중대부고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년도)

중대부고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년도 기준 총 22문항입니다. 기본 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지인데, 중대부고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ에서 눈여겨볼 점은 16번 문항이 도함수의 활용(2)의 '함수의 증가와 감소'에서 나왔다는 것입니다. 같은 시기 강남권 다른 학교들이 접선까지만 다룬 것과 달리, 중대부고는 증가·감소 판정까지 범위에 넣었습니다. 범위표만 보고 준비하면 놓치는 지점입니다.

핵심 요약

• 총 22문항, 객관식 15문항 + 답을 직접 쓰는 문항 7개(15·16·18~22번)
• 난이도 분포 — 하 4 / 중 5 / 중상 8 / 상 5
• 출제 중단원 — 함수의 극한 9 / 함수의 연속 6 / 미분계수와 도함수 6 / 도함수의 활용(1) 1 / 도함수의 활용(2) 1
• 16번이 함수의 증가와 감소에서 출제 (범위 경계)
• 상 난이도는 10번과 19~22번, 마지막 네 문항이 연속으로 상

중대부고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구 도곡동에 있는 사립 일반계 고등학교입니다. 대치·도곡 학군에 속해 수학 내신 경쟁이 치열하고, 이번 기출은 하 난이도 4문항으로 문을 열어 준 뒤 마지막 네 문항에서 몰아치는 구성을 취합니다.

1~14번과 17번이 객관식이고, 15·16번과 18~22번 일곱 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 15번(연속 판정)과 16번(최댓값·최솟값)은 하 난이도라 확보 가능하지만, 19~22번은 모두 상 난이도입니다.

2025학년도 난이도 분포

하 4문항, 중 5문항으로 9문항은 비교적 순하게 풀립니다. 문제는 상 5문항 중 네 문항(19·20·21·22번)이 마지막에 연속으로 배치된 점입니다. 앞을 빨리 끝내지 못하면 뒤 네 문항을 손도 대지 못한 채 종이 울립니다.

출제 단원 — 함수의 극한 9문항

I단원(함수의 극한과 연속)이 15문항으로 68% 를 차지합니다. II단원은 미분계수와 도함수 6문항이 중심이고, 도함수의 활용은 4번(평균값 정리 결합)과 16번(함수의 증가와 감소) 두 문항뿐입니다.

범위 경계 문항 — 16번 함수의 증가와 감소

16번은 f'=-2/(x+4)² 이 항상 음수임을 확인해 구간 [-2, 1]에서 감소함을 판정하고, 양 끝값으로 최댓값 2, 최솟값 7/5을 구하는 문제입니다. 하 난이도지만 '도함수의 활용(2)' 단원 개념이라 진도가 거기까지 나가지 않았다고 생각하고 넘긴 학생은 손을 대지 못합니다.

또한 이 문항은 유리함수의 점근선 개념도 함께 쓰므로, 고1 유리함수 파트도 되짚어 두는 편이 좋습니다.

빈출 유형 — 극한 계산과 극한의 활용

1. 함수의 극한의 활용 (10·20번) — 2문항, 둘 다 상

10번 상은 f=(x-3)²+a-9로 두고 a<9일 때 g(t)가 t=0과 t=9-a에서 불연속임을 파악해 α+β=9-a=1에서 a=8을 얻고 f(8)=24를 구합니다. 20번 상은 포물선과 유리함수가 얽힌 상황에서 g(t)의 불연속점을 t=1과 나머지 두 값으로 나눠 조건을 세우고 f(3)이 최소가 되는 m을 찾는 문항입니다. 두 문항 모두 그래프 개형을 그려 불연속점을 세는 유형입니다.

2. 0/0 꼴 유리식의 극한 (13·21번) — 2문항

13번 중상은 분자에 x=4를 대입해 2a-8을 얻은 뒤 두 케이스로 나눠 조건을 만족하는 값들의 합 18을 구하고, 21번 상은 무한대에서의 극한으로 f=x³+2x²+bx+c 꼴을 확정한 다음 √x-2=(x-4)/(√x+2) 변형으로 g(4)=1=f'(4)를 얻어 b=-63, c=156을 구합니다.

