김포제일고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
김포제일고 3학년 1학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 20문항. 출제 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지로, 여러 가지 미분법·도함수의 활용·여러 가지 함수의 적분법·치환적분과 부분적분·정적분의 활용을 모두 포함합니다. 김포제일고 3학년 1학기 기말 미적분에서 가장 먼저 확인해야 할 사실은 하 난이도가 단 한 문항도 없다는 점입니다. 20문항 전부가 중 이상이고, 그중 14문항이 중상 이상입니다.
핵심 요약
- 20문항, 19·20번이 서술형(답이 값·식 형태)
- 난이도: 하 0 / 중 6 / 중상 10 / 상 4 — 서비스 문항 없음
- 출제 단원: 07 도함수의 활용(2) 5문항 / 06 도함수의 활용(1) 4 / 09 치환적분·부분적분 4 / 05 여러 가지 미분법 3 / 10 정적분의 활용 3 / 08 여러 가지 함수의 적분법 1
- 대단원 비중: III 미분법 12문항(60%) vs IV 적분법 8문항(40%)
- 상 4문항은 15·17·19·20번 — 후반부에 집중
- 고2 수학Ⅱ 개념(도함수의 정의·증가와 감소·부정적분)이 각각 5문항에서 재등장
김포제일고 미적분 기말고사는 어떤 시험인가
김포제일고등학교는 경기도 김포시에 있는 일반계 고등학교입니다. 김포 학군에서 이과 상위권이 모이는 학교 중 하나입니다.
2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 20문항. 1~18번이 객관식이고 19·20번이 서술형입니다. 19번은 f(0) = e-2 와 최솟값 (√e-1)² 을 함께 요구하고, 20번은 답이 144 인 값 구하기입니다. 두 서술형 모두 상 난이도라 배점이 가장 큰 문항이 가장 어려운 문항과 겹칩니다.
2025학년 난이도 분포 — 쉬운 문항이 아예 없다
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% |
| 중 | 6 | 30% |
| 중상 | 10 | 50% |
| 상 | 4 | 20% |
하 난이도가 0문항입니다. 가장 쉬운 축인 중 6문항(1~6번)조차 이계도함수 (ln x)'' = -1/x², 음함수 미분 2x - 2y·y' = 0, 역함수 미분 g'(2) = 1/f'(1) = 1/3 같은 미적분 표준 공식을 정확히 알아야 풀 수 있습니다.
중상 10문항(50%)이 시험의 절반이고, 상 4문항이 20%. 고3 1학기 기말답게 모의고사 수준의 문항 밀도를 유지하는 시험입니다. 1~6번을 빠르게 끊고 남은 시간을 뒤쪽 14문항에 배분하는 시간 설계가 필요합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용이 9문항
| 단원 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 07 도함수의 활용 (2) | 5 | 25% | 7, 9, 13, 15, 20 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 4 | 20% | 1, 6, 11, 16 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 4 | 20% | 8, 10, 17, 19 |
| 05 여러 가지 미분법 | 3 | 15% | 3, 4, 14 |
| 10 정적분의 활용 | 3 | 15% | 5, 12, 18 |
| 08 여러 가지 함수의 적분법 | 1 | 5% | 2 |
도함수의 활용 (1)+(2) 합쳐 9문항(45%) 이 최대 비중입니다. III 미분법 12문항(60%), IV 적분법 8문항(40%) 으로 미분 쪽이 더 무겁습니다. 다만 상 4문항 중 17·19번이 적분(치환적분·부분적분)이라, 적분을 가볍게 보면 상위권 진입이 막힙니다.
반복 출제된 두 유형
20문항에 27개 유형코드가 쓰였고, 두 개가 두 번씩 나왔습니다.
- 역함수의 미분법 — 4번(중), 14번(중상). 4번은
g'(2) = 1/f'(1) = 1/3단순 대입, 14번은g'(0) = 1/f'(-2) = 1/9에 도함수 그래프 해석이 결합됐습니다. 같은 공식을 난이도만 올려 두 번 물어본 구조입니다. - 지수함수의 극대·극소 — 13번(중상), 20번(상 서술형). 지수함수의 증감 판정이 최대·최소 활용과 실근 개수 문제의 공통 도구로 쓰였습니다.
역함수 미분법 g'(a) = 1/f'(g(a)) 는 이 시험에서 반드시 두 번 쓰이는 공식입니다. 대입 순서(어느 값을 f에 넣을지)를 헷갈리면 두 문항을 함께 잃습니다.
주의해야 할 상 난이도 4문항
15번 — 부등식이 성립할 미정계수 결정 (f(x) ≥ g(x) 꼴)
지수함수의 최대·최소와 결합해 f(t) = min 을 잡고, f'(t) = -2 ln t, f'(e) = -2 로 이어집니다. 부등식이 항상 성립할 조건을 최솟값 조건으로 환원하는 표준 절차 위에 로그 미분이 얹힌 문항입니다.
17번 — 부분적분 + ln f(x) 꼴 합성함수의 도함수
g = x ln|f| 라는 함수를 스스로 세워야 하는 문항입니다. 세우고 나면 g' = x e^(-x) 형태가 나오고 부분적분으로 처리합니다. 어떤 함수를 잡아야 미분방정식이 풀리는지 발견하는 단계가 이 문항의 관문이고, 그 뒤 계산은 표준 부분적분입니다.
