백마고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
백마고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용(2) 로, 극한·연속·미분계수·접선을 넘어 함수의 증가와 감소, 극대·극소까지 포함합니다. 같은 고양시 학교들과 비교하면 범위가 한 단원 더 넓습니다. 백마고 2학년 2학기 중간은 선택형 18문항과 서술형 2문항(19·20번) 구조이며, 백마고는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다.
핵심 요약
- 20문항, 선택형 18 + 서술형 2(19·20번)
- 범위에 도함수의 활용(2)(증가·감소, 극대·극소) 포함 — 인근 학교보다 한 단원 넓음
- 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 7 / 상 6 — 상 6문항(30%)
- 단원별: 미분계수와 도함수 6 / 함수의 극한 5 / 도함수의 활용(1) 3 / 도함수의 활용(2) 3 / 함수의 연속 2
- 상 난이도 배치: 9·14·16·17·18·20번
어디까지 나오나 — 단원별 문항 수
| 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 1·7·8·9·19·20 |
| 01 함수의 극한 | 5 | 2·4·13·16·18 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 3·6·15 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 11·12·14 |
| 02 함수의 연속 | 2 | 10·17 |
분석표 기준 5번 1문항은 수학Ⅱ 범위 밖 유형으로 분류돼 있어 단원 집계에서 제외했습니다.
미분 계열(미분계수와 도함수 + 도함수의 활용 1·2)이 12문항으로 전체의 절반을 넘습니다. 극한 5문항, 연속 2문항으로 앞 단원은 상대적으로 가볍습니다. 백마고 범위의 가장 큰 특징은 도함수의 활용(2)이 3문항 들어왔다는 점입니다. 증가·감소 조건과 극값 조건은 인근 학교 중간 범위에는 없는 경우가 많으니, 다른 학교 기출로만 대비하면 이 3문항을 통째로 놓칩니다.
난이도 분포 — 상 6문항(30%)
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% |
| 중 | 6 | 30% |
| 중상 | 7 | 35% |
| 상 | 6 | 30% |
하 난이도가 3번 단 1문항입니다. 시작부터 중 난이도가 이어지는 구성이라 초반에 시간을 벌기 어렵습니다. 상 6문항 중 16·17·18번이 연속으로 붙어 있고 마지막 서술형 20번도 상이라, 후반 네 구간이 실질적인 승부처입니다.
빈출 유형
1. 도함수의 활용(2) — 증가·감소와 극값 (11·12·14번)
11번은 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 조건을 f'(x)≥0으로 바꿔 a의 범위를 구합니다. 12번은 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건을 f'(x)의 판별식으로 옮깁니다. 14번(상)은 절댓값을 포함한 곱함수의 극댓값을 구간별 이차식의 꼭짓점에서 찾습니다. 11·12번은 "도함수의 부호 조건 → 판별식"이라는 같은 뿌리이므로 묶어서 정리하면 효율적입니다.
2. 미분가능성과 조각함수 (9번)
9번(상)은 절댓값과 조각으로 정의된 함수의 곱이 실수 전체에서 미분가능할 조건을 두 점에서 따집니다. 절댓값 함수는 꺾이는 점에서 미분 불가능하므로, 곱해지는 쪽이 그 점에서 0이 되어야 한다는 논리를 세워야 합니다.
3. 접선의 방정식 (3·15번)
3번은 접점의 좌표 (1,3)이 주어진 기본형입니다. 15번은 곡선 밖의 점 (1,1)에서 그은 접선의 접점을 t에 대한 방정식으로 모두 찾는 유형으로, 접점을 미지수로 두는 표준 절차를 요구합니다.
4. 개수 세기형 계단함수의 극한 (16번)
16번(상)은 교점의 개수를 세는 계단함수 g(t)의 좌극한·우극한을 읽어 조건식을 푸는 문항입니다. 그래프를 직접 그려 t가 변할 때 교점 개수가 바뀌는 지점을 찾아야 합니다. 수학Ⅱ 중간에서 상위권을 가르는 대표 유형입니다.
5. 함수가 연속일 조건 (10·17번)
10번은 네 점의 함숫값 부호를 보고 사잇값 정리로 각 열린구간의 실근 존재를 판정합니다. 17번(상)은 두 조각함수의 곱이 실수 전체에서 연속일 조건을 x=1과 x=a로 나눠 따집니다. 연속은 2문항뿐이지만 17번이 상 난이도라 비중 대비 부담이 큽니다.
6. 극한의 활용 (18번)
18번(상)은 도형에서 정의된 길이의 비를 t의 식으로 표현한 뒤 t→2- 극한을 구합니다. 좌극한이라는 점, 그리고 식을 세우는 단계가 모두 함정입니다.
서술형 2문항 (19·20번)
19번은 도함수의 정의 lim(f(x+h)-f(x))/h를 직접 전개해 도함수를 구하도록 지시한 문항입니다(f'(x)=2x+1, f'(2)=5). 공식으로 미분하면 감점되는 유형이므로, 정의식을 세우고 전개·약분하는 과정을 그대로 써야 합니다.
20번(상)은 (f(x)-f(2))/((x-1)(x-2)) 꼴을 미분계수 꼴로 변형해 f'(2)=1을 얻고, 이어서 극값 조건으로 미정계수를 결정해 f(4)=21을 구하는 문항입니다. 미분계수 정의 + 극값 조건이 한 문항에 겹쳐 있어 서술 분량이 많습니다.
백마고 2-2 중간 대비 학습 순서
- 도함수의 활용(2)을 반드시 포함해 계획을 짭니다. 인근 학교 기출에는 없는 3문항입니다.
- f'(x)≥0 / 판별식 조건으로 증가·감소와 극값 유무를 판정하는 절차를 정리합니다.
- 도함수의 정의를 직접 전개하는 연습 — 19번 서술형이 정확히 이 형태입니다.
- 절댓값이 들어간 함수의 미분가능성을 꺾인 점 기준으로 따지는 훈련(9·14번형).
- 개수 세기 계단함수의 그래프를 그려 좌·우극한을 읽는 연습(16번형).
- 조각함수의 곱이 연속일 조건을 경우로 나눠 정리합니다(17번형).
- 도형에서 극한 식 세우기(18번형)는 그림에 문자를 붙이는 것부터 시작하세요.
자주 나오는 질문
백마고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
2025학년 원문 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(2)까지입니다. 함수의 증가와 감소, 극대·극소가 포함됩니다. 같은 고양시 안에서도 도함수의 활용(1)에서 끊는 학교가 있으니, 다른 학교 기출을 참고할 때 범위 차이를 반드시 확인하세요.
어느 단원이 제일 어려운가요?
상 6문항이 미분계수와 도함수(9·20번), 도함수의 활용(2)(14번), 함수의 극한(16·18번), 함수의 연속(17번)에 흩어져 있습니다. 특정 단원이 아니라 범위 전체에 상이 분산된 형태입니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19·20번 2문항입니다. 19번은 도함수의 정의를 그대로 쓰는 문항, 20번은 미분계수와 극값 조건이 겹친 상 난이도 문항입니다.
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