중산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년도)
중산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년도 기준 총 22문항이며, 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 중산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ에서 반드시 짚어야 할 것은 상 난이도가 6문항(27%) 이고, 그중 네 문항(19~22번)이 답을 직접 쓰는 후반부에 연속으로 배치돼 있다는 점입니다. 앞부분은 비교적 순하게 시작하지만 마지막 네 문항에서 등급이 완전히 갈립니다.
핵심 요약
- 총 22문항, 객관식 16문항 + 답을 직접 쓰는 문항 6개(17~22번)
- 난이도 분포 — 하 3 / 중 5 / 중상 8 / 상 6
- 출제 중단원 — 미분계수와 도함수 9 / 함수의 극한 8 / 함수의 연속 4 / 도함수의 활용(1) 1
- 최다 빈출은 함수의 극한의 활용 3회(12·21·22번)
- 상 난이도 6문항 중 4문항(19·20·21·22번)이 서술 구간에 몰림
중산고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가
중산고등학교는 서울 강남구 일원동에 있는 사립 일반계 고등학교입니다. 대치·일원권 학교답게 수학 내신 난이도가 높은 편이고, 이번 기출은 앞 6문항으로 기본기를 확인한 뒤 뒤 여덟 문항에서 몰아치는 구조를 씁니다.
1~16번이 객관식, 17~22번 여섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 17·18번은 중 난이도라 확보 가능하지만, 19~22번은 모두 상 난이도입니다. 서술 배점 비중이 큰 만큼 이 네 문항의 부분 점수 확보가 현실적인 목표가 됩니다.
2025학년도 난이도 분포 — 상 6문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% |
| 중 | 5 | 23% |
| 중상 | 8 | 36% |
| 상 | 6 | 27% |
1·2·3번이 하 난이도로 평균변화율, 우극한, 접선의 기울기를 단순히 묻습니다. 4~6번이 중, 7번부터 14번까지 여덟 문항이 연속으로 중상, 그리고 15·16번과 19~22번이 상입니다. 상 6문항 비중 27%는 같은 시기 강남권 수학Ⅱ 시험 중에서도 높은 편입니다.
출제 단원 — 미분계수와 도함수 9문항
| 중단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 9 | 41% |
| 01 함수의 극한 | 8 | 36% |
| 02 함수의 연속 | 4 | 18% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 5% |
미분계수와 도함수 9문항, 함수의 극한 8문항으로 두 단원이 전체의 77% 를 차지합니다. 도함수의 활용(1)은 3번(접선의 기울기) 한 문항뿐이라, 접선의 방정식 심화에 시간을 많이 쓸 필요는 없었던 시험입니다.
빈출 유형 — 극한의 활용이 세 번, 모두 고난도
1. 함수의 극한의 활용 (12·21·22번) — 3문항
12번 중상은 f=-2+1/(x-3)에 대해 g=|f|를 그려 실근 개수 함수 h(t)를 계단 형태로 읽고 (t-1)²과 대조해 t=0, 2, 1+√2를 찾는 문제입니다. 21번 상은 극솟값 m=a-1과 극댓값 M=a+7에서 -m=M을 세워 a=-3을 얻은 뒤, 계단함수 g(t)에서 부등식이 성립하는 k=0, 3을 찾습니다. 22번 상은 최고차항 조건과 f(0)의 값에 따른 케이스 분류를 거쳐 f(3)의 가능한 값 네 개(31, 43, 49, 61)를 모두 구해야 하는 문항입니다.
세 문항 모두 "그래프를 그려 개수를 세는" 계단함수형입니다. 중산고 수학Ⅱ 대비의 1순위입니다.
2. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 (11·19번) — 2문항
11번 중상은 |4x|g가 x=0에서 미분가능하려면 좌우 미분계수 ±4g(0)이 일치해야 하므로 g(0)=0을 얻는 문제이고, 19번 상은 주기가 6인 함수에 대해 f+|f-4|가 미분가능하려면 f의 최댓값이 4 이하여야 한다는 조건에서 a≥-8/9를 이끌어내는 문제입니다.
