대화고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 학년)
대화고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025 학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(2)까지로, 수학Ⅱ의 I단원 전체와 II단원 대부분을 한 번에 평가합니다. 대화고 2-2 중간 수학2의 특징은 상 난이도 5문항(25%)이 16~20번에 통째로 몰려 있다는 점입니다. 앞 15문항을 다 맞혀도 뒤 5문항에서 갈리는, 전형적인 상위권 변별형 시험입니다.
핵심 요약
- 20문항, 난이도 하 2 / 중 6 / 중상 7 / 상 5
- 상 5문항이 16~20번에 연속 배치 — 1등급 컷은 여기서 결정
- 출제 단원: 01 함수의 극한 6 · 02 함수의 연속 4 · 03 미분계수와 도함수 4 · 04 도함수의 활용(1) 3 · 05 도함수의 활용(2) 2 · 06 도함수의 활용(3) 1
- 빈출 코드: 함수가 연속일 조건 계열 4회 · 0/0 꼴 유리식 극한 2회 · 미정계수의 결정 2회
- 선수 개념 "절댓값 그래프"가 상 문항 3개(16·18·19번)에 모두 관여
- 20번은 답이 여러 값으로 나오는 주관식형 (삼차함수 극값 조건)
대화고 수학Ⅱ 2-2 중간은 어떤 시험인가
대화고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용을 한꺼번에 다루는 시험으로, 수학Ⅱ 과목 자체의 뼈대가 전부 들어갑니다.
2025 학년 대화고 중간고사는 총 20문항이고, 그중 19문항이 선택형, 20번만 답을 직접 쓰는 형태입니다. 20번은 삼차함수의 극값 조건을 정수 매개변수 문제에 적용하는 문항으로, 조건을 만족하는 값이 여러 개 나오는 구조입니다. 하나만 빠뜨려도 감점되는 유형이라, 경우를 빠짐없이 나누는 훈련이 필요합니다.
난이도 분포 — 상 5문항이 후반부에 집중
| 난이도 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 하 | 2 | 1, 2 |
| 중 | 6 | 3, 4, 5, 6, 7, 10 |
| 중상 | 7 | 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15 |
| 상 | 5 | 16, 17, 18, 19, 20 |
구조가 아주 깔끔합니다. 1~2번 하 → 3~10번 중 → 8~15번 중상 → 16~20번 상으로, 번호 순서가 곧 난이도 순서입니다. 이런 시험은 앞에서 시간을 아껴 뒤 5문항에 몰아주는 전략이 그대로 통합니다. 반대로 앞에서 계산 실수로 시간을 흘리면 상 5문항을 아예 못 보고 끝납니다.
상 5문항이 25% 라는 비중은 결코 작지 않습니다. 중상까지 12문항을 다 맞혀도 상 5문항을 놓치면 75점 수준입니다.
출제 단원 — 함수의 극한 6문항이 최대
| 중단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 6 | 30% |
| 02 함수의 연속 | 4 | 20% |
| 03 미분계수와 도함수 | 4 | 20% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 15% |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 10% |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 5% |
I단원(극한·연속) 10문항 = 50%, II단원(미분법) 10문항 = 50% 로 정확히 반씩입니다. 다만 도함수의 활용은 (1)·(2)·(3)을 합쳐도 6문항(30%)에 그치고, 극한과 연속에 절반이 배정됐습니다. 미분 계산만 연습한 학생은 이 시험에서 절반을 잃습니다.
상 5문항 뜯어보기 (16~20번)
| 번호 | 핵심 유형 | 결합 개념 |
|---|---|---|
| 16 | 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 | 함수의 극대·극소, 절댓값 그래프 |
| 17 | 함수의 극한값의 존재 | 다항함수의 결정, 인수정리 |
| 18 | 개수 세기형 계단함수의 극한 | 절댓값 그래프, 제한 범위 이차함수의 최대·최소 |
| 19 | 함수가 연속일 조건 (응용) | 연속함수의 성질, 절댓값 그래프 |
| 20 | 함수의 극대·극소의 활용 | 함수의 증가와 감소, 일차부등식 |
가장 중요한 발견은 16·18·19번 세 문항 모두에 절댓값 그래프가 걸려 있다는 점입니다. 수학Ⅱ 진도만 나간 학생은 절댓값 기호가 붙은 순간 그래프 개형을 못 그려서 세 문항을 통째로 포기하게 됩니다. 상 5문항 중 3문항의 관문이 절댓값 그래프라는 사실은 대비 우선순위를 바꿔야 할 정도로 중요합니다.
