도당고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
도당고 3학년 1학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 22문항. 출제 범위는 여러 가지 미분법부터 여러 가지 함수의 적분법까지입니다. 도당고 3학년 1학기 기말 미적분의 구조를 한마디로 요약하면 적분 8문항이 전부 치환적분·부분적분 단원에 몰려 있다는 것입니다. 적분 파트에서 단순 공식 대입 문제를 기대하기 어렵고, 치환할 대상을 스스로 고르는 판단력이 계속 요구됩니다.
핵심 요약
- 22문항, 22번 1문항이 서술형(소문항 2개)
- 난이도: 하 0 / 중 5 / 중상 13 / 상 4
- 출제 단원: 09 치환적분법과 부분적분법 8문항 / 05 여러 가지 미분법 5 / 07 도함수의 활용(2) 5 / 06 도함수의 활용(1) 4
- 대단원 비중: 미분 14문항(64%) vs 적분 8문항(36%)
- 상 4문항은 13·19·21·22번 — 후반부 집중
- 수학Ⅰ 삼각함수가 6문항, 수학Ⅱ 부정적분이 5문항에서 도구로 재등장
도당고 미적분 기말고사는 어떤 시험인가
도당고등학교는 경기도 부천시에 있는 일반계 고등학교입니다. 부천 학군에서 이과 진학 비중이 높은 학교 중 하나입니다.
2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 22문항. 1~21번이 객관식이고 22번 한 문항이 서술형입니다. 22번은 (1) α' = -2/(x²+4), β' = 1/((3-x)²+1) 을 구한 뒤 (2) x = 6-2√5 를 도출하는 소문항 2단 구조로, (1)의 도함수를 못 세우면 (2)는 아예 진입이 안 되는 형태입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 13문항이 몸통
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% |
| 중 | 5 | 23% |
| 중상 | 13 | 59% |
| 상 | 4 | 18% |
하 난이도는 없습니다. 가장 쉬운 중 5문항(1·2·3·6·7번)도 접선의 방정식(y' = e^x + 2, y'(0) = 3), 매개변수 미분(dy/dx = 4t), 유리함수 부정적분(∫3/(x+2) = 3ln|x+2| + C), 삼각함수 치환 정적분(t = sin x), 음함수 미분(2yy' + a(y+xy') - 2 = 0) 수준입니다. 고3 기말답게 개념 확인 문항조차 미적분 표준 공식을 정확히 요구합니다.
중상 13문항(59%)이 시험의 몸통이고, 상 4문항(18%)이 13·19·21·22번으로 후반에 배치돼 있습니다. 앞의 12문항을 얼마나 빠르게 정리하느냐가 뒤쪽 4문항에 쓸 수 있는 시간을 결정합니다.
출제 단원 — 치환적분·부분적분 8문항이 최다
| 단원 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 8 | 36% | 3, 5, 6, 12, 17, 18, 20, 21 |
| 05 여러 가지 미분법 | 5 | 23% | 2, 7, 9, 16, 22 |
| 07 도함수의 활용 (2) | 5 | 23% | 4, 8, 10, 14, 15 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 4 | 18% | 1, 11, 13, 19 |
미분 14문항(64%), 적분 8문항(36%) 이지만, 적분 8문항이 전부 09 치환적분법과 부분적분법 단원에 배치돼 있다는 점이 특징입니다. 적분 문제가 나오면 곧 치환 아니면 부분적분이라는 뜻입니다.
적분 8문항 — 유형이 전부 다르다
| 번호 | 유형 | 난이도 |
|---|---|---|
| 3 | 유리함수의 부정적분 (분자 차수 < 분모 차수) | 중 |
| 5 | 부분적분법을 이용한 정적분 (한 번) | 중상 |
| 6 | 치환적분법을 이용한 정적분 (삼각함수) | 중 |
| 12 | 치환적분법 (무리함수) | 중상 |
| 17 | 정적분을 포함한 등식 (피적분함수와 끝에 변수) | 중상 |
| 18 | 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 | 중상 |
| 20 | 정적분을 포함한 등식 (아래끝·위끝이 상수) | 중상 |
| 21 | 부분적분 (한 번) + 정적분을 포함한 등식 | 상 |
정적분을 포함한 등식이 17·20·21번 3문항에 걸쳐 나옵니다. 끝이 상수인 경우(20·21번)는 그 정적분을 미지수 k로 놓고 방정식을 세우는 방식, 피적분함수에도 변수가 있는 경우(17번)는 양변을 미분하는 방식으로 접근이 완전히 다릅니다. 두 유형을 구분하는 훈련이 이 시험 적분 파트의 핵심입니다.
