압구정고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

압구정고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년도 기준 총 22문항. 출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용(접선·평균값 정리) 까지입니다. 압구정고 2학년 2학기 중간 수학2의 가장 큰 특징은 후반부에 교과서 정리를 직접 서술하게 하는 문항이 들어 있다는 점입니다. 사잇값 정리로 실근의 존재를 증명하는 문항과 평균값 정리를 적용하는 서답형이 나란히 출제됐습니다.

핵심 요약

• 22문항 — 후반 17~22번 구간에 서답형·증명형 배치
• 난이도: 하 2 / 중 9 / 중상 8 / 상 3 — 중 난이도가 9문항으로 가장 두꺼움
• 출제 단원: 01 함수의 극한(7) / 02 함수의 연속(6) / 03 미분계수와 도함수(6) / 04 도함수의 활용 (3)
• 상 3문항: 16번(연속 조건·주기) · 20번(극한의 활용) · 22번(항등식에서 도함수)
• ★ 특징: 사잇값 정리 증명(21번), 평균값 정리 서답형(17번) — 정리의 서술을 직접 평가

압구정고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 강남 학군 내에서도 압구정·청담권 학생들이 모이는 학교로, 수학 내신에 대한 요구 수준이 높습니다.

다만 이번 2025학년도 2학기 중간 시험의 난이도 분포는 다른 강남권 학교와 결이 조금 다릅니다. 상 난이도는 3문항(14%) 으로 상대적으로 적고, 대신 중 난이도가 9문항(41%) 으로 가장 두껍습니다. 극단적인 킬러보다 교과서 개념을 정확히 서술할 수 있는가를 묻는 쪽에 무게를 둔 시험입니다.

2025학년도 난이도 분포

중 이하가 11문항(50%)이라 기본 개념만 확실하면 절반은 확보됩니다. 문제는 그다음입니다. 중상 8문항이 등급을 가르는 실질 구간이고, 상 3문항이 최상위를 걸러냅니다.

출제 단원 — 네 단원에 고르게

특정 단원 쏠림이 없습니다. 인근 숙명여고가 극한에 11문항을 몰아넣은 것과 달리, 압구정고는 네 단원에 7·6·6·3으로 고르게 배분했습니다. 어느 한 단원을 버리는 전략이 통하지 않는 구성입니다.

★ 이 학교의 시그니처 — 정리(定理)를 직접 쓰게 한다

이번 시험에서 가장 눈에 띄는 것은 17번과 21번입니다.

21번 — 사잇값 정리로 실근의 존재 증명 (중상)

주어진 조건에서 보조함수를 만들고, 그 함수의 두 끝값의 곱이 음수임을 보여 실근이 존재함을 논증하는 증명 문항입니다. 답만 맞히는 연습만 한 학생은 서술 자체를 시작하지 못합니다.

17번 — 평균값 정리 적용 서답형 (중)

평균값 정리로 f'(c) = 0인 c의 존재를 이끌어내고, 그로부터 함수가 상수임을 보이는 흐름입니다. 계산 부담은 낮지만 정리의 조건과 결론을 정확한 문장으로 쓸 수 있어야 점수가 나옵니다.

이 두 문항의 메시지는 분명합니다. 압구정고 대비에서는 교과서 정리의 진술을 통째로 외우고 쓸 수 있어야 합니다. 사잇값 정리, 평균값 정리, 롤의 정리의 가정과 결론을 자기 말로 정리해두세요.

반복 출제된 유형

• (x-a)f(x) 꼴 함수의 연속 — 18번(중), 19번(중상)
• 함수가 연속일 조건 — 7번(중상), 16번(상)
• 함수의 극한의 활용 — 13번(중상), 20번(상)
• 접선의 기울기 — 9번(중상), 15번(중)

18·19번의 (x-a)f(x) 꼴은 인근 학교 기출에서는 잘 보이지 않는데 여기서는 연달아 두 문항이 나왔습니다. 다항식의 나눗셈과 연속·미분가능 조건을 엮는 유형이라, 고1 나머지정리를 잊었다면 손이 안 나갑니다.

또 15번은 한계비용·평균비용을 소재로 한 실생활 문항입니다. 접선의 기울기가 곧 순간변화율이라는 의미를 이해하고 있는지를 묻는 문제로, 계산보다 개념 해석이 핵심입니다.

주의해야 할 상 난이도 3문항

16번 — 주기 조건이 붙은 연속 (상)

연속 조건에서 미지수 후보를 두 개 뽑은 뒤, 방정식 f(x) = 8의 실근이 존재하는지까지 검증해 후보 하나를 걸러내야 합니다. 조건을 만족하는 답을 구했다고 끝이 아니라, 검증까지 해야 하는 구조입니다.

20번 — 함수의 극한의 활용 (상)

이차방정식의 두 근을 근과 계수의 관계로 처리하고, 길이의 제곱을 k에 대한 식으로 정리한 뒤 극한을 취합니다. 도형·근과 계수의 관계·극한이 한 문항에 겹칩니다.

22번 — 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 (상)

f(x+y) = f(x) + f(y) + xy 꼴의 함수방정식에서 출발해, 도함수의 정의로 돌아가 f'(x)를 유도합니다. 공식 대입으로는 절대 풀리지 않고, 미분계수의 정의식을 직접 세울 줄 알아야 하는 문항입니다.

놓치기 쉬운 선수학습

선수 유형은 고1 공통수학1에 12회 집중됐습니다.

• 이차방정식의 근의 판별 — 4번, 7번, 16번 (3회)
• 이차식으로 나누었을 때의 나머지 — 18번, 21번
• 근과 계수의 관계 — 9번, 20번
• 제한된 범위에서의 이차함수의 최대·최소 — 13번, 15번

특히 판별식이 3회 나왔습니다. 7번은 분모가 0이 되지 않을 조건을 판별식으로, 16번은 연속 조건의 후보를 판별식으로 정리합니다. "조건을 부등식으로 옮기면 판별식" 이라는 회로를 만들어두면 편합니다.

다음 시험 대비 학습 순서 제안

1. 사잇값 정리·평균값 정리의 진술을 문장으로 쓰기 — 21·17번형. 가정과 결론을 빠짐없이.
2. (x-a)f(x) 꼴 연속·미분가능 조건 — 18·19번형. 나눗셈 항등식과 함께 정리.
3. 함수가 연속일 조건 — 검증까지 — 16번형. 후보를 구한 뒤 반드시 조건 재확인.
4. 미분계수의 정의로 돌아가는 훈련 — 22번형. 함수방정식이 나오면 정의식부터.
5. 판별식 활용 반복 — 고1 이차방정식 파트. 상·중상 문항의 마무리 계산이 전부 여기.
6. 네 단원 고르게 복습 — 쏠림이 없는 시험이므로 버리는 단원을 만들지 말 것.

자주 나오는 질문

압구정고는 어떤 학교인가요?

서울 강남구에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 압구정·청담권 학생들이 진학하는 학교로 수학 내신 수준이 높은 편입니다.

2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

2025학년도 압구정고 기준 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용(접선, 평균값 정리) 까지입니다.

증명 문항이 정말 나오나요?

네. 2025학년도 시험 21번이 사잇값 정리를 이용해 실근의 존재를 보이는 증명 문항이었고, 17번은 평균값 정리를 적용하는 서답형이었습니다. 교과서 정리의 서술을 반드시 준비해야 합니다.

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