언남고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년도)
언남고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년도 기준 총 23문항으로 출제됐습니다. 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지, 즉 수학Ⅱ 교과서 I단원(함수의 극한과 연속) 전체와 II단원(다항함수의 미분법)의 접선·평균값 정리 파트까지입니다. 언남고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ의 가장 큰 특징은 상 난이도가 3문항(13%)뿐인데도 중상이 9문항(39%) 으로 두껍게 깔려 있다는 점입니다. 최상위 킬러로 등급을 가르는 시험이 아니라, 중상 구간에서 계산 실수 한두 개가 그대로 등급을 흔드는 구조입니다.
핵심 요약
- 총 23문항, 객관식 20문항 + 답을 직접 쓰는 문항 3개(20·22·23번)
- 난이도 분포 — 하 1 / 중 10 / 중상 9 / 상 3
- 출제 중단원 — 함수의 연속 7 / 함수의 극한 6 / 미분계수와 도함수 5 / 도함수의 활용(1) 5
- 최다 빈출 유형은 함수가 연속일 조건 3회(8·9·20번)
- 상 난이도는 10번(사잇값 정리)·15번(접선의 방정식)·16번(함수의 그래프와 연속)
언남고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가
언남고등학교는 서울 서초구 양재동에 있는 공립 일반계 고등학교입니다. 서초·양재권 학생들이 다니는 학교로, 수학 내신에서 극단적인 킬러보다는 교과서·기본서 유형을 촘촘하게 변형해 출제하는 성향이 이번 기출에서도 확인됩니다.
2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 1~19번과 21번은 객관식, 20·22·23번은 답을 직접 써 내는 형태입니다. 22번은 롤의 정리에서 c값을 구하는 문제(c=5/3), 23번은 접선의 기울기의 최댓값을 이용해 미정계수 a를 구하는 문제(a=-2)로, 둘 다 도함수의 활용 단원에서 나왔습니다.
2025학년도 난이도 분포 — 중·중상이 19문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 1 | 4% |
| 중 | 10 | 44% |
| 중상 | 9 | 39% |
| 상 | 3 | 13% |
하 난이도가 2번 한 문항뿐이라 시작부터 워밍업 구간이 거의 없습니다. 반대로 상은 3문항(10·15·16번)으로 많지 않아, 이 시험의 승부처는 중상 9문항을 얼마나 실수 없이 처리하느냐입니다. 중 난이도 10문항을 다 맞히는 것은 기본 전제이고, 중상 9문항에서 몇 개를 건지느냐가 등급을 결정합니다.
출제 단원 — 함수의 연속 7문항이 최다
| 중단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 02 함수의 연속 | 7 | 30% |
| 01 함수의 극한 | 6 | 26% |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 22% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 5 | 22% |
I단원(함수의 극한과 연속) 13문항, II단원(다항함수의 미분법) 10문항으로 극한·연속 쪽이 조금 더 무겁습니다. 다만 네 중단원 모두 5문항 이상이라 어느 한 단원도 버릴 수 없는 균형 구성입니다.
빈출 유형 — 이 세 가지가 반복됐습니다
1. 함수가 연속일 조건 (8·9·20번) — 3문항
이번 시험의 시그니처 유형입니다. 8번 중상은 연속 조건에서 나온 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖도록 판별식을 세워 정수 a의 개수(10개)를 구하는 문제, 9번 중상은 분모가 0이 되지 않을 조건(k=0 및 0<k<24)으로 정수 개수 24개를 세는 문제, 20번 중상은 극한값이 자기 자신을 참조하는 구조에서 k=2를 먼저 확정한 뒤 x=±2에서의 연속 조건을 연립해 f(-3)=9를 구하는 문제입니다. 세 문항 모두 "연속 조건 → 방정식·부등식 → 개수 세기"라는 같은 흐름을 씁니다.
2. 사잇값 정리 (10·21번) — 2문항, 상 포함
10번 상은 f(0)=0인 함수의 부호 변화 구간과 대칭성을 함께 써서 실근이 적어도 5개임을 보이는 문제로, 이번 시험 최고 난이도급입니다. 21번 중은 g(-1)g(1)<0에서 k(k-4)>0을 얻어 k>4, 최솟값 5를 구하는 표준형입니다. 같은 정리를 쓰지만 난이도 차이가 큽니다.