17번은 미분해서 ∫f = 2ae^(2x) - 6 에서 f = 12e^(2x) 를 얻고 144를 구하는 문제이고, 20번은 k = ∫g = 2/3 로 놓아 g = x² + 2x/3, g(-3) = 7 을 얻습니다. 12번은 f = 2 - √(1-x²) 형태의 무리함수 치환으로 k = 2√2/3, 18번은 f' = cos(π sin x) 가 기함수임을 이용해 f'(a) = 0 인 근을 찾습니다.
주의해야 할 상 난이도 4문항
13번 — 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수
접점을 매개변수로 놓아 k = u + 1/u 형태를 만들고, 이 함수의 치역에서 |k| > 2 조건을 읽어내 b - a = 4 를 구합니다. 접선의 개수 문제를 "매개변수 방정식의 실근 개수"로 환원하는 것이 관건입니다. u + 1/u 의 그래프(산술·기하 평균 또는 미분)를 정확히 알아야 합니다.
19번 — 유리함수의 극대·극소 + 변곡점
a = -2 일 때 극솟값 0, (0,1) 에 대한 대칭성을 이용합니다. 극값과 변곡점의 부호 구조를 함께 보고 k의 개수를 판정하는 문항으로, 증감표와 오목·볼록표를 동시에 그려야 합니다.
21번 — 부분적분 + 정적분 등식
∫x g'' dx = [x g'] - [g] 형태의 부분적분에 g' 의 대칭성과 극값 조건이 결합돼 답 -8이 나옵니다. 적분 안에 이계도함수가 들어 있는 형태라, 부분적분에서 어느 쪽을 미분하고 어느 쪽을 적분할지 판단이 갈립니다.
22번 — 음함수 미분 + 최대·최소의 활용 (서술형)
tan α = 2/x 형태를 음함수 미분해서 α' 을 구하는 것이 (1)입니다. 이것이 사실상 역삼각함수의 도함수를 직접 유도하는 과정입니다. (2)에서는 두 각의 합이 최대가 되는 x를 찾아 x = 6 - 2√5 를 얻습니다. 도당고 시험에서 유일한 서술형이자 최고 난도 문항입니다.
반복 출제된 유형 — 음함수 미분과 합성함수 미분
- 음함수의 미분법 — 7번(중), 22번(상 서술형). 7번은
2yy' + a(y + xy') - 2 = 0에서a = -2를 구하는 기본형, 22번은 삼각함수에 적용하는 최상위 서술형. 같은 도구를 난이도 양극단에서 두 번 씁니다. - 합성함수의 미분법 (지수·삼각) — 9번(중상,
f' = (1+ax)e^(ax+b)에서b = 2), 16번(중상, 역함수 미분과 결합해g'(2) = 1/4,g'(3) = 1/5). - 정적분을 포함한 등식 (끝이 상수) — 20번(중상), 21번(상).
도함수의 활용 — 속도와 가속도가 함께 나온다
07 도함수의 활용 (2) 5문항 중 10번(평면 위를 움직이는 점의 가속도) 과 15번(평면 위를 움직이는 점의 속도) 이 나란히 출제됐습니다. 10번은 x = 5t 에서 d²y/dt² = -25 sin x 를 얻어 가속도 벡터의 크기 25를 구하고, 15번은 v² = (t²+t+1)/(t+1)² 를 최소화해 t = 1 에서 a = 2√2 를 얻습니다. 속도와 가속도의 크기를 벡터 성분으로 계산하는 절차를 확실히 해두어야 두 문항을 함께 가져갑니다.
