중동고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년도)
중동고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년도 기준 총 17문항입니다. 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지로 다른 학교와 같지만, 문항 수가 20문항대인 강남권 학교들과 비교하면 확연히 적습니다. 중동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ에서 문항 수가 적다는 것은 곧 한 문항의 배점이 크고, 하나 틀렸을 때의 손실이 크다는 뜻입니다. 실제로 17문항 중 12문항이 중상 이상입니다.
핵심 요약
- 총 17문항, 객관식 15문항 + 답을 직접 쓰는 문항 2개(16·17번)
- 난이도 분포 — 하 2 / 중 3 / 중상 8 / 상 4
- 출제 중단원 — 함수의 연속 7 / 미분계수와 도함수 6 / 함수의 극한 4 / 도함수의 활용(1) 2
- 최다 빈출은 함수가 연속일 조건(응용) 3회(7·14·17번) 와 구간별 미분가능성 3회(10·14·16번)
- 상 난이도는 13·14·16·17번으로 후반부에 집중
중동고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가
중동고등학교는 서울 강남구 일원동에 있는 남자 사립 일반계 고등학교입니다. 대치·일원권 학생들이 다니는 학교로, 수학 내신에서 문항 수를 줄이는 대신 문항당 사고 단계를 늘리는 출제 방식이 이번 기출에 뚜렷합니다.
1~15번이 객관식, 16·17번은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 이 두 문항이 모두 상 난이도라, 서술 배점을 통째로 놓치면 회복이 어렵습니다.
2025학년도 난이도 분포 — 중상 이상이 12문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 2 | 12% |
| 중 | 3 | 18% |
| 중상 | 8 | 47% |
| 상 | 4 | 24% |
하·중을 합쳐도 5문항(1·2·3·5·15번)뿐입니다. 4번부터 이미 중상이고, 13번 이후로는 15번을 제외하면 전부 상 난이도입니다. 후반부에 상이 몰린 전형적인 변별 구조입니다.
출제 단원 — 함수의 연속 7문항이 중심
| 중단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 02 함수의 연속 | 7 | 41% |
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 35% |
| 01 함수의 극한 | 4 | 24% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 12% |
함수의 연속이 7문항으로 전체의 41% 를 차지합니다. 순수 극한 계산 문항은 4문항(1·2·5·13번)에 그치고, 나머지는 연속과 미분가능성 판정에 집중돼 있습니다. 극한 계산 연습만으로는 대비가 되지 않는 시험입니다.
빈출 유형 — 연속과 미분가능성의 응용
1. 함수가 연속일 조건 (응용) — 7·14·17번, 3문항
7번 중상은 x=1에서의 연속 조건 a+b=8과 주기 조건 3a+b=4를 연립해 a=-2, b=10을 얻은 뒤 f(8)=f(2)를 계산하는 문제입니다. 14번 상은 x→0-에서 fg의 극한이 1이라는 조건에서 f(0)=1을 확정하고, (x-1)² 인수와 부호 조건으로 f=-(x-1)³(x+1)까지 결정해야 하는 고난도 문항입니다. 17번 상은 f(x)f(x-2)의 불연속점이 x=2 하나뿐이라는 조건으로 b=2a-4를 얻고, 실근 개수 함수 h(t)까지 다뤄 a+h(b/2)=6을 구합니다.
2. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 10·14·16번, 3문항
10번 중상은 x=2에서 연속 조건과 미분계수 조건을 세워 a=4, b=16을 얻는 표준형이고, 16번 상은 |x|≤1에서 f=-x²+x+2인 함수에 대해 x=3과 x=-1에서 fg가 미분가능하도록 g=(x+1)²(x-3)을 역으로 찾아내는 문제입니다. 14번은 연속 조건과 미분가능성이 함께 걸린 복합 문항입니다.