3. 함수의 극한에 대한 성질 (9·17번) — 2문항

9번 중은 세 보기를 각각 판정하는 문제로, 반례를 직접 구성하고 (x-a)로 나누는 논증까지 필요합니다. 17번 중은 5f-g의 극한이 2임을 이용해 g/f→5를 유도한 뒤 대입해 3을 얻는 표준형입니다.

4. 구간별 미분가능성 (7·12번)과 연속 조건 (5·22번)

7번 중상은 주기가 3인 함수에서 x=2의 연속·미분 조건과 주기 조건을 연립해 f(5/2)=-1/2을 구하고, 12번 중상은 f가 기함수임을 이용해 확장한 뒤 x=±1에서 좌우 미분계수를 맞춰 g=x²-1을 얻습니다. 22번 상은 g의 불연속점 x=1, 3에서 f·g가 연속이 되도록 f(1)(2b-4)=0, f(3)(2b-2)=0을 세우고 (a, b) 순서쌍 일곱 개를 모두 찾아야 하는 나열형 문항입니다.

마지막 상 4문항 (19~22번)

네 문항 중 세 문항이 함수의 극한 단원입니다. 극한 단원에서 함수를 역으로 결정하는 문제를 얼마나 다뤄 봤느냐가 그대로 점수로 갈립니다. 22번은 답을 하나만 쓰면 감점되는 나열형이므로, 케이스를 빠뜨리지 않는 훈련이 필요합니다.

고1·중3 개념이 필요한 지점

이번 기출은 선수 개념의 폭이 넓습니다. 인수분해 공식(13·22번), 절댓값을 포함한 방정식(10·19번), 이차함수의 최대·최소(10·20번)가 각각 두 번씩 쓰였고, 유리함수의 점근선이 16·20번 두 문항에서 필요했습니다. 21번에서는 무리식이 실수가 되기 위한 조건까지 등장합니다.

특히 14번은 중학교 3학년 과정의 삼각비와 원주각·중심각 개념을 써서 도형 관계를 정리한 뒤 무리식 극한을 계산하는 융합 문항입니다. 8번은 급수 형태의 다항식을 항별로 미분한 뒤 등차수열의 합으로 f'(1)=45를 구합니다.

중대부고 수학Ⅱ 중간 대비 학습 순서

1. 함수의 극한 단원을 최우선으로 — 9문항이 여기서 나오고 상 4문항 중 3문항도 여기 있습니다
2. 극한을 이용한 함수 결정 훈련 — 19·21번 유형. 차수 비교와 계수 확정 과정을 손으로 반복
3. 교점 개수 함수의 불연속점 세기 — 10·20번 유형. 그래프 개형을 먼저 그리는 습관
4. 곱함수의 연속 조건 나열형 — 22번처럼 순서쌍을 빠짐없이 찾는 연습
5. 함수의 증가와 감소까지 확인 — 16번이 도함수의 활용(2)에서 나왔습니다. 범위 경계를 반드시 체크
6. 고1 유리함수·무리식 복습 — 점근선과 정의역 조건이 여러 문항에서 필요

자주 나오는 질문

중대부고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?

2025학년도 기준 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용(1)이 기본 범위였습니다. 여기에 16번이 도함수의 활용(2)의 함수의 증가와 감소에서 출제됐으므로, 증가·감소 판정까지 포함해 두는 편이 안전합니다.

서술형은 몇 문항인가요?

15·16번과 18~22번, 총 일곱 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 이 중 15·16번은 하 난이도라 확보 가능하고, 19~22번은 모두 상 난이도입니다.

상 난이도는 어디에 있나요?

10번과 19·20·21·22번입니다. 마지막 네 문항이 연속으로 상이라, 앞부분에서 시간을 절약하는 것이 곧 점수입니다.

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