도래울고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

도래울고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용(1) 로, 극한·연속·미분계수·접선까지 수학Ⅱ 전반부를 통째로 묻습니다. 도래울고는 경기도 고양시에 있는 고등학교이고, 도래울고 2학년 2학기 중간은 선택형 20문항과 서술형 2문항(21·22번) 구조입니다. 미분의 활용(극대·극소, 그래프)까지는 나가지 않고 접선의 방정식·평균값 정리에서 끊었습니다.

핵심 요약

• 22문항, 선택형 20 + 서술형 2(21·22번)
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 8 / 상 6 — 상 6문항(27%)
• 단원별: 미분계수와 도함수 8 / 함수의 극한 5 / 함수의 연속 5 / 도함수의 활용(1) 4
• 상 난이도 배치: 12·15·16·19·20·22번
• "미분계수를 이용한 극한값의 계산"이 3회 반복(11·17·19번)

어디까지 나오나 — 단원별 문항 수

미분계수와 도함수가 8문항(36%) 으로 단독 최다입니다. 극한과 연속이 각각 5문항, 접선을 다루는 도함수의 활용(1)이 4문항입니다. 즉 도래울고 중간은 "극한을 도구로 쓰는 미분계수 계산"이 시험의 중심입니다. 극한 단원을 따로 떼어 어렵게 내기보다, 극한 조작을 미분계수 정의로 되돌리는 능력을 반복해서 확인합니다.

난이도 분포 — 중상 8, 상 6

하 난이도는 1·3번 두 문항입니다. 상 6문항(12·15·16·19·20·22번)은 12번 이후에만 나타나므로, 11번까지를 얼마나 빠르고 정확히 끝내느냐가 후반 시간 확보의 관건입니다. 중상 이상이 14문항(63%)이라 전체적으로 만만치 않은 난이도입니다.

빈출 유형

1. 미분계수를 이용한 극한값의 계산 (11·17·19번) — 3회 반복

도래울고 중간의 시그니처 유형입니다. 11번은 구하는 극한을 (f(x)-f(2))/(x-2) × 1/(x²+2x+4) 꼴로 바꿔 처리하고, 17번은 (f(x-1)-f(1))/((x-1)-1) × 1/(x+2) 꼴로 변형해 f'(1)/4로 계산합니다. 19번(상)은 두 극한을 각각 (f(x)-f(a))/(x-a) 꼴로 분해해 f'(0)과 f'(2)로 바꿉니다. 같은 조작이 난이도만 올려가며 세 번 나왔습니다.

2. 함수가 연속일 조건 (3·10·12·13번)

3번은 연속의 정의(정의됨·극한 존재·값 일치)를 선지별로 판정하는 기본형입니다. 10번은 닫힌구간에서 최대·최소 정리로 M-m을 구하고, 12번(상)은 두 조각함수의 곱 f(x)f(x-a)가 x=a에서 연속일 조건을 a의 경우로 나눠 따집니다. 13번은 그래프에서 조각식을 읽어 (x-a)f(x) 꼴의 연속을 판정합니다.

3. 접선의 방정식과 기울기 (4·8·14번)

4번은 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기를 미분계수로 구하는 기본형, 8번은 접선이 곡선과 접점 이외의 점에서 다시 만나는 좌표를 구합니다. 14번은 접선의 기울기 -6t²-24t의 최댓값을 주는 접점을 찾는 유형으로, 기울기 자체를 이차함수로 보고 최댓값을 잡아야 합니다.

4. 평균값 정리·롤의 정리 (6번)과 사잇값 정리 (7번)

6번은 f(-2)=f(6)을 확인하고 f'(a)=0인 a를 찾는 롤의 정리 적용, 7번은 사잇값 정리로 (0,1)·(1,2)·(2,3) 각 구간의 실근 존재를 따져 서로 다른 세 실근 조건을 만드는 문항입니다.

