가좌고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

가좌고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항이었습니다. 가좌고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ의 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지로, 수학Ⅱ 교과서 I단원 전체와 II단원 대부분을 한 번에 묻습니다. 가좌고는 경기도 고양시에 있는 고등학교이며, 이 시험의 가장 큰 특징은 중상 10문항(48%) 이 시험 중반을 통째로 채우고 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항, 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용
• 난이도: 하 3 / 중 4 / 중상 10 / 상 4 — 중상 이상이 14문항(67%)
• 단원별: 01 함수의 극한 5 / 03 미분계수와 도함수 5 / 02 함수의 연속 4 / 04 도함수의 활용(1) 4 / 05 도함수의 활용(2) 2 / 06 도함수의 활용(3) 1
• 상 4문항은 16·19·20·21번에 몰림 — 마지막 6문항이 등급을 가름
• 선수 개념으로 이차식의 인수분해가 4문항(7·10·12·18번) 에 직접 사용

가좌고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

가좌고등학교는 경기도 고양시에 위치한 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항으로, 함수의 극한·연속(I단원)과 미분계수·도함수·도함수의 활용(II단원)을 함께 평가했습니다.

문항 배치가 난이도 순서대로 정렬돼 있는 점이 특징입니다. 1~3번이 하, 4~7번이 중, 8~15번과 17·18번이 중상, 16·19·20·21번이 상입니다. 앞 7문항에서 시간을 벌지 못하면 뒤 6문항을 손도 못 대고 끝나는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 10문항이 시험의 몸통

하·중을 합쳐 7문항(33%)뿐이라, 평균 점수가 낮게 형성되는 시험입니다. 중상 10문항을 얼마나 안정적으로 처리하느냐가 2~3등급을 가르고, 상 4문항(16·19·20·21번)이 1등급을 가릅니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수가 각각 5문항

I단원(극한·연속) 9문항 + II단원(미분) 12문항으로 미분 쪽에 무게가 실렸습니다. 그중에서도 03 미분계수와 도함수 5문항 가운데 3문항(19·20번 상, 8·17번 중상) 이 상위 난이도에 배치된 점이 눈에 띕니다. 미분계수의 정의를 "공식"으로만 외운 학생은 이 단원에서 크게 실점합니다.

빈출 유형 (2025학년 기출 기준)

1. 미분가능성과 연속성 — 2문항 (8·19번)

8번(중상) 은 그래프에서 첨점의 미분불가능 여부, 접선 기울기 부호, 평균변화율 대소를 한꺼번에 판정하는 종합 그림 문항입니다. 19번(상) 은 절댓값 함수가 미분가능하려면 사차식의 실근이 모두 중근이어야 한다는 조건을 세운 뒤, 판별식으로 계수 범위를 잡아 f(3)의 최댓값을 구하는 4단계 문항입니다. 미분가능성 조건을 "좌미분계수 = 우미분계수" 수준에서만 알고 있으면 19번은 손을 못 댑니다.

2. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 2문항 (7·18번)

7번(중) 은 점 A에서의 접선을 구하고 곡선과의 교점 방정식을 인수분해해 접점이 아닌 점 P를 찾은 뒤, P에서 다시 접선을 구하는 반복형입니다. 18번(중상) 은 원의 지름에 대한 원주각이 직각임을 이용해 접선의 기울기를 얻고, 그 접선과 곡선의 교점 B를 구해 직선의 y절편을 계산합니다. 수학(상) 원의 방정식과 결합된 형태라 도형의 방정식 복습이 필요합니다.

3. 평균값 정리·롤의 정리 — 2문항 (5·11번)

5번(중) 은 롤의 정리로 f'(c)=0인 c를 구해 상수 a를 결정하고, 11번(중상) 은 평균값 정리로 구한 c가 a와 같다는 조건에서 이차함수의 미정계수를 정합니다. 두 정리를 정의 그대로 식에 옮기는 연습만 돼 있으면 확보 가능한 문항입니다.

4. 함수의 연속 조건 — 4문항 (9·12·15·21번)

12번(중상) 은 (x-1)(x+2)f(x) 꼴 항등식에 x=1, x=-2를 대입해 상수를 정하고 연속 조건으로 f(x)를 확정하는 문항, 15번(중상) 은 분모가 0이 되지 않도록 두 이차식의 판별식 조건을 세워 자연수 n을 구하는 문항입니다. 9번(중상) 은 구간별로 정의된 f(x)와 f(x-1)의 곱이 불연속인 점의 개수를 세는 문항으로, 후보점 여섯 개를 모두 대조해야 합니다.

주의 문항 — 상 난이도 4문항

네 문항 모두 4단계 이상의 풀이 블록을 요구합니다. 특히 20번은 조건으로 주어진 극한을 미분계수 정의 꼴로 분해하고, 목표 극한의 분자에 4f(2)를 더하고 빼서 다시 미분계수 꼴로 만드는 "정의로 되돌리기" 기술이 핵심입니다. 21번은 점과 직선 사이의 거리·원의 방정식(수학(상))을 동원해야 하는 융합 문항이며, 선지를 고르는 게 아니라 값을 직접 구해 서술하는 형태였습니다.

선수 학습 — 수학(상)이 발목을 잡습니다

이 시험에서 이차식의 인수분해가 4문항(7·10·12·18번), 이차함수의 최대·최소가 3문항(11·13·14번), 이차방정식의 근의 판별이 2문항(15·19번) 에 직접 사용됐습니다. 여기에 직선의 방정식·원의 방정식(수학(상) 도형의 방정식) 이 7·18·21번에 등장합니다.

즉 수학Ⅱ 개념만 익혀서는 상위 문항을 풀 수 없습니다. 인수분해와 판별식, 원의 방정식을 함께 정비해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한 계산 5유형 정리 — ∞-∞ 유리화, 0/0 약분, 좌우극한 발산, 샌드위치 정리, 미정계수 결정
2. 미분계수의 정의로 되돌리는 훈련 — 20번형, 극한식을 f'(a) 꼴로 분해하기
3. 미분가능성 조건 심화 — 절댓값·구간별 정의 함수, 중근 조건(19번형)
4. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 7·18번형, 교점 방정식 인수분해 패턴
5. 연속 조건 4유형 — 항등식형(12번), 판별식형(15번), 곱의 불연속 개수(9번), 개수 함수의 조각정의(21번)
6. 수학(상) 인수분해·판별식·원의 방정식 복습 — 상위 문항의 실제 병목

자주 나오는 질문

가좌고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

2025학년 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용까지였습니다. 교점의 개수(방정식의 실근 개수) 문항도 1문항 포함됐습니다. 진도는 해마다 달라질 수 있으니 학교 공지 범위를 반드시 확인하세요.

몇 문항이었나요?

21문항입니다. 마지막 21번은 값을 직접 구해 답하는 형태였습니다.

어느 문항이 가장 어려웠나요?

상 난이도는 16·19·20·21번 네 문항입니다. 이 중 19·20번이 03 미분계수와 도함수 단원에서 나왔고, 21번은 수학(상) 도형의 방정식과 결합된 융합 문항이었습니다.

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