무원고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
무원고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용(1) 로, 극한·연속·미분계수·접선까지 수학Ⅱ 전반부입니다. 무원고 2학년 2학기 중간의 특징은 문항 수가 20개로 비교적 적은 대신, 선택형 17문항과 서술형 3문항(18·19·20번)에 난이도가 고르게 얹혀 있다는 점입니다. 무원고는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다.
핵심 요약
- 20문항, 선택형 17 + 서술형 3(18·19·20번)
- 난이도: 하 2 / 중 5 / 중상 7 / 상 6 — 상 6문항(30%)
- 단원별: 함수의 극한 7 · 미분계수와 도함수 7 / 함수의 연속 3 / 도함수의 활용(1) 3
- 상 난이도 배치: 10·14·15·16·17·20번 — 후반부 집중
- 극한 조건으로 다항함수를 확정하는 유형이 2회(7·16번)
어디까지 나오나 — 단원별 문항 수
| 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 7 | 1·4·6·7·8·14·16 |
| 03 미분계수와 도함수 | 7 | 2·3·5·10·13·18·19 |
| 02 함수의 연속 | 3 | 12·17·20 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 9·11·15 |
함수의 극한 7문항 + 미분계수와 도함수 7문항 = 14문항(70%) 입니다. 함수의 연속과 접선은 각각 3문항으로 상대적으로 가볍습니다. 다만 연속 3문항 중 17·20번이 모두 상 난이도라, 문항 수만 보고 연속 단원을 가볍게 넘기면 큰 점수를 잃습니다.
난이도 분포 — 상이 30%
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 2 | 10% |
| 중 | 5 | 25% |
| 중상 | 7 | 35% |
| 상 | 6 | 30% |
하 난이도는 1·2번뿐이고, 상 6문항 중 10·14·15·16·17번이 연속으로 이어지는 구간이 있습니다. 10번 이후 여덟 문항 중 다섯이 상이라는 뜻이라, 전반부를 빠르게 정리하지 못하면 후반에서 무너집니다. 전체 20문항 중 상이 30%는 수학Ⅱ 중간으로는 높은 편입니다.
빈출 유형
1. 다항함수의 결정 (7·16번)
7번은 두 극한 조건으로 f(x)=(x-1)²(x+4)를 확정합니다. 16번(상)은 최고차항의 계수가 1인 두 다항함수 f, g를 곱의 인수분해와 차수 논증으로 동시에 확정하는 문항입니다. 극한 조건을 "차수 조건 + 인수 조건"으로 번역하는 훈련이 필요합니다.
2. 0/0 꼴 극한의 처리 (6·14·16번)
6번은 분자에 무리식이 있는 0/0 꼴을 유리화로 약분합니다. 14번(상)은 √(x+9)-3을 유리화한 뒤 절댓값이 포함된 좌·우극한을 따로 구합니다. 유리화까지는 익숙해도 절댓값 때문에 좌우가 갈린다는 점을 놓치기 쉽습니다.
3. 미분가능성 판정 (5·13번)
5번은 구간에 따라 다르게 정의된 f가 x=-1에서 미분가능할 조건으로 a, b를 정합니다. 13번은 lim(f(a+h)-f(a-h))/(2h)를 두 개의 미분계수 꼴로 쪼개 f'(a)로 바꾸는 변형입니다. 분자를 f(a)를 기준으로 더하고 빼서 나누는 조작이 핵심입니다.
4. 다항식의 나눗셈에 미분법 걸기 (10번)
10번(상)은 나머지가 0이 아닌 나눗셈 등식을 미분해 f(2)와 f'(2)를 동시에 얻는 유형입니다. 나눗셈 등식을 세우고 양변을 미분한다는 착안이 없으면 접근 자체가 어렵습니다.
5. 평균값 정리·롤의 정리·사잇값 정리 (9·11·12번)
9번은 닫힌구간 [a,0]에서 롤의 정리를 만족하는 c로부터 a를 역산합니다. 11번은 평균값 정리의 가정과 결론을 정의대로 적용해 빈칸과 값을 확정하는 문항, 12번은 방정식을 g(x)=0 꼴로 바꿔 부호가 바뀌는 구간을 찾는 사잇값 정리 문항입니다. 세 정리를 정의 그대로 쓰는 능력을 확인합니다.
6. 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리 (15번)
15번(상)은 곡선 위의 점 중 직선과의 거리가 최소인 점을 접선의 기울기가 직선의 기울기와 같아지는 조건으로 찾습니다. 거리 공식을 세워 최솟값을 구하려 들면 계산이 폭발하므로, 접선 조건으로 바꿔야 합니다.
서술형 3문항 (18·19·20번)
| 번호 | 난이도 | 유형 |
|---|---|---|
| 18 | 중상 | (f(x)-f(2))/(x-2)의 좌·우극한을 각각 구해 미분계수 f'(2) 확정 |
| 19 | 중상 | g(x)=(x²+12)f(x)에 곱의 미분법을 적용해 g'(2) 계산 |
| 20 | 상 | 조각 정의된 g의 그래프를 그려 실근의 개수 h(t)와 불연속점 판정 |
18번과 19번은 연결된 흐름입니다. 18번에서 f(2)와 f'(2)를 확보하고, 19번에서 곱의 미분법으로 g'(2)를 구합니다. 18번을 틀리면 19번까지 연쇄로 무너지는 구조라 앞 단계 검산이 중요합니다. 20번은 실근의 개수를 t의 함수로 보고 계단함수의 불연속점을 찾는 문항으로, 그래프를 정확히 그리는 것이 전부입니다.
무원고 2-2 중간 대비 학습 순서
- 극한 조건 → 다항함수 결정을 차수 논증과 인수 논증으로 나눠 정리합니다(7·16번형).
- 무리식 유리화 + 절댓값 좌우극한을 함께 다루는 문제를 찾아 풉니다(14번형).
- 대칭 차분 극한(f(a+h)-f(a-h))/(2h)을 두 미분계수로 쪼개는 조작을 손에 익힙니다.
- 나눗셈 등식에 미분 걸기(10번형)를 별도 유형으로 챙깁니다.
- 평균값 정리·롤의 정리·사잇값 정리는 가정 확인 문장부터 쓰는 연습을 합니다.
- 곡선과 직선 사이의 최단 거리 = 접선의 기울기 일치로 바꾸는 발상을 정리합니다.
- 실근의 개수를 세는 계단함수의 그래프를 손으로 그려봅니다. 20번 서술형이 여기서 나왔습니다.
자주 나오는 질문
무원고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
2025학년 원문 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 접선의 방정식과 평균값 정리까지 포함되며, 극대·극소와 그래프 개형은 범위 밖입니다.
문항 수가 20개면 쉬운 시험인가요?
아닙니다. 문항 수는 적지만 상 난이도가 6문항(30%)이고, 후반부에 상이 연속으로 배치돼 있습니다. 문항당 시간이 넉넉해 보여도 실제로는 계산량이 큰 문항이 많습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
18·19·20번 3문항입니다. 18번과 19번이 값을 이어받는 구조이므로 앞 단계 검산이 중요합니다.
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