잠실고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
잠실고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수까지로, 수학Ⅱ의 I단원 전체와 II단원 첫 중단원을 묶어 평가합니다. 잠실고는 서울 송파구에 있는 학교이고, 잠실고 2학년 2학기 중간 수학은 앞부분 5문항을 하 난이도로 깔아준 뒤 중반 이후 중상 난이도를 촘촘히 배치하는 구성이었습니다.
핵심 요약
- 21문항. 18~21번은 답을 직접 쓰는 주관식·서술형, 19번은 (1)(2)(3) 소문항 구성
- 난이도: 하 5 / 중 6 / 중상 8 / 상 2 — 중상이 8문항(38%)로 가장 두꺼움
- 배치 단원: 01 함수의 극한 7문항 · 02 함수의 연속 7문항 · 03 미분계수와 도함수 7문항 (정확히 균등)
- 최다 빈출 유형: 함수의 극한의 활용(No.3605) 4회 — 14·15·18·21번
- 상 난이도 2문항은 16번(계단함수 극한)과 21번(연속일 조건 응용, 답 11)
출제 범위와 단원별 문항 수
| 배치 단원 | 문항 수 | 해당 문항 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 7 | 1, 4, 13, 14, 16, 18, 20 |
| 02 함수의 연속 | 7 | 2, 9, 10, 12, 15, 17, 21 |
| 03 미분계수와 도함수 | 7 | 3, 5, 6, 7, 8, 11, 19 |
세 중단원이 7문항씩 정확히 균등하게 배분됐습니다. 흔히 "극한은 몇 문제 안 나오니까 연속·미분에 집중하자"는 식으로 대비하는데, 잠실고 2025학년 2학기 중간은 그 전략이 통하지 않는 시험입니다. 극한 7문항 중 상 1문항, 중상 4문항이 몰려 있어 오히려 극한 쪽 실점이 등급을 가르는 구조였습니다.
난이도 분포는 하 5문항, 중 6문항, 중상 8문항, 상 2문항입니다. 1~5번이 모두 하 난이도(그래프에서 극한값 읽기, 다항함수·유리함수의 연속 판정, 평균변화율 정의 대입, 미분법 공식 대입)라서 초반 5문제는 빠르게 통과하고 남은 시간을 후반에 쓰는 시간 배분이 필요합니다.
빈출 유형 — 극한의 활용이 4회 반복
함수의 극한의 활용(No.3605)이 4회 출제된 것이 이 시험의 가장 뚜렷한 특징입니다.
- 14번 중상 — 항등식을 인수분해해 g(x)를 f(x)로 표현하고 공통 x³을 약분하는 문제
- 15번 중상 — 연속함수의 성질과 결합. 최솟값 -2, 최댓값 0 조건으로 f(0)과 x→∞에서의 값을 판정
- 18번 중상 — 도형의 길이식을 극한으로 처리. 좌표와 길이식을 세운 뒤 무리식 극한을 계산, 답 8
- 21번 상 — 연속일 조건(응용)과 결합된 최고난도 문항, 답 11
즉 극한의 활용은 단독으로 나오지 않고 연속·도형·항등식과 붙어서 나옵니다. 단원별로 쪼개 푸는 문제집 방식만으로는 대응이 어렵습니다.
그 다음으로 다항함수의 결정(No.3603)이 2회(13·20번), 미분법의 공식(No.3669)이 2회(5·6번) 나왔습니다. 13번은 g(x)=f(x-3) 관계와 f(1)=f(4)=0을 이용해 삼차함수를 결정하는 유형, 20번은 무한대 극한으로 최고차항을 정하고 x→0 극한으로 남은 계수를 결정하는 유형입니다. 극한 조건에서 다항함수를 역으로 복원하는 훈련이 반드시 필요합니다.