17번은 극한값이 존재할 조건에서 다항함수를 결정하는 문항으로 인수정리가 함께 필요하고, 18번은 정수해의 개수로 정의된 계단함수의 극한을 다루는 특이 유형입니다. 20번은 삼차함수의 극값 조건에서 정수 매개변수를 모두 찾는 문항으로, 답이 여러 개입니다.
빈출 유형 (2025 기출 기준)
1. 함수가 연속일 조건 계열 — 4회 (6·12·15·19번)
기본형(6·12번)과 응용형(15·19번)을 합쳐 가장 많이 반복된 코드입니다. 6번은 경계점에서 좌우 값을 맞추는 기본형, 12번은 조각함수의 미분가능 조건과 결합된 중상 문항, 15번과 19번은 곱함수가 실수 전체에서 연속이 되도록 미정수를 결정하는 응용형입니다. 특히 19번은 상 난이도로, 연속함수의 성질과 절댓값 그래프가 함께 걸립니다.
2. 0/0 꼴 극한 — 유리식 2회(6·7번) + 무리식 1회(13번)
7번은 인수분해와 약분으로 처리하는 표준형에 ∞-∞ 꼴이 결합됐고, 13번은 근호를 포함한 극한의 유리화 유형(중상)으로 미정계수 결정이 함께 필요합니다. 인수분해 공식이 6·7번에 그대로 선수 개념으로 들어갑니다.
3. 접선의 방정식 — 3종 (4·8번)
4번은 기울기가 주어진 접선(중), 8번은 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선(중상)입니다. 8번은 접점을 미지수로 두고 이차식을 인수분해하는 과정이 필요해, 접선 유형 중에서도 계산량이 큽니다.
4. 미분계수의 의미 — 9·14번 (중상)
9번은 항등식이 주어질 때 도함수를 구하는 문항으로 도함수의 정의를 함께 씁니다. 14번은 미분계수의 기하적 의미와 평균변화율의 기하적 의미를 동시에 묻는 그래프 판독형입니다. 공식 암기로는 안 되고, 그래프에서 기울기를 읽는 감각이 필요합니다.
5. 극대·극소와 미정계수 — 11·16·20번
11번은 극대·극소 조건으로 미정계수를 정하는 중상 문항(연립방정식 가감법이 선수 개념), 16번과 20번은 상 난이도입니다. 도함수의 활용은 문항 수는 적지만 상 난이도에 집중 배치되어 있습니다.
학생·학부모가 체크할 포인트
- 절댓값 그래프가 상 3문항의 공통 관문 — 수학Ⅱ 진도 밖이지만 반드시 잡고 가야 합니다.
- 번호 순서 = 난이도 순서 — 앞 15문항을 빠르게 처리해 뒤 5문항에 시간을 몰아주는 전략이 유효합니다.
- 극한·연속이 절반(10문항) — 미분 계산만 연습하면 절반을 잃습니다.
- 20번은 답이 여러 개 — 경우를 빠짐없이 나누는 습관이 필요합니다.
- 인수분해·인수정리 — 6·7·17번에 선수 개념으로 걸려 있습니다.
다음 시험 대비 학습 순서
- 절댓값이 포함된 함수의 그래프 개형 — 16·18·19번의 공통 관문, 최우선입니다.
- 함수가 연속일 조건 4종 — 6·12·15·19번형, 기본형에서 곱함수 응용까지
- 0/0 꼴 극한(유리식·무리식) — 7·13번형, 인수분해와 유리화
- 극한값의 존재 조건과 다항함수 결정 — 17번형, 인수정리 활용
- 접선의 방정식 3종 — 4·8번형, 특히 곡선 밖의 점에서 그은 접선
- 미분계수·평균변화율의 기하적 의미 — 14번형, 그래프 판독 훈련
- 삼차함수의 극값 조건과 실근 개수 — 16·20번형, 경우 나누기 연습
- 대화고 2025 수학Ⅱ 중간 기출 20문항 실전 풀이 — 앞 15문항 시간 단축 훈련
자주 나오는 질문
대화고 2-2 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
함수의 극한부터 도함수의 활용(2)까지입니다. 2025 학년 기출에서는 도함수의 활용(3) 단원에서도 16번 한 문항(방정식의 실근 개수)이 출제됐습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
2025 학년 기출 기준 20번 한 문항만 답을 직접 쓰는 형태이고, 나머지 19문항은 선택형입니다. 20번은 조건을 만족하는 값이 여러 개 나오므로 하나라도 빠뜨리면 감점됩니다.
1등급을 받으려면 어디를 잡아야 하나요?
16~20번 상 5문항입니다. 그중 16·18·19번은 절댓값 그래프가 공통 관문이므로, 이 하나를 잡으면 세 문항이 동시에 열립니다. 17번은 인수정리, 20번은 삼차함수 극값의 경우 나누기가 관건입니다.
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