5. 항등식에서 미분법의 활용 (15·22번)

15번(상)은 f(x)f'(x)-f(x)-xf'(x)=2x³-3x라는 항등식에 미분법을 적용해 계수를 비교합니다. 22번(서술형)은 f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y-4) 형태의 함수방정식에 도함수의 정의를 직접 적용해 f'(x)를 구합니다. 두 문항 모두 "식을 대입해 정리"만으로는 풀리지 않고, 어디에 미분을 걸지 스스로 정해야 합니다.

주의해야 할 상 난이도 문항

• 12번 — 조각함수의 곱이 특정 점에서 연속일 조건. a의 값에 따라 경우가 갈립니다.
• 15번 — 항등식에 미분법을 적용해 다항함수를 결정합니다. 차수 비교부터 시작하세요.
• 16번 — 도형의 넓이 S(t)를 t로 표현한 뒤 t→∞ 극한을 구합니다. 식을 세우는 단계에서 갈립니다.
• 19번 — 두 극한을 서로 다른 점의 미분계수로 분해해야 합니다.
• 20번 — 도함수 f'(x)=2a(x-2)에 부등식 조건을 걸어 미정계수 a의 범위와 최댓값을 정합니다.
• 22번 — 서술형. 도함수의 정의를 직접 전개하는 과정을 써야 합니다.

서술형 2문항

21번은 분모가 0으로 갈 때 분자도 0이어야 한다는 조건을 두 번 적용해 미정계수 a, b를 결정하는 문항입니다(f(1)=6). 22번은 함수방정식에 도함수의 정의를 적용하는 문항으로, 정의식을 세우는 첫 줄에서 점수가 갈립니다. 도래울고 수학Ⅱ 서술형은 "정의를 그대로 쓰는 능력" 을 묻는 쪽에 가깝습니다.

도래울고 2-2 중간 대비 학습 순서

1. 미분계수의 정의 두 형태(lim(f(a+h)-f(a))/h, lim(f(x)-f(a))/(x-a))를 양방향으로 변형하는 훈련. 8문항이 걸린 단원의 핵심입니다.
2. 주어진 극한을 미분계수 꼴로 쪼개는 연습 — 11·17·19번이 모두 이 조작입니다.
3. 함수가 연속일 조건을 조각함수의 곱까지 확장해 풉니다(12번형).
4. 접선의 방정식 3종(접점이 주어진 경우, 다시 만나는 점, 기울기의 최대·최소)을 정리합니다.
5. 평균값 정리·롤의 정리·사잇값 정리는 가정 확인 → 결론 적용 순서를 문장으로 씁니다.
6. 항등식에 미분법을 거는 유형(15·22번형)을 별도로 모아 풉니다.

자주 나오는 질문

도래울고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

2025학년 원문 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 접선의 방정식과 평균값 정리까지 포함되고, 극대·극소와 그래프 개형(도함수의 활용 2)은 범위 밖입니다. 같은 고2 2학기 중간이어도 학교마다 도함수의 활용(2)까지 나가는 곳이 있으니 본인 학교 범위를 확인하세요.

가장 많이 나온 단원은요?

미분계수와 도함수 8문항입니다. 여기에 도함수의 활용(1) 4문항을 더하면 미분 계열이 12문항으로 절반을 넘습니다.

서술형은 몇 문항인가요?

21·22번 2문항입니다. 21번은 극한의 미정계수 결정, 22번은 도함수의 정의를 이용한 함수방정식 문항입니다.

도래울고 기출 원문 받아보기

2025학년 도래울고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 확인할 수 있습니다.

📚 이 학교 전체 기출이 궁금하다면?

👉 내신판에서 도래울고등학교 기출 전체 보기

가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.

(고양·일산권 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)

네이버 태그 (복붙용)

#도래울고 #도래울고기출 #도래울고등학교 #수학2 #고2수학내신 #2학년2학기중간고사 #고양시고등학교 #함수의극한 #미분계수와도함수 #내신판