대화고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

대화고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 평면좌표부터 집합까지입니다. 대화고 1학년 2학기 중간 공통수학2의 성격을 한마디로 요약하면 '원의 방정식 시험'입니다. 20문항 중 7문항이 원 단원에서 나왔고, 그중 5문항이 중상 난이도입니다.

핵심 요약

• 20문항, 난이도 하 3 / 중 6 / 중상 9 / 상 2
• 출제 단원: 03 원의 방정식(7) / 06 집합의 연산(4) / 02 직선의 방정식(3) / 01 평면좌표(2) / 05 집합의 뜻과 표현(2) / 04 도형의 이동(2)
• 상 2문항(16·20번)이 모두 '배수와 약수의 집합의 연산' 유형
• 19·20번은 답을 직접 쓰는 서답형
• 명제·함수는 이번 범위에서 제외

대화고 공통수학2 중간고사는 어떤 시험인가

대화고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 20문항으로, 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 구해 쓰는 서답형입니다.

대단원으로 나누면 I 도형의 방정식 14문항(70%), II 집합 6문항(30%) 입니다. 도형 쪽 비중이 확연히 크지만, 난이도 '상' 2문항은 둘 다 집합 단원에 배치돼 있다는 점이 이 시험의 반전 포인트입니다.

난이도 분포 — 중상 9문항, 상은 집합에 몰림

하 3문항(1·2·4번) 은 공식 한 줄로 끝납니다. 1번은 원소가 5개인 집합의 진부분집합 개수 2⁵-1=31, 2번은 두 점 사이의 거리 공식 대입, 4번은 30=22+15-n(A∩B)에서 n(A∩B)=7을 구하는 문항입니다.

문제는 중상 9문항입니다. 6번부터 19번 사이에 흩어져 있어서, 중반부터 끝까지 긴장을 놓을 구간이 없습니다. 상 2문항까지 더하면 11문항, 절반 이상이 중상 이상입니다.

출제 단원 — 원의 방정식 7문항이 전체의 35%

원의 방정식 7문항은 이 시험의 압도적 1순위입니다. 게다가 유형이 겹치지 않습니다. 지름의 양 끝 점(3번), 양 축에 동시 접함(6번), 원과 직선이 접할 때(11번), 원 위의 점과 직선 사이의 거리(13번), 현의 길이(14번), 원 밖의 점과 원 위의 점 사이의 거리(17번), 중심이 직선 위에 있는 원(18번)까지 원 단원의 대표 유형을 거의 전부 훑었습니다.

이 시험의 시그니처 — 상 2문항이 모두 '배수와 약수의 집합'

대화고 중간고사에서 가장 눈에 띄는 특징은 난이도 '상'인 16번과 20번이 같은 유형 코드라는 점입니다. 둘 다 배수와 약수를 소재로 한 집합 연산 문제입니다.

16번 — 36의 약수 쌍 구조 (상)

a와 36/a가 짝을 이루므로 A가 (1, 36) · (2, 18) · (3, 12) · (4, 9) 네 쌍과 6으로 구성된다는 구조 자체를 간파하는 것이 첫 관문입니다. n(A)=5가 홀수이므로 6이 반드시 포함되고 나머지가 두 쌍임을 도출한 뒤, 서로소 조건으로 (3, 12)와 (2, 18)을 배제해 A={1, 4, 6, 9, 36}을 확정합니다. 마지막으로 (A∪B)∩(A∩B)ᶜ가 대칭차집합임을 정리해 B={1, 2, 4, 6, 12}와 합 25를 얻습니다.

20번 — 24의 약수 집합에서 최댓값·최솟값 (상, 서답형)

U={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}와 원소 합 60을 먼저 확정합니다. Aᶜ∪B의 합과 A-B의 합을 각각 표현해 S=t+12를 도출하고, 24의 약수 중 약수가 4개인 k=6, k=8로 경우를 나눕니다. 각 경우에서 A∩B를 특정해 B-A의 합의 최댓값 44와 최솟값 3을 구합니다. 답을 직접 쓰는 서답형이라 부분점수 확보에도 신경 써야 합니다.

약수·배수를 집합으로 다루는 훈련이 곧 상 2문항 대비입니다. 이 두 문항을 놓치면 상위권 진입이 어렵습니다.

