동화고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)

동화고 3학년 1학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 24문항으로, 이 시기 기출 중에서도 문항 수가 많은 편입니다. 출제 범위는 여러 가지 미분법부터 정적분의 활용까지. 동화고 3학년 1학기 기말 미적분의 가장 뚜렷한 특징은 24문항 전부가 객관식이고, 그중 18문항(75%)이 중상 난이도라는 점입니다. 서술형 없이 객관식만으로 24문항을 채운 만큼, 한 문항당 쓸 수 있는 시간이 매우 짧습니다.

핵심 요약

• 24문항 전원 객관식 — 서술형 없음
• 난이도: 하 0 / 중 3 / 중상 18(75%) / 상 3
• 출제 단원: 05 여러 가지 미분법 6문항 / 07 도함수의 활용(2) 5 / 09 치환적분·부분적분 5 / 06 도함수의 활용(1) 4 / 08 여러 가지 함수의 적분법 3 / 04 삼각함수의 미분 1
• 대단원 비중: 미분 16문항(67%) vs 적분 8문항(33%)
• 역함수의 미분법이 3문항(4·12·20번) 에 등장 — 이 시험 최다 반복 유형
• 분석표 기준 정적분의 활용(넓이·부피) 배치 문항은 0 — 범위 안내와 실제 출제가 다름
• 상 3문항은 12·17·22번

동화고 미적분 기말고사는 어떤 시험인가

동화고등학교는 경기도 남양주시에 있는 일반계 고등학교입니다. 남양주 학군에서 이과 진학 비중이 높은 학교 중 하나입니다.

2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 24문항, 전부 객관식입니다. 정답이 모두 ①~⑤ 형태로, 서술형이나 단답형이 한 문항도 없습니다. 대신 문항 수가 24개로 많아, 시험 시간 관리가 곧 등급인 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 18문항이 시험의 4분의 3

하 난이도가 없고, 중상이 18문항(75%) 입니다. 김포·부천권 다른 학교들이 상 난이도를 4문항씩 두고 극단적으로 변별하는 것과 달리, 동화고는 중상급을 대량으로 깔아 속도와 정확도로 가르는 방식을 씁니다.

이런 시험지에서 위험한 것은 "어려운 문제를 붙잡는 습관"입니다. 24문항 중 18문항이 3단계 이상 계산을 요구하므로, 한 문항에 3분 이상 쓰면 뒤쪽을 통째로 못 봅니다. 중 난이도 3문항(1번 y=xⁿ 미분, 5번 역함수 그래프의 접선, 10번 삼각함수 부정적분)을 빠르게 처리하고 나머지를 균등 배분해야 합니다.

출제 단원 — 여러 가지 미분법 6문항이 최다

미분 16문항(67%), 적분 8문항(33%). 미분 쪽이 두 배입니다.

여기서 반드시 짚어야 할 점이 있습니다. 시험 범위는 "여러 가지 미분법~정적분의 활용"으로 안내됐지만, 분석표 기준으로 정적분의 활용(곡선과 x축 사이의 넓이, 두 곡선 사이의 넓이, 입체도형의 부피 등) 단원에 배치된 문항은 한 개도 없습니다. 적분 8문항은 모두 여러 가지 함수의 적분법(3)과 치환적분·부분적분(5)에서 나왔습니다. 넓이 계산 문제를 예상하고 대비했다면 예상이 빗나갔을 시험입니다.

이 시험의 시그니처 — 역함수의 미분법 3회

24문항에 28개 유형코드가 쓰였는데, 역함수의 미분법이 3문항(4·12·20번) 에 등장합니다. 이 시험의 최다 반복 유형입니다.

• 4번(중상) — g'(1/2) = 1/f'(1/2) = 1/3 에서 h' = 2/3 도출. 공식의 직접 적용.
• 12번(상) — 실수 전체에서 함수가 증가할 조건(판별식 ≤ 0 → -6 ≤ a ≤ 2, M = 2)과 역함수 미분의 결합.
• 20번(중상) — 1/(g·f'(g)) = g'/g 로 변형해 ∫f'/f 꼴 부정적분으로 처리, 답 ln 3. 역함수 미분이 적분 문제 안에 숨어 있는 형태.

역함수 미분법이 미분 단원과 적분 단원 양쪽에서 나온다는 점이 중요합니다. 20번처럼 적분 문제로 위장한 역함수 문항을 알아채지 못하면 손도 못 댑니다.

또 하나 반복된 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수로, 17번(상)과 18번(중상)에 연속 배치됐습니다.

주의해야 할 상 난이도 3문항

12번 — 실수 전체에서 증가할 조건 + 역함수 미분

도함수가 항상 0 이상이어야 한다는 조건을 판별식으로 바꿔 -6 ≤ a ≤ 2 를 얻고, 최댓값 M = 2 를 확정한 뒤 역함수 미분으로 마무리합니다. 단조성 조건(판별식)과 역함수 미분이라는 서로 다른 두 도구를 한 문항에서 연달아 써야 합니다.