19번 — 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 (서술형)
f(x) = ∫|e^t - e^x| dt 형태로, 절댓값 안의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 적분 구간을 나누는 것이 첫 단계입니다. 구간을 나눠 정적분을 계산해 f(x)를 명시적으로 표현한 뒤 미분해서 x = 1/2 에서 최소임을 보입니다. 답은 f(0) = e-2, 최솟값 (√e-1)².
20번 — 방정식 f(x) = g(x)의 실근 개수 (서술형, 답 144)
h = f/e^x 로 변형해 그래프를 그리고 교점 개수를 따지는 문항입니다. 지수함수의 극대·극소와 등비수열의 일반항까지 얽혀 있어 이 시험의 최종 관문입니다.
상 4문항 중 3문항(15·17·20번)이 "어떤 함수를 새로 정의해서 볼 것인가"를 묻습니다. 문제에 주어진 식을 그대로 미분·적분하는 것이 아니라, f(t) = min, g = x ln|f|, h = f/e^x 처럼 보조 함수를 세우는 발상이 김포제일고 상 문항의 공통 관문입니다.
중상 10문항도 유형이 전부 다르다
7번(평면 위를 움직이는 점의 속도 — √((2π/3)² + (2√3π/3)²) = 4π/3), 8번(t = ln x 치환적분 + 부분적분), 9번(변곡점 — y'' = a - 8cos 2x 의 부호 변화로 미정계수 결정), 10번(x = sin θ 삼각치환 후 반각공식 — ∫sin²θ = π/6 - √3/8), 11번(유리함수의 극대·극소, 극댓값 -8·극솟값 0에서 a-b=8), 12번(두 곡선 사이의 넓이 — ∫₀^π sin x(1-cos x) = 2), 13번(구간 최댓값 g(t) 의 미분가능성 조건, t = -1/3 에서 꺾임), 14번(역함수 미분 + 도함수 그래프 해석), 16번(곡선 밖의 점에서 그은 접선 — k² = ln t, f = 2√(ln t)), 18번(정적분과 급수의 합 — 사다리꼴 S_k, 4p·f(4) = 23).
겹치는 유형이 하나도 없습니다. 특정 단원만 파고드는 대비로는 커버가 안 되고, 미적분 전 범위를 고르게 훑어야 하는 시험입니다.
고2 수학Ⅱ 개념이 계속 소환된다
| 선수 개념 | 등장 문항 | 횟수 |
|---|---|---|
| 도함수의 정의로 도함수 구하기 (수학Ⅱ) | 1, 3, 4, 9, 14 | 5 |
| 함수의 증가와 감소 (수학Ⅱ) | 11, 13, 14, 15, 20 | 5 |
| 부정적분의 계산 (수학Ⅱ) | 5, 8, 17, 18, 19 | 5 |
| 삼각함수 (수학Ⅰ) | 2, 7, 9, 10, 12 | 5 |
| 로그의 정의 (수학Ⅰ) | 5, 8, 16, 17 | 4 |
수학Ⅱ의 세 개념이 각각 5문항씩, 수학Ⅰ의 삼각함수가 5문항에서 쓰입니다. 특히 함수의 증가와 감소는 상 4문항 중 3문항(15·20번 포함) 의 뿌리입니다. 미적분 공식은 외웠는데 상 문항에서 계속 막힌다면, 증감표를 그려 그래프 개형을 확정하는 수학Ⅱ 기본기를 점검해야 합니다.
김포제일고 3학년 2학기 대비 학습 순서 제안
- 역함수 미분법 반복 —
g'(a) = 1/f'(g(a))대입 순서, 도함수 그래프와 결합된 형태 (4·14번형) - 보조 함수 세우기 훈련 —
h = f/e^x,g = x ln|f|처럼 식을 변형해 다루기 쉬운 함수로 바꾸는 연습 (17·20번형) - 절댓값 정적분 구간 분리 — 부호 변화점을 기준으로 나누고 미분해 최대·최소 구하기 (19번형)
- 부등식 성립 조건을 최솟값 조건으로 환원 — 지수·로그함수와 결합된 형태 (15번형)
- 치환적분 3종 정리 — 로그 치환, 삼각 치환(반각공식 포함), 부분적분 (8·10·17번형)
- 정적분과 급수의 합 — 구분구적법 표현과 사다리꼴 근사 (18번형)
- 수학Ⅱ 증감표 복습 — 도함수 부호로 그래프 개형 확정하는 절차
자주 나오는 질문
김포제일고 3학년 1학기 기말 미적분은 어디까지 나오나요?
도함수의 활용부터 정적분의 활용까지입니다. 여러 가지 미분법, 도함수의 활용 (1)·(2), 여러 가지 함수의 적분법, 치환적분법과 부분적분법, 정적분의 활용이 모두 범위입니다. 사실상 미적분 후반부 전체입니다.
쉬운 문항이 정말 없나요?
2025학년 기준 하 난이도는 0문항입니다. 가장 쉬운 1~6번도 중 난이도로, 이계도함수·음함수 미분·역함수 미분 같은 표준 공식을 정확히 적용해야 합니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19·20번 2문항이고 둘 다 상 난이도입니다. 19번은 절댓값이 포함된 정적분으로 정의된 함수의 최소, 20번은 실근 개수 문제입니다.
과년도 김포제일고 기출은?
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