운양고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

운양고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 운양고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출의 특징은 두 가지입니다. 하나는 하·중 난이도가 13문항(54%) 으로 기본기 확인 구간이 넓다는 점, 다른 하나는 롤의 정리와 평균값 정리가 실제로 출제됐다는 점입니다. 교과서에서 지나치기 쉬운 두 정리가 각각 11번과 16번에 자리 잡고 있습니다.

핵심 요약

• 24문항 (1~21번 객관식 / 22·23·24번 답을 직접 쓰는 형태)
• 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 8 / 상 3
• 단원별: 미분계수와 도함수 8 · 함수의 극한 6 · 함수의 연속 6 · 도함수의 활용(1) 4
• 상 3문항 = 16·21·24번 — 평균값 정리(그래프), 미분계수 극한 응용, 곡선 밖 점의 접선
• 롤의 정리(11번)·평균값 정리(16번)가 모두 출제 — 다른 학교 기출에서는 드문 조합
• 반복 출제: 미정계수의 결정 3회 · 미분계수를 이용한 극한값 계산 3회

운양고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가

운양고등학교는 경기도 김포시에 있는 학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 24문항으로, 1~21번은 다섯 개 선지 중 고르는 객관식이고 22·23·24번은 답을 값이나 식으로 직접 쓰는 형태입니다. 24번은 (1)·(2)로 나뉜 두 단짜리 문항입니다.

출제 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용(1)입니다. 도함수의 활용(1)에서 4문항이 나왔는데, 이 중 두 문항이 롤의 정리(11번)와 평균값 정리(16번) 입니다. 학교에 따라 이 두 정리를 가볍게 넘기고 접선에만 집중하는 곳도 있는데, 운양고는 정면으로 물었습니다.

2025학년 난이도 분포 — 기본 구간이 넓다

하 3 + 중 10 = 13문항(54%) 입니다. 개념과 공식을 정확히 익힌 학생이라면 절반 이상을 안정적으로 확보할 수 있는 구조입니다. 대신 중상 8문항 + 상 3문항 = 11문항이 등급을 가릅니다.

1·3·4번(하)은 그래프에서 좌우극한 읽기, 미분법 공식 1회 적용, 곱의 미분법 1회 적용으로 시작합니다. 워밍업이 확실히 배치된 시험지입니다.

단원별 출제 — 미분계수와 도함수가 최다 8문항

미분계수와 도함수 8문항이 최다입니다. 미분법 공식, 곱의 미분법, 평균변화율과 미분계수의 기하적 의미, 구간별 정의 함수의 미분가능성, 항등식이 주어질 때의 미분계수, 미분계수를 이용한 극한값 계산까지 이 단원의 거의 모든 유형이 한 번씩 등장합니다.

이 시험의 시그니처 — 롤의 정리와 평균값 정리

운양고 기출을 다른 김포 지역 학교와 구별 짓는 지점입니다.

11번 (중, 롤의 정리) — 구간 양 끝의 함숫값이 같음을 확인해 롤의 정리의 전제를 검증한 뒤, 도함수의 영점 중 열린구간 안에 있는 것만 골라 더합니다. 정리의 조건을 먼저 확인하는 습관이 그대로 점수가 되는 문항입니다.

16번 (상, 평균값 정리 — 그래프 이용) — 이 시험의 최고난도 중 하나입니다. 평균값 정리를 만족하는 c의 개수를 세는 함수 g(t)를 정의하고, 이를 "수평선과 도함수 그래프의 교점 개수"로 재해석해야 합니다. 정리를 외우는 수준으로는 접근이 안 되고, 평균변화율 = 접선의 기울기라는 기하적 의미를 그래프 위에서 다룰 줄 알아야 합니다.

9번(중상)도 같은 맥락입니다. 미분계수의 기하적 의미와 평균변화율의 기하적 의미를 그래프의 볼록성으로 판정하는 보기형 문항입니다. 운양고는 "계산"보다 "그래프 위에서의 의미"를 묻는 비중이 높습니다.

★ 빈출 유형 (2025학년 기출 기준)

1. 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (14·19·21번) — 3문항

14번 중상은 f(x³)-f(1)을 x³-1로 나누는 치환형, 19번 중상은 곱의 미분법과 결합, 21번 상은 극한을 두 조각으로 쪼개 f'(2a)를 뽑아낸 뒤 접선의 방정식과 다항함수 결정까지 이어집니다. 치환을 이용한 극한값 계산(14·19번) 이 반복되는 걸 보면, 분자·분모를 정의 꼴로 맞추는 변형 연습이 필수입니다.