3. 다항함수의 결정 (10·16번) — 2문항
10번 중상은 {f'}²=4f에서 차수 비교 2n-2=n으로 n=2를 확정하고 계수를 맞춰 f=(x-1)²을 얻는 문제, 16번 상은 fg가 사차식이라는 조건 아래 f가 삼차·g가 일차인 경우와 둘 다 이차인 경우를 나눠 g(1)의 최댓값 5를 찾는 케이스 분석 문항입니다.
4. 함수가 연속일 조건 (8·9번)과 미정계수의 결정 (5·20번)
8번 중상은 절댓값이 붙은 유리식에서 좌우극한을 맞춰 a=-1, b=-3을 구하고, 9번 중상은 분모의 판별식으로 0<a<8을 얻은 뒤 약분 가능한 값을 제외해 M+m=7을 구합니다. 20번 상은 극한이 존재할 조건 g(2)=0과 |f(2)|=8 조건을 케이스로 나눠 p+q의 최댓값 10을 찾습니다.
후반 서술 구간 (17~22번)
| 번호 | 난이도 | 단원 | 핵심 유형 |
|---|---|---|---|
| 17 | 중 | 미분계수와 도함수 | 곱의 미분법 |
| 18 | 중 | 미분계수와 도함수 | 곱의 미분법 (수열 점화식 결합) |
| 19 | 상 | 미분계수와 도함수 | 구간별 미분가능성 (절댓값·주기) |
| 20 | 상 | 미분계수와 도함수 | 미분계수를 이용한 미정계수 결정 |
| 21 | 상 | 함수의 극한 | 극한의 활용 (실근 개수 함수) |
| 22 | 상 | 함수의 극한 | 극한의 활용 (케이스 분류) |
17·18번은 반드시 확보해야 하는 구간입니다. 특히 18번은 곱의 미분법을 전개한 뒤 등차·등비수열 점화식으로 이어지는 융합 문항이라, 수학Ⅰ의 수열 일반항을 알고 있어야 마무리됩니다.
고1 개념이 발목을 잡는 지점
이번 기출에서 가장 많이 호출된 선수 개념은 절댓값을 포함한 방정식으로 6회(2·8·11·19·21·22번) 입니다. 상 난이도 문항 대부분에 절댓값이 걸려 있어, 부호에 따라 구간을 나누는 처리가 느리면 후반부를 통째로 놓치게 됩니다.
그다음이 이차함수의 최대·최소 3회(19·20·21번) 이고, 이차함수와 x축의 위치 관계(9·15번), 인수분해 공식(10·16번), 이차부등식(13번), 유리함수의 점근선(12번)이 뒤를 잇습니다.
중산고 수학Ⅱ 중간 대비 학습 순서
- 극한의 활용 계단함수형 집중 — 12·21·22번 유형. 그래프를 그려 교점·실근 개수를 t의 함수로 정리하는 훈련
- 절댓값 구간 분할 속도 훈련 — 상 문항 대부분의 진입 장벽
- 구간별 미분가능성 + 주기 조건 — 19번 유형. f+|f-4| 같은 합성 형태에 익숙해질 것
- 다항함수의 결정 케이스 분석 — 16번처럼 차수 조합을 나눠 최댓값을 찾는 연습
- 곱의 미분법 확실히 — 17·18번은 서술 구간에서 확보 가능한 점수
- 22문항 시간 배분 — 1~6번을 10분 안에 끝내고 후반 네 문항에 시간을 몰아주는 전략
자주 나오는 질문
중산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
2025학년도 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 다만 도함수의 활용에서는 접선의 기울기(3번) 한 문항만 나왔고, 실제 비중은 함수의 극한과 미분계수·도함수에 몰려 있습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
17~22번 여섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 이 중 19~22번 네 문항이 상 난이도입니다.
상 난이도가 어디에 몰려 있나요?
15·16번과 19~22번입니다. 후반 서술 구간에 상이 네 문항 연속으로 배치돼 있어, 시간이 부족하면 그대로 실점합니다.
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