17번 — 방정식 f(x)=k의 실근 개수

f(2) = 12 + a < 0 이라는 조건에서 a ≤ -13 을 도출하는 문항입니다. 삼차함수의 극값 부호로 실근 개수를 판정하는 표준 논리이지만, 부등호 방향과 등호 포함 여부에서 실수가 많이 나옵니다. 바로 다음 18번도 같은 유형(-27 < k < 0 인 정수 26개)이라 연속 두 문항을 같은 논리로 처리해야 합니다.

22번 — 삼각함수의 덧셈정리 + 삼각함수의 도함수

cos(A + π/4), sin(A + π/4) 를 덧셈정리로 전개하고, 사인법칙과 삼각함수 미분까지 결합한 문항입니다. 04 삼각함수의 미분 단원에서 나온 유일한 문항이 곧 상 난이도입니다. 이 단원을 "한 문항밖에 안 나오겠지" 하고 넘기면 그 한 문항이 상 문항입니다.

중상 18문항 — 유형이 거의 겹치지 않는다

중상 18문항은 대부분 서로 다른 유형입니다. 대표적인 것들만 보면,

• 2번 tan x, sec x 의 도함수(몫의 미분법) — 3tan²x·sec²x - 6sin 2x = 0
• 3번 음함수 미분 + 음함수 곡선의 접선 — 6x - 8y - 8xy' + 3y²y' = 0
• 6번 공통인 접선 — f=g, f'=g' 를 동시에 세워 x = π/6, a = 0
• 7번 부분적분법을 두 번 이용 — f'' = e^x(x²-2) 에서 f = e^x(x-2)², 극댓값 4
• 9번 우함수·기함수의 정적분 — x = u + π/2 치환 후 대칭성 이용, 2π² - 16
• 11번 매개변수로 나타낸 함수의 미분 + 이계도함수 — e^t = 2, a = 6
• 14번 곡선 밖의 점에서 그은 접선 + 등비급수 — n ln 2 = ln a 에서 a_n = 2^n
• 19번 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 양변 미분해 3f(4) - 9 = 1
• 21번 피적분함수와 끝에 모두 변수가 있는 등식 — 두 번 미분해서 b = 3, 9e⁴
• 24번 무리함수 치환적분 — t = x² + 4x + 9 치환, f(2) = 7√21 - 9

미분법 도구(합성·음함수·매개변수·역함수·삼각함수 몫)를 전부 알고 있어야 하고, 적분 쪽도 치환·부분적분·∫f'/f·정적분 등식을 고르게 요구합니다. 특정 유형만 파고드는 대비가 통하지 않는 구성입니다.

고1·고2 개념이 계속 소환된다

수학Ⅰ의 삼각함수가 6문항에서 쓰입니다. 미적분 문제인데 삼각함수 값·관계식에서 막히는 경우가 흔합니다. 함수의 증가와 감소는 상 문항 12·17번의 뿌리이므로, 증감표로 그래프 개형을 확정하는 절차를 다시 점검해야 합니다.

동화고 3학년 2학기 대비 학습 순서 제안

1. 역함수 미분법 3연타 대비 — 공식 직접 적용형, 단조성 조건 결합형, 적분 안에 숨은 형태 (4·12·20번형)
2. 미분법 도구 전수 점검 — 합성함수, 음함수, 매개변수, 역함수, tan/sec/csc/cot 의 도함수
3. 정적분을 포함한 등식 — 위끝만 변수인 경우(한 번 미분)와 피적분함수에도 변수가 있는 경우(두 번 미분) 구분 (19·21번형)
4. 실근 개수 판정 — 극값의 부호로 조건식 세우기, 부등호와 등호 처리 (17·18번형)
5. 삼각함수 덧셈정리 + 미분 결합 — 단원 문항 수가 적어도 난이도는 최상 (22번형)
6. 24문항 시간 배분 실전 훈련 — 중상 18문항을 균등 속도로 처리하는 연습

자주 나오는 질문

동화고 3학년 1학기 기말 미적분은 어디까지 나오나요?

안내 범위는 여러 가지 미분법부터 정적분의 활용까지입니다. 다만 분석표 기준 실제 출제는 삼각함수의 미분, 여러 가지 미분법, 도함수의 활용 (1)·(2), 여러 가지 함수의 적분법, 치환적분법과 부분적분법에서 나왔고, 정적분의 활용(넓이·부피) 단원 배치 문항은 없었습니다.

서술형은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 서술형이 없습니다. 24문항 전부 객관식입니다.

가장 어려운 문항은 어디인가요?

12·17·22번입니다. 12번은 증가 조건과 역함수 미분의 결합, 17번은 실근 개수 판정, 22번은 삼각함수 덧셈정리와 미분의 결합입니다.

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