함수의 연속 7문항은 유형이 겹치지 않고 흩어졌습니다. 기본 연속 판정(2번), (x-a)f(x) 꼴의 연속(9번), 사잇값 정리(10번), 연속일 조건(12번), 연속함수의 성질(15번), 그래프와 연속(17번), 연속일 조건 응용(21번)이 각 1회씩입니다. 연속 단원은 특정 유형만 골라 풀 수 없고 교과서 유형을 빠짐없이 훑어야 하는 구조입니다.
주의할 문항 — 16번과 21번
16번(상) 은 y=|f(x)|와 y=t의 교점 개수를 g(t)로 놓고 구간별 계단함수로 분석하는 문제입니다. x<0 가지와 x≥0의 이차함수 절댓값 그래프를 나눠 교점 개수를 t 구간별로 세고, 조건을 만족하는 k의 존재 조건까지 도출해야 합니다. 그래프를 직접 그리지 않고 식만 보면 거의 풀리지 않습니다. 선수 개념으로 제한된 범위에서의 이차함수 최대·최소가 걸려 있어, 고1 이차함수 감각이 흐려진 학생은 여기서 막힙니다.
21번(상) 은 극한이 존재하지 않는다는 조건을 g(t)=0과 동치로 해석하고, 그 근이 -2와 4 두 개뿐이 되도록 f(x)=(x+2)², b=6, a=1/2를 결정하는 문제입니다. 답은 11. "연속일 조건"이라는 익숙한 제목이지만 실제로는 극한의 존재 조건을 함수 방정식의 근 개수 문제로 번역하는 고난도 사고를 요구합니다.
중상 난이도 중에서는 7번도 놓치기 쉽습니다. f(x)=(x-1)²Q(x)+x+2 꼴에서 f(1)과 f'(1)을 동시에 이용해 계수를 결정하는 나눗셈-미분 결합형인데, (x-1)² 로 나눈 나머지 문제를 미분으로 처리하는 발상을 모르면 대입만 반복하다 시간을 씁니다.
서술형·주관식 구간
18~21번은 답을 직접 기입하는 형태입니다. 특히 19번은 (1) 12, (2) 1/4, (3) 16 세 개의 소문항으로 구성돼 있고, 두 극한을 각각 f'(2)와 g'(2)로 환원한 뒤 곱의 미분법을 적용하는 과정을 요구합니다. 계산 자체는 중 난이도지만 소문항 구조라 한 단계에서 실수하면 뒤가 연쇄로 무너집니다. 미분계수 정의형 극한(lim (f(x)-f(a))/(x-a))을 조건반사로 처리할 수 있어야 합니다.
대비 학습 순서
- 극한의 활용 유형 집중 — 14·15·18·21번형. 항등식 처리, 도형 길이식, 연속 조건 결합까지 세 갈래 모두 연습
- 극한 조건에서 다항함수 복원 — 13·20번형. 최고차항 결정 → 인수 결정 순서를 몸에 익힐 것
- 연속 단원 전 유형 1회씩 — 사잇값 정리, (x-a)f(x) 꼴, 그래프와 연속까지 빠짐없이
- 그래프 개수 세기형 연습 — 16번형. |f(x)|와 수평선 교점 개수를 t 구간별로 세는 훈련
- 미분계수 정의형 극한 반복 — 19번 서술 대비. 치환형(11번)까지 포함
- 잠실고 2025학년 2학기 중간 기출 21문항 실전 — 하 5문항을 10분 내로 끊는 시간 배분 연습
잠실고 수학Ⅱ 기출 원문 받아보기
2025학년 잠실고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 받을 수 있습니다. 문항별 단원·유형·난이도가 정리된 분석 자료도 함께 확인할 수 있습니다.
📚 잠실고 전체 기출이 궁금하다면?
가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.
(송파구에서 수업하는 학원 강사·학원장이시라면 잠실권 학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)
네이버 태그 (복붙용)
#잠실고 #잠실고기출 #잠실고등학교 #수학2 #고2수학내신 #2학년2학기중간고사 #송파구고등학교 #함수의극한 #미분계수와도함수 #내신판