챙겨야 할 중상 9문항

원 계열 (6·13·14·17·18번)

• 6번 — 양 축에 동시 접하는 원 — 완전제곱으로 중심 (-k, 3)과 r²=k²+2k-6을 판독하고, |-k|=|3|=r에서 r=3, |k|=3을 얻습니다. k²+2k-15=0의 해 3과 -5 중 조건에 맞는 k=3을 골라야 합니다.
• 13번 — 원 위의 점과 직선 사이의 거리 — AB=3√10과 직선 3x-y-5=0을 구한 뒤, 원점과의 거리 √10/2에 반지름 5를 더해 높이의 최댓값을 잡습니다.
• 14번 — 현의 길이 — 반지름 3과 중심-직선 거리 3√3/2에서 현 AB=3을 구하고, 삼각형 OAB의 넓이와 활꼴 넓이까지 세 보기를 판정합니다. 부채꼴 넓이(중학교 내용) 가 함께 필요합니다.
• 17번 — 원 밖의 점과 원 위의 점 사이의 거리 — P(t, 3t-10)으로 두고 OP²=10(t-3)²+10에서 최소·최대를 구합니다. 원이 선분과 만날 조건을 중심과 선분 사이 거리로 환산하는 단계가 까다롭습니다.
• 18번 — 중심이 직선 위에 있는 원 — 중심을 (a, a-2)로 두고 y=x 대칭이동 결과가 x=my+n임을 도출합니다. 접선 조건의 분자에서 a가 소거된다는 것을 확인하는 게 계산량을 확 줄이는 열쇠입니다.

직선·평면좌표 계열 (12·19번)

• 12번 — 점과 직선 사이의 거리의 최댓값 — 점 P를 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 것은 OP에 수직인 직선이라는 성질에서 출발합니다. 이후 각의 이등분선의 성질로 AB를 1:2로 내분하는 점을 구합니다.
• 19번 — 점과 직선 사이의 거리 (서답형) — A(a, ma), B(15-a, 5-ma)로 표현하면 거리 계산에서 a가 소거되어 |15m-5|/√(m²+1)=5√2가 남습니다. 7m²-6m-1=0을 풀고 제4사분면 조건 m<0으로 -1/7을 고릅니다.

도형의 이동·집합 (10·15번)

• 10번 — 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 — 대칭축이 y축과 y=x로 서로 달라서 A'(-1, 6)과 B'(4, 2)를 각각 따로 판단해야 합니다. 공선 조건에서 최솟값 A'B'=√41을 얻습니다.
• 15번 — 포함 관계가 성립할 조건 — A∪X=A를 X⊂A로, B∩X=B를 B⊂X로 번역해 4∉X와 -2∈X를 도출합니다. -4<a≤-2에서 정수 -3, -2의 합 -5가 답입니다.

선수 내용 점검 포인트

선수 유형에서는 이차방정식의 풀이가 4회(6·15·18·19번) 로 압도적입니다. 원과 직선 문제를 세우고 나면 마무리가 대부분 이차방정식이라, 이 계산이 흔들리면 접근이 맞아도 답이 틀립니다. 약수와 배수(16·20번) 는 앞서 본 상 2문항에 직결되고, 14번에는 중학교 부채꼴의 넓이가 들어갑니다.

기말 대비 학습 순서 제안

1. 원의 방정식 전 유형 완주 — 7문항이 걸린 최다 단원입니다. 유형이 겹치지 않으므로 하나도 빠뜨리지 말고 정리하세요.
2. 약수·배수를 집합으로 다루는 훈련 — 상 2문항이 전부 이 유형입니다. 약수 쌍 구조, 서로소, 대칭차집합까지 묶어서 연습하세요.
3. 공통수학1 이차방정식 복습 — 판별식·근의 조건·해 선택까지. 4문항의 마무리 계산이 여기에 달렸습니다.
4. '소거되는 구조' 눈에 익히기 — 18번과 19번 모두 미지수가 저절로 사라지는 지점이 있습니다. 이걸 못 보면 계산량이 폭증합니다.
5. 명제·함수 선행 — 이번 중간 범위에서 빠졌으므로 기말 비중이 커질 수 있습니다.
6. 대화고 2025학년 중간 기출 실전 풀이 — 중상 이상이 11문항이므로 20문항 시간 배분 연습이 필수입니다.

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