능곡고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
능곡고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항이었습니다. 능곡고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ의 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지입니다. 능곡고는 경기도 고양시에 있는 고등학교이며, 이 시험의 가장 두드러진 특징은 상 난이도가 7문항(33%) 으로 매우 두껍다는 점입니다. 같은 고양시 학교 기출과 비교해도 상위 난이도 비중이 눈에 띄게 높습니다.
핵심 요약
- 21문항 — 객관식 1~19번, 서술형 20·21번
- 난이도: 하 4 / 중 5 / 중상 5 / 상 7 — 상 비중 33%
- 단원별: 03 미분계수와 도함수 7 / 01 함수의 극한 6 / 02 함수의 연속 6 / 04 도함수의 활용(1) 1 / 05 도함수의 활용(2) 1
- 상 7문항은 12·13·14·15·16·18·19번 — 시험 중후반이 통째로 고난도 구간
- 12·13번은 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기 판정형, 16·19번은 연속 조건으로 함수를 완전히 결정하는 복합형
능곡고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
능곡고등학교는 경기도 고양시에 위치한 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항으로, 함수의 극한·함수의 연속(I단원)과 미분계수·도함수·도함수의 활용(II단원)을 평가했습니다.
문항 배치를 보면 1~7번은 기본 개념 확인, 8~11번은 중상, 12~19번은 상 위주, 20·21번은 서술형이라는 흐름입니다. 특히 12번부터 19번까지 여덟 문항 중 일곱 문항이 상이라, 시험 중반에 진입하는 순간 난이도가 급격히 뛰어오릅니다. 시간 배분에 실패하면 뒤쪽 서술형 두 문항(비교적 평이함)까지 놓치게 되는 구조입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 7문항, 고양시 학교 중 최상위권 난도
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 4 | 19% |
| 중 | 5 | 24% |
| 중상 | 5 | 24% |
| 상 | 7 | 33% |
하 4문항(1·2·3·4번)은 극한값 대입, 구간 기호 표기, 그래프에서 좌우극한 읽기, 한 점에서의 연속 조건처럼 교과서 예제 수준입니다. 여기까지는 누구나 맞습니다. 승부는 상 7문항에서 갈립니다. 이 시험에서 1등급을 받으려면 상 7문항 중 최소 4~5문항을 잡아야 합니다.
출제 단원 — 극한·연속·미분계수에 19문항 집중
| 중단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 7 | 5·6·10·13·18·20·21번 |
| 01 함수의 극한 | 6 | 1·3·8·9·14·15번 |
| 02 함수의 연속 | 6 | 2·4·7·12·16·19번 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 17번 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 11번 |
앞 세 단원에 19문항(90%) 이 몰려 있습니다. 도함수의 활용은 접선 1문항(17번), 최대·최소의 활용 1문항(11번)뿐입니다. 다만 11번은 넓이의 최댓값을 구하는 "최대·최소의 활용" 유형으로, 학교 진도가 도함수의 활용(1)보다 뒤 단원까지 나갔음을 보여줍니다. 시험 범위 공지만 믿고 최대·최소를 건너뛴 학생은 이 문항을 그대로 날립니다.
빈출 유형 (2025학년 기출 기준)
1. 함수가 연속일 조건 (응용) — 2문항 (16·19번, 모두 상)
이 시험의 최고 난도 축입니다. 16번은 f(x)g(x)=x²-1이고 g가 실수 전체에서 연속이라는 조건에서, x=1 대입으로 f(1)=0을 얻어 f를 인수분해하고, 연속 조건으로 나머지 계수를 정한 뒤, 분모가 실근을 갖지 않을 판별식 조건으로 정수 b의 범위를 좁혀 g(2)의 최솟값을 구합니다.
19번은 두 분수함수의 불연속점 개수와 극한 존재 조건으로 이차함수 f를 완전히 결정하는 문항입니다. x²+9의 치역이 9 이상임을 이용해 f(9)=0을 도출하는 것이 첫 관문입니다.
두 문항 모두 "조건 하나 → 계수 하나" 를 네 번 반복해야 답이 나옵니다. 중간에 한 단계만 놓쳐도 끝까지 못 갑니다.
2. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 2문항 (10·13번)
10번(중상) 은 x=1을 경계로 나뉜 h(x)가 미분가능할 조건에서 f(1)=0, f'(1)=0을 도출해 f가 x=1을 중근으로 갖는 이차함수임을 확정하고 f(3)=4를 구합니다. 표준 절차만 알면 확보 가능한 문항입니다.
