광문고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)
광문고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위는 명제부터 무리식과 무리함수까지로, 집합 단원은 빠졌습니다. 서울 강동구에 있는 광문고의 광문고 1학년 2학기 기말 수학은 함수 단원 9문항(43%) 에 무게가 실려 있고, 상 난이도 4문항 중 3문항이 함수에서 나왔습니다.
핵심 요약
- 21문항. 15번과 17~21번은 답을 직접 쓰는 주관식·서술형
- 난이도: 하 3 / 중 7 / 중상 7 / 상 4
- 배치 단원: 08 함수 9문항(43%) · 07 명제 4 · 09 유리함수 4 · 10 무리함수 4
- 상 4문항은 12·13·17·18번. 이 중 셋이 함수 단원
- 유리함수의 그래프 활용이 18번·21번 2회 출제
출제 범위와 단원별 문항 수
| 배치 단원 | 문항 수 | 해당 문항 |
|---|---|---|
| 08 함수 | 9 | 4, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 19 |
| 07 명제 | 4 | 1, 2, 16, 20 |
| 09 유리식과 유리함수 | 4 | 5, 6, 18, 21 |
| 10 무리식과 무리함수 | 4 | 3, 7, 10, 14 |
범위가 명제부터이므로 집합의 뜻과 표현, 집합의 연산은 출제되지 않았습니다. 명제도 4문항에 그치고, 그중 1번(전칭명제의 부정)과 2번(충분조건에서 대우 판정)은 개념 확인 수준입니다. 점수는 함수 9문항에서 갈립니다.
난이도는 하 3, 중 7, 중상 7, 상 4입니다. 상 난이도가 4문항으로 적지 않고, 12·13번이 나란히 붙어 있어 시험 중반에 벽을 만나는 구조입니다.
함수 9문항 — 합성과 역함수의 모든 갈래
함수 단원은 같은 코드가 반복되지 않고 아홉 개 유형이 각각 한 번씩 나왔습니다. 바꿔 말하면 함수 단원에서 버릴 유형이 하나도 없다는 뜻입니다.
- 4번(중) — 그래프에서 f, g 값을 읽어 (f∘f)(0), (f∘g)(2), (g∘g)(3)의 합 4를 구하는 문제
- 8번(중) — 합성의 결합법칙을 이용해 f(2)=1에서 a=1을 얻는 문제
- 9번(중상) — 역함수 g=4x-15를 구하고 1≤x≤5 영역에서 4x-15≤y≤(x+15)/4를 만족하는 정수점을 x별로 세어 41개를 구하는 격자점 문제
- 11번(중상) — f∘f를 구간별로 나눠 개형을 그리고 축과 이루는 넓이 27/2를 구하는 문제
- 15번(하, 주관식) — 정의역이 6의 약수일 때 f=3x-1의 치역 {2,5,8,17}의 합 32
- 19번(중, 주관식) — f(3x+1)=9x-4에서 3x+1=t 치환으로 f(x)=3x-7을 얻어 f(5)와 f⁻¹(5)를 계산
주의할 문항 — 12·13·17·18번
12번(상) 은 fⁿ 꼴의 합성함수 문제입니다. 주어진 조건에서 g가 3→1→2→4→5→3의 5-순환임을 재구성한 뒤, f³⁷=f², g³⁹=g⁴로 지수를 주기로 축약해 답 6을 구합니다. 순환 구조를 먼저 복원하지 못하면 지수를 줄일 수 없습니다.
13번(상) 은 h=min(f,g)의 개형을 그려 두 곡선이 만드는 폭을 비교하는 문제입니다. 2(5-k) > 2√(k+7)에서 (k-2)(k-9)>0을 얻어 k<2, 정수 최댓값 1을 구합니다.
17번(상, 주관식) 은 함수의 개수를 여사건으로 세는 문제입니다. f(1)<f(2)<f(3) 조건을 만족하는 경우 20×6³=4320개에서 일대일대응 120개를 빼서 4200을 구합니다. "~가 아닌 경우"를 전체에서 빼는 발상이 핵심입니다.
18번(상, 주관식) 은 유리함수 그래프 위의 점 A(2,2k)를 잡고 거리 조건으로 직선 l의 기울기 m을 구한 뒤, 두 넓이의 비 S₂=3S₁에서 k/m=9라는 관계를 끌어내는 문제입니다. 답은 9.
유리·무리함수
유리함수 4문항 중 21번(중상, 주관식) 이 눈에 띕니다. 유리함수 그래프 위의 점 P(a,b)에 대해 둘레를 2{(a-1)+2/(a-1)+3} 꼴로 정리한 뒤 산술평균과 기하평균 관계로 최솟값 6+4√2를 구합니다. 유리함수와 AM-GM이 결합된 형태라 어느 한쪽만 알아서는 풀리지 않습니다.
6번(중상) 은 무리함수의 시작점으로 계수를 결정한 뒤 y=-x/(x-1)을 -1-1/(x-1)로 변형해 지나는 사분면을 판정하는 복합형입니다.
무리함수는 3번(정의역 x≥1, 치역 y≥2 — 하 난이도), 7번(중) 무리함수와 역함수의 교점이 y=x 위에 있음을 이용해 두 교점 사이 거리 2√2를 구하는 문제, 10번(중상) 구간별로 정의된 함수의 역함수 값, 14번(중상) f(x)=k의 근 개수를 분석해 α, β, γ를 역추론하고 f(17)=11을 구하는 문제로 구성됩니다.
명제 4문항
16번(중상) 이 명제 중 가장 어렵습니다. p→q에서 P⊂Q로 a≤-2를, q→r에서 이차부등식의 해집합 R을 해석해 a≥-5/2를 얻고, a의 최댓값과 최솟값의 곱 5를 구합니다.
20번(중, 서술형) 은 대우 'ab가 홀수이면 a²+b²은 짝수'를 세우고 a=2m-1, b=2n-1을 대입해 짝수임을 보이는 표준 증명입니다. 대우 명제를 정확히 서술하는 첫 줄에서 점수가 갈리므로, 문장으로 써보는 연습이 필요합니다.
대비 학습 순서
- 함수 단원 전 유형 훑기 — 합성값, 결합법칙, 역함수 그래프, 합성 그래프 개형, 함수의 개수까지 아홉 갈래
- fⁿ 주기 구조 복원 — 12번형. 순환을 그림으로 그려 주기를 찾는 훈련
- min·max 함수 개형 그리기 — 13번형. 두 곡선 중 작은 값을 따라가는 그래프
- 함수의 개수 여사건 — 17번형. 전체에서 조건 위반 경우를 빼는 계산
- 유리함수 + AM-GM 결합 — 21번형. 그래프 위의 점을 (a-1)+k/(a-1) 꼴로 변형
- 대우 증명 답안 작성 — 20번형. 대우 서술 → 대입 → 결론 세 문장 구조
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