3. 다항함수의 결정 (18·19번) — 2문항
18번 중상은 두 조건에서 a=m, b=2/n을 얻고 m≥n을 판정하는 보기 판별형, 19번 중은 우함수 조건으로 f=ax²+b 꼴로 좁힌 뒤 f(1)=-1, f'(1)=2를 연립해 f(2)=2를 구하는 문제입니다.
4. 도함수의 활용 — 접선과 정리 5문항
4번(접점의 좌표가 주어진 접선), 12번(평균값 정리로 f(4)≤13 판정), 15번 상(접선이 곡선과 다시 만나는 점, 접점 A(0,0)·B(2,2)), 22번(롤의 정리, c=5/3), 23번(접선의 기울기의 최댓값, a=-2)이 여기 속합니다. 평균값 정리와 롤의 정리가 나란히 출제된 점이 눈에 띕니다.
주의할 상 난이도 3문항
| 번호 | 단원 | 핵심 유형 | 포인트 |
|---|---|---|---|
| 10 | 함수의 연속 | 사잇값 정리; 실근 존재 구간 | 기함수 대칭 + 여러 구간 부호를 종합해 근 개수 판정 |
| 15 | 도함수의 활용 (1) | 접선의 방정식 + 접선이 곡선과 다시 만나는 점 | 접점 두 개를 모두 찾아야 진행 |
| 16 | 함수의 연속 | 함수의 그래프와 연속 | 불연속 개수 조건으로 직선을 결정한 뒤 곱의 최댓값·최솟값 처리 |
세 문항 모두 조건 하나를 읽어내면 나머지가 풀리는 구조입니다. 10번은 대칭성, 16번은 불연속점 개수가 그 열쇠입니다.
고1 개념이 발목을 잡는 지점
이번 기출에서 고1 공통수학 개념이 다시 필요한 문항이 10곳이었습니다. 특히 이차방정식의 근의 판별(8·9번) 과 이차함수의 최대·최소(16·23번) 가 각각 두 번씩 쓰였습니다. 그 밖에 다항식의 나눗셈(6번), 이차식의 인수분해(15번), 근과 계수의 관계(19번), 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식(4번), 원과 직선이 접할 조건(13번)이 등장했고, 중3 과정의 분모의 유리화도 3번 무리식 극한에서 그대로 쓰였습니다.
수학Ⅱ 개념은 아는데 점수가 안 나온다면, 원인이 극한·미분이 아니라 판별식과 이차함수 최댓값 처리에 있을 가능성이 높습니다.
언남고 수학Ⅱ 중간 대비 학습 순서
- 함수가 연속일 조건 집중 훈련 — 분모 조건, 판별식, 정수 개수 세기까지 한 세트로 반복
- 사잇값 정리 두 층위 연습 — 21번 같은 부호 판정형과 10번 같은 대칭·다구간 종합형을 구분해 연습
- 접선 3종 정리 — 접점이 주어진 경우(4번), 곡선과 다시 만나는 경우(15번), 기울기의 최댓값(23번)
- 평균값 정리·롤의 정리 정의 확인 — 12·22번처럼 정의를 그대로 묻는 문항이 실제로 나옴
- 고1 이차방정식·이차함수 복습 — 판별식과 최대·최소는 반드시 되짚고 갈 것
- 23문항 실전 시간 배분 — 하 난이도가 1문항뿐이므로 초반부터 속도를 내야 후반 서술을 확보
자주 나오는 질문
언남고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
2025학년도 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용(1) 네 중단원이 모두 포함됐고, 접선의 방정식과 평균값 정리까지 나왔습니다. 같은 "고2 2학기 중간"이라도 학교마다 도함수의 활용 진도가 다르므로 본인 학교 범위를 먼저 확인하세요.
서술형은 몇 문항인가요?
답을 직접 쓰는 문항이 3개(20·22·23번)입니다. 20번은 함수의 연속, 22번은 롤의 정리, 23번은 접선의 기울기의 최댓값에서 나왔습니다.
상 난이도는 어디에 있나요?
10번·15번·16번입니다. 후반부에 몰려 있지 않고 중반에 흩어져 있어 시간 배분이 중요합니다.
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