13번(상) 은 절댓값 이차함수 그래프와 직선의 교점 개수를 k 구간별로 세어 f(k)를 구간별 함수로 구성한 뒤, 불연속점 개수·상수구간에서의 미분가능성·kf(k)의 좌우미분계수를 각각 판정하는 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기형입니다. 4단계 문항으로, 이 시험에서 가장 시간을 많이 잡아먹습니다.
3. 도형과 결합된 극한·최대최소 — 2문항 (11·15번)
11번(중상) 은 곡선 위의 점 P를 t로 매개화하고 사각형을 대각선으로 두 삼각형으로 나눠 넓이 S(t)를 이차식으로 만든 뒤, S'(t)=0에서 최댓값 16을 구합니다.
15번(상) 은 곡선과 직선의 교점 A를 구하고 AP²·PB²을 t로 표현한 뒤, 피타고라스 정리로 AB²을 구해 비의 극한을 계산합니다. 점과 직선 사이의 거리(수학(상)) 와 피타고라스 정리(중3) 가 함께 쓰인 융합 문항입니다.
4. 미분계수 정의로 극한 되돌리기 — 2문항 (5·18번)
5번(중) 은 lim(f(1+h)-f(1))/h를 f'(1)로 인식하는 기본형입니다. 18번(상) 은 평균변화율이 0이라는 조건에서 이차함수의 축을 먼저 찾고, 주어진 극한의 분자를 N(x)로 놓아 미분계수 정의로 변형한 뒤 계수를 결정하는 4단계 문항입니다.
서술형 20·21번 — 여기는 반드시 잡아야 합니다
| 번호 | 난이도 | 유형 | 답 |
|---|---|---|---|
| 20 | 중 | 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용 | a=-7, b=13 |
| 21 | 중상 | 곱의 미분법 + 접선의 방정식 | y=15x-11 |
20번은 f(x)=(x-1)²Q(x)+4x+3 나눗셈 등식을 세우고 x=1 대입, 양변 미분 후 x=1 대입이라는 2단계로 끝납니다. 21번은 주어진 접선 y=3x+1에서 f(1)=4, f'(1)=3을 읽어낸 뒤 곱의 미분법으로 g'(1)=15를 구해 접선을 세웁니다.
서술형 두 문항이 중·중상 난이도라는 점이 중요합니다. 앞의 상 7문항에서 시간을 다 쓰고 서술형을 백지로 내면 손해가 큽니다. 시험 시작하자마자 20·21번을 먼저 푸는 전략도 고려할 만합니다.
선수 학습 — 수학(상)과 중3 도형까지
이 시험에서 이차방정식의 근의 판별이 2문항(16·19번) 에 쓰였고, 이차식으로 나누었을 때의 나머지(20번), 근과 계수의 관계(17번), 이차함수의 그래프와 직선의 교점(13번), 이차식의 인수분해(8번)가 각각 등장했습니다. 도형 쪽으로는 삼각형의 넓이(11번), 점과 직선 사이의 거리(15번), 두 직선의 수직 조건(17번), 절댓값 그래프(13번), 그리고 중3 피타고라스 정리(15번) 까지 동원됐습니다.
상 7문항 중 다수가 수학(상) 개념에 걸려 있으므로, 수학Ⅱ만 파고드는 대비는 통하지 않습니다.
다음 시험 대비 학습 순서
- 기본 4문항 무실점 확보 — 극한 대입, 구간 기호, 그래프 좌우극한, 한 점 연속 조건
- 서술형 2문항 우선 완성 — 나눗셈 등식+미분(20번형), 곱의 미분법+접선(21번형)
- ★ 함수가 연속일 조건 응용 집중 — 16·19번형, 조건 하나씩 계수 결정하는 4단계 훈련
- 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 10번(기본) → 13번(교점 개수 함수)으로 확장
- ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기 판정형 연습 — 12·13번형, 반례 구성 훈련
- 도형 결합 문항 — 11번(넓이 최댓값), 15번(거리·피타고라스 극한)
- 수학(상) 판별식·인수분해·직선의 방정식 복습 — 상 문항의 실제 병목
자주 나오는 질문
능곡고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
2025학년 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용까지였습니다. 다만 최대·최소의 활용(넓이) 문항이 1문항(11번) 포함돼 있어, 공지된 범위보다 진도가 조금 더 나간 것으로 보입니다. 진도는 해마다 달라지므로 학교 공지를 반드시 확인하세요.
문항 구성이 어떻게 되나요?
총 21문항으로, 객관식 19문항(1~19번)과 서술형 2문항(20·21번)입니다.
난이도가 어느 정도인가요?
상 난이도가 7문항(33%) 으로 상당히 높습니다. 12~19번 구간이 사실상 고난도 블록이며, 이 구간에서 등급이 갈립니다.
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