3. 접선 관련 — 11·13번
11번 중상은 곡선 밖의 점(원점)에서 그은 접선 문제로, 2t³-t²-1=0을 인수분해해 t=1을 찾고 접선 y=x를 구합니다. 13번 상은 곡선과 직선이 접할 조건을 f-g=(x-1)²(x-r) 형태의 이중근으로 해석해 기울기 5를 얻는 문제입니다. 두 문항 모두 인수분해와 조립제법이 필수입니다.
4. 눈여겨볼 단발 문항
8번 중상은 (x²-4)f(x)=x³+x²+ax+a 꼴에서 x=2를 대입해 a=-4를 얻은 뒤 f=x+1을 찾는 (x-a)f(x) 꼴 연속 문제, 12번 중상은 f=(x+1)²Q+g로 두고 양변을 미분해 f'(-1)=g'(-1)을 이끌어내는 다항식의 나눗셈과 미분법의 융합 문제입니다. 교과서 예제만으로는 대비가 어려운 형태입니다.
주의할 상 난이도 4문항
| 번호 | 단원 | 핵심 유형 | 포인트 |
|---|---|---|---|
| 13 | 도함수의 활용 (1) | 곡선과 직선이 접할 때 | 접한다 = 이중근이라는 해석이 출발점 |
| 14 | 함수의 연속 | 연속 조건 + 함수 결정 | 좌극한 조건으로 f(0)을 먼저 확정 |
| 16 | 미분계수와 도함수 | 곱함수의 미분가능성 | g를 역으로 설계하는 문제 |
| 17 | 함수의 연속 | 곱함수의 불연속점 + 실근 개수 | 불연속점이 하나뿐이라는 조건 활용 |
네 문항 모두 "조건을 만족하도록 함수를 거꾸로 만들어 내는" 역방향 사고를 요구합니다. 주어진 함수를 계산하는 연습만 해서는 손도 못 대는 유형입니다.
고1 개념이 필요한 지점
이번 기출에서 조립제법이 3회(4·11·13번), 조립제법을 이용한 항등식의 미정계수 결정이 2회(8·12번) 쓰였습니다. 삼차·사차식을 빠르게 인수분해하지 못하면 접선 문제와 연속 문제에서 시간을 크게 잃습니다.
그 밖에 절댓값을 포함한 방정식(6·16번), 두 점 사이의 거리(11·13번), 이차함수와 x축의 위치 관계(15번), 이차함수의 최대·최소(17번), 삼차·사차방정식의 풀이(14번)가 등장했습니다.
중동고 수학Ⅱ 중간 대비 학습 순서
- 함수가 연속일 조건 응용형 집중 — 주기 조건 결합(7번), 곱함수 불연속점(17번), 좌극한으로 함수 결정(14번)
- 구간별 미분가능성 역방향 훈련 — 16번처럼 조건을 만족하는 g를 직접 설계하는 연습
- 조립제법 속도 훈련 — 삼차·사차식 인수분해가 느리면 13번을 시간 안에 못 끝냅니다
- 접선 유형 두 갈래 — 곡선 밖의 점에서 그은 접선(11번), 곡선과 직선이 접할 조건(13번)
- 다항식의 나눗셈과 미분법 융합 — 12번 유형은 별도 문제집에서 찾아 연습
- 17문항 배점 감안한 검산 습관 — 문항 수가 적어 한 문항 실수의 대가가 큽니다
자주 나오는 질문
중동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
2025학년도 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 도함수의 활용에서는 곡선 밖의 점에서 그은 접선(11번)과 곡선과 직선이 접할 조건(13번) 두 문항이 나왔습니다.
문항 수가 적으면 쉬운 시험인가요?
아닙니다. 17문항 중 12문항이 중상 이상이고 상이 4문항입니다. 문항 수가 적을수록 한 문항의 배점이 커서 실수 한 번의 손실이 큽니다.
어느 단원부터 공부해야 하나요?
함수의 연속입니다. 7문항으로 가장 많고, 상 난이도 4문항 중 두 문항(14·17번)이 여기서 나왔습니다.
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