반포고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)
반포고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 출제 범위는 집합의 뜻과 표현 · 집합의 연산 · 명제 · 함수 · 유리식과 유리함수로, 무리함수 직전까지입니다. 서울 서초구에 있는 반포고는 문항 수가 25개로 많은 편이고, 반포고 1학년 2학기 기말 수학의 핵심은 함수 단원에 문항이 몰려 있다는 점입니다.
핵심 요약
- 25문항. 20~24번은 답을 직접 기입하는 서술형·주관식 구간
- 난이도: 하 4 / 중 11 / 중상 6 / 상 4 — 중 난이도가 11문항(44%)
- 배치 단원: 08 함수 10문항(40%) · 07 명제 5 · 집합의 뜻과 표현 3 · 집합의 연산 3 · 유리함수 3 · 누적 1
- 22번은 공통수학1 이차함수 단원에서 누적 출제된 상 난이도 문항(답 28)
- 상 4문항은 17·18·19·22번에 후반 집중
출제 범위와 단원별 문항 수
| 배치 단원 | 문항 수 | 해당 문항 |
|---|---|---|
| 08 함수 | 10 | 6, 10, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 25 |
| 07 명제 | 5 | 1, 4, 7, 17, 23 |
| 05 집합의 뜻과 표현 | 3 | 2, 3, 24 |
| 06 집합의 연산 | 3 | 8, 9, 15 |
| 09 유리식과 유리함수 | 3 | 5, 12, 19 |
| (누적) 이차방정식과 이차함수 | 1 | 22 |
함수 단원 하나가 25문항 중 10문항(40%) 을 차지합니다. 집합과 명제를 합쳐도 11문항이니, 함수 단원 한 곳이 나머지 전체와 맞먹는 셈입니다. 반포고 공통수학2 기말을 준비하면서 집합·명제 암기에 시간을 쏟고 함수를 뒤로 미루면 배점 구조상 손해가 큽니다.
유리함수는 3문항뿐이지만 그중 19번이 상 난이도라, 문항 수가 적다고 가볍게 볼 단원이 아닙니다.
빈출 유형 — 일대일대응과 합성·역함수
같은 유형이 두 번 나온 것은 두 가지입니다.
일대일대응이 되기 위한 조건(No.3337)이 13번·18번에 2회 출제됐습니다. 13번(중상)은 f(x)=(x-1)²-1의 축이 x=1임을 파악하고 정의역과 공역이 일치하도록 f(k)=k를 세워 k=3을 얻는 문제입니다. 18번(상)은 같은 코드지만 난이도가 완전히 다릅니다. g(22)=-4에서 f(-4)=22를 끌어내고, 접하는 조건의 판별식과 축의 위치 조건을 함께 걸어 b=-1, c=2를 확정한 뒤 f(1)=2를 구합니다. 똑같은 "일대일대응 조건"이라는 이름 아래 기본형과 최고난도형이 함께 나온 구조라, 이 유형은 반드시 심화까지 뚫어야 합니다.
합성함수와 역함수(No.3353)도 14번·25번에 2회 나왔습니다. 14번(중상)은 g⁻¹과 h⁻¹을 각각 구해 f∘g⁻¹∘h⁻¹을 (x+1)²/2+3으로 정리하고 최솟값 3을 찾는 문제, 25번(중상)은 f(-3)=f(5)에서 축이 x=1임을 잡고 f(x)=4와 f(x)=-2의 근의 합을 축 대칭으로 처리해 4를 얻는 문제입니다.
나머지 함수 문항은 합성함수의 함숫값(6번 하), 역함수 존재 조건(10번 중), 일대일함수와 일대일대응 구별(11번 중), 항등함수와 상수함수(16번 중), 역함수 구하기(20번 하, 암호표 대응 문제), fⁿ 꼴의 합성함수(21번 중상, 답 16)로 골고루 흩어져 있습니다. 함수 단원은 교과서 유형을 하나도 빼놓지 않고 훑어야 하는 구성입니다.
집합·명제 쪽은 기호 ∈, ⊂ 판정(2번), 서로 같은 집합(3번), 드모르간의 법칙(8번), 원소 개수의 최댓값·최솟값(9번 중상, 답 12), 포함배제 활용(15번), 명제와 조건 구별(1번), 역·대우의 참거짓(4번), '모든/어떤' 명제(7번)로 교과서 표준 유형이 그대로 나왔습니다.
주의할 문항 — 17·18·19·22번
17번(상) 은 충분조건·필요조건을 진리집합의 포함 관계로 바꾸는 문제입니다. ~p⊂q와 p⊂r 두 조건에서 구간 (-12,-1)⊂p⊂[-17,7]을 유도하고, 네 개의 부등식을 연립해 k=-1을 확정합니다. 진리집합을 정확히 그리지 않으면 부등호 방향에서 반드시 틀립니다.
19번(상) 은 유리식의 최대·최소를 판별식으로 처리하는 문제입니다. t=x/y>0으로 치환해 (3t²+t+12)/(t²+4)=k로 정리하고, (3-k)t²+t+(12-4k)=0의 판별식이 0 이상이라는 조건에서 11/4 ≤ k ≤ 13/4을 얻어 최댓값 13/4을 구합니다. 치환 후 판별식이라는 정형 루트를 알고 있느냐가 갈림길입니다.
22번(상, 답 28) 은 공통수학2 범위가 아니라 공통수학1의 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계에서 누적 출제된 문항입니다. 아래로 볼록한 f와 위로 볼록한 g에 대해 y=k와의 실근 개수를 따지고, 근의 배치를 12가지 경우로 분류한 뒤 조건을 만족하는 (k, m, M) 조합 28개를 세는 문제입니다. 기말이라고 2학기 범위만 보고 들어가면 이 한 문제를 통째로 버리게 됩니다.
서술형 구간
20~24번이 답을 직접 쓰는 구간입니다. 20번은 암호표의 대응·역대응 규칙으로 글자를 변환하는 하 난이도 문항이라 확보해야 하고, 23번은 √2+√3이 무리수임을 귀류법으로 증명하는 정형 서술입니다. √2+√3=r로 두고 제곱해 √2=(r²-1)/2r이 유리수가 되는 모순을 끌어내는 흐름을 답안 문장으로 쓸 수 있어야 합니다. 24번(중상, 답 56)은 명제의 부정을 A∩B≠∅으로 해석한 뒤 여사건으로 개수를 세는 문제입니다.
대비 학습 순서
- 함수 단원 전 유형 1회씩 — 합성, 역함수, 일대일대응, 항등·상수함수, fⁿ까지 빠짐없이
- 일대일대응 조건 심화 — 13·18번형. 축의 위치 조건과 판별식을 함께 거는 문제로 확장
- 진리집합 포함 관계 훈련 — 17번형. 충분·필요조건을 구간 포함으로 번역
- 유리식 최대·최소 판별식 루트 — 19번형 치환 후 이차방정식 판별식 처리
- 귀류법 증명 답안 쓰기 — 23번형. 문장으로 완성해보는 연습
- 공통수학1 이차함수 복습 — 22번 누적 대비. 그래프와 직선의 위치 관계, 근의 배치
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