·17번
4번(하)은 접점 좌표가 주어진 기본형, 5번(중)은 롤의 정리, 17번(중상)은 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이까지 묻습니다. 평균값 정리·롤의 정리는 다른 학교에서 잘 나오지 않는 유형이라 반드시 챙겨야 합니다.
4. 합성함수의 연속 — 15번, 상
15번은 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프와 합성함수의 그래프 그리기가 선수 개념으로 걸려 있습니다. 그래프를 직접 그려 구간별로 판정하는 훈련이 필요합니다.
5. 미분가능성과 연속성 — 11·16번
11번(중)은 기본 판정, 16번(중상)은 곡선과 직선이 접할 조건까지 결합했습니다.
서술형 4문항 구성 (19~22번)
| 번호 | 난이도 | 핵심 유형 | 답 |
|---|---|---|---|
| 19 | 하 | ∞-∞ 꼴의 극한 | a=2, b=1/4 |
| 20 | 중 | 항등식이 주어질 때 미분계수 구하기 | f'(x)=3x²+1 |
| 21 | 중상 | (x-a)f(x) 꼴의 연속 + 부등식 성립 조건 | k=1 |
| 22 | 상 | 두 그래프의 교점의 개수 + 연속 조건 + 최대·최소 | a=2+2√2 또는 a=5 |
서술형이 하 → 중 → 중상 → 상 으로 깔끔한 계단 구조입니다. 19·20번은 반드시 만점을 받아야 하고, 21번까지 잡으면 안정권입니다. 22번 하나가 최상위 변별을 담당합니다.
학부모·학생이 체크할 포인트
- 22문항 체제. 서초구 다른 학교보다 2문항 많습니다. 문항당 평균 2분 30초 안에 처리해야 합니다.
- 도함수의 활용 6문항. 진도 끝부분 비중이 높습니다. 시험 직전에 진도가 끝난 단원이라고 미루면 27%를 버리게 됩니다.
- 롤의 정리·평균값 정리 출제. 교과서 정리 부분을 그냥 넘기지 마세요.
- 12번과 22번이 같은 유형. 객관식에서 만난 유형이 서술형에서 난이도만 올려 다시 나옵니다. 문제를 풀고 나서 "이 유형이 서술형으로 나온다면?"을 자문하는 습관이 유효합니다.
- 선수 개념 결손 주의. 이차식의 인수분해, 이차방정식의 근의 판별, 절댓값 그래프가 반복 등장합니다.
2학기 기말 대비 학습 순서 제안
- 수학Ⅱ 교과서 전 범위 완주 — 극한부터 도함수의 활용(3)까지
- ★ 두 그래프의 교점의 개수 집중 반복 — 12·22번 유형, 삼차방정식 근의 판별과 연속 조건 결합
- ★ 함수가 연속일 조건(응용) — 7·12·21·22번 유형, (x-a)f(x) 꼴 처리
- 도함수의 활용(1) 전 유형 — 접선의 방정식 3가지 경우, 롤의 정리, 평균값 정리
- 합성함수의 연속과 절댓값 그래프 — 15번 유형, 직접 그려 판정하는 훈련
- 서울고 2025학년 2학기 중간 기출 실전 연습 — 22문항 타임어택, 상 문항 넘기는 판단 연습
자주 나오는 질문
서울고는 어떤 학교인가요?
서울시 서초구에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 서초 학군의 전통 있는 남자고등학교로, 수학 내신 난이도가 높은 편입니다.
2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
2025학년 기준 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용(1)(2)(3) 까지 전 범위입니다. 같은 학년·학기라도 학교마다 도함수의 활용 진도 폭이 크게 다르니, 본인 학교 범위 공지를 반드시 먼저 확인하세요.
상 난이도는 어느 문항인가요?
14번(평균변화율과 미분계수)·15번(합성함수의 연속)·18번(삼차함수가 극값을 가질 조건)·22번(서술형, 두 그래프의 교점의 개수) 네 문항입니다.
과년도 서울고 기출은?
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