나머지는 4번(곡선의 오목과 볼록 — f'' < 0 에서 x < -1 또는 x > 1), 8번(부등식 f(x) ≥ a 가 성립할 조건 — f = x² - 2cos x, f(0) = -2 가 최소), 14번(k = cos x + x sin x 의 실근 개수, 정수 합 -10)입니다.
고1·고2 개념이 계속 소환된다
| 선수 개념 | 등장 문항 | 횟수 |
|---|---|---|
| 삼각함수 (수학Ⅰ) | 6, 8, 10, 18, 21, 22 | 6 |
| 부정적분의 계산 (수학Ⅱ) | 3, 5, 12, 17, 20 | 5 |
| 도함수의 정의로 도함수 구하기 (수학Ⅱ) | 2, 4, 9, 16 | 4 |
| 접선의 기울기 (수학Ⅱ) | 1, 7, 11, 13 | 4 |
| 함수의 증가와 감소 (수학Ⅱ) | 8, 14, 19, 22 | 4 |
수학Ⅰ의 삼각함수가 6문항에서 쓰이고, 그중 21·22번은 상 난이도입니다. 함수의 증가와 감소(수학Ⅱ) 도 상 문항 19·22번의 뿌리입니다. 미적분 공식은 아는데 상 문항에서 계속 막힌다면, 삼각함수 값·관계식과 증감표 작성 같은 하위 학년 기본기를 먼저 점검하는 편이 빠릅니다.
도당고 3학년 2학기 대비 학습 순서 제안
- 정적분을 포함한 등식 두 유형 구분 — 끝이 상수면 k로 치환, 피적분함수에 변수가 있으면 양변 미분 (17·20·21번형)
- 치환적분 대상 고르기 훈련 — 무리함수, 삼각함수, 유리함수별로 무엇을 t로 놓을지 (6·12번형)
- 음함수 미분 심화 —
tan α = 2/x처럼 삼각함수를 음함수로 다뤄 도함수를 유도하는 과정 (22번형) - 접선의 개수 문제 — 접점을 매개변수로 놓고 실근 개수로 환원 (13번형)
- 속도·가속도 벡터 계산 — 성분별 미분과 크기 계산 (10·15번형)
- 증감표 + 오목볼록표 동시 작성 — 극값과 변곡점을 함께 보는 연습 (19번형)
- 서술형 22번 대비 — 소문항 (1)의 도함수 유도를 확실히 하고 (2)로 넘어가는 구조 연습
자주 나오는 질문
도당고 3학년 1학기 기말 미적분은 어디까지 나오나요?
여러 가지 미분법부터 여러 가지 함수의 적분법까지입니다. 분석표 기준 실제 출제는 여러 가지 미분법, 도함수의 활용 (1)·(2), 치환적분법과 부분적분법 네 단원에서 나왔습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
22번 한 문항입니다. 소문항 (1)(2) 구조이고 상 난이도입니다. (1)에서 음함수 미분으로 도함수를 구하고, (2)에서 최대가 되는 x를 찾는 2단 구성입니다.
적분 문제는 어떤 유형이 나오나요?
적분 8문항이 전부 치환적분법·부분적분법 단원에서 나왔습니다. 특히 정적분을 포함한 등식이 17·20·21번 3문항으로 가장 많습니다.
과년도 도당고 기출은?
내신판은 업로드된 원문만 제공합니다. 필요 시 내신판 시험지 요청 기능을 이용하세요.
도당고 3학년 1학기 기말 미적분 기출 받아보기
2025학년 도당고 3학년 1학기 기말고사 미적분 원문(HWP)은 내신판에서 바로 다운로드 가능합니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형본도 제공됩니다.
📚 도당고 미적분 기출이 필요하다면?
가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.
(부천권 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출 일괄 확보로 수업 준비 시간을 크게 줄일 수 있습니다.)
네이버 태그 (복붙용)
#도당고 #도당고기출 #도당고등학교 #미적분 #고3수학내신 #3학년1학기기말고사 #부천고등학교 #치환적분법 #부분적분법 #내신판