2. 미정계수의 결정 (5·8·23번) — 3문항

5번 중은 연속 조건과 결합, 8번 중상은 무리식 0/0 꼴에서 분자도 0이어야 한다는 논증, 23번은 답을 직접 쓰는 문항으로 차수·계수 비교와 f(-1)=0에서 이차함수를 확정합니다. 세 난이도에 같은 도구가 걸쳐 있습니다.

3. 도함수의 활용(1) — 접선·정리 (6·11·16·24번) — 4문항

6번 중은 기울기가 주어진 접선의 방정식(기본형), 11번 중은 롤의 정리, 16번 상은 평균값 정리, 24번 상은 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수를 t의 이차방정식 실근 개수로 세는 문항입니다. 기본형부터 최상위까지 한 단원 안에서 계단식으로 배치돼 있습니다.

4. 함수의 연속 조건 (5·22번) + 연속함수의 성질 (10·15번) — 4문항

22번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 절댓값이 포함된 조각 정의 함수에서 두 경계의 한쪽 극한과 함숫값을 맞춰 a·b를 결정합니다. 10번 중은 합·상수배·곱은 연속이지만 몫과 평행이동은 아니라는 반례 판정, 15번 중은 각각 불연속인 두 함수라도 합은 연속일 수 있음을 좌우극한으로 검증하는 문항입니다.

5. 함수의 극한의 활용 (20번) — 도형 극한

20번 중상은 절댓값 그래프와 직선이 만드는 삼각형의 넓이 S(t)를 세워 극한을 구합니다. 유리함수의 점근선 지식까지 필요합니다.

상 3문항 정리

셋 중 둘이 도함수의 활용(1) 입니다. 4문항짜리 작은 단원에서 최고난도 두 개가 나온 셈이니, 진도가 늦게 끝났다고 해서 이 단원을 대충 넘기면 안 됩니다.

놓치기 쉬운 선수 학습 포인트

• 인수분해 공식 (5·8·11번), 여러 문자를 포함한 다항식의 인수분해 (17번) — 고1 다항식
• 이차방정식의 근의 판별 (24번) — 24번 상 문항의 핵심 도구
• 절댓값 그래프 (20·22번), 유리함수의 그래프의 점근선 (20번) — 고1 함수
• 두 점을 지나는 직선의 방정식 (9번) — 고1 도형의 방정식
• 연립방정식의 가감법 (12·17·21번) — 중학 과정이지만 세 문항에서 사용

특히 24번은 근의 판별식으로 접선의 개수를 세는 문제입니다. 고1 이차방정식이 흔들리면 문제 구조를 알아도 답이 안 나옵니다.

다음 시험 대비 학습 순서 제안

1. 미분법 공식·곱의 미분법 자동화 — 3·4번형. 워밍업 3문항은 무조건 확보
2. ★ 미분계수 정의 변형과 치환 — 14·19·21번형. f(x³) 같은 합성 인수가 들어와도 정의로 되돌리기
3. 미정계수의 결정 — 5·8·23번형. 분모가 0으로 수렴하면 분자도 0이라는 논증을 손에 붙이기
4. 롤의 정리 조건 확인 훈련 — 11번형. 양 끝 함숫값이 같은지 먼저 검증하는 습관
5. ★ 평균값 정리의 기하적 의미 — 16번형. 평균변화율을 수평선으로, f'을 그래프로 보고 교점 세기
6. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 24번형. 접점을 t로 놓고 이차방정식의 실근 개수로 접선 수 판정
7. 연속함수의 성질 반례 만들기 — 10·15번형. "항상 성립하는가"를 반례로 검증하는 연습
8. 운양고 2025학년 원문 24문항 실전 — 객관식 21문항 시간 배분과 서술 3문항 확보

자주 나오는 질문

2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

운양고는 2025학년 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지 출제했습니다. 같은 김포 지역이어도 도함수의 활용(2)까지 나간 학교가 있으니 본인 학교 공지 범위를 먼저 확인하세요.

롤의 정리와 평균값 정리는 꼭 봐야 하나요?

운양고 기출 기준으로는 반드시 봐야 합니다. 11번(롤의 정리)과 16번(평균값 정리)에서 각각 출제됐고, 16번은 이 시험의 상 난이도 3문항 중 하나입니다.

몇 문항까지 안정적으로 맞힐 수 있나요?

하 3문항 + 중 10문항이 13문항입니다. 개념과 기본 유형을 정확히 익히면 여기까지는 확보 가능합니다. 그다음 중상 8문항에서 얼마를 가져가느냐가 등급을 결정합니다.

과년도 운양고 기출은 어디서 보나요?

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