백석고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
백석고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 ~ 도함수의 활용(1) 로, 극한·연속·미분계수·접선까지가 대상입니다. 백석고 2학년 2학기 중간의 가장 뚜렷한 특징은 함수의 연속 단원을 5문항이나 배치하고, 그중 세 문항을 상 난이도로 올렸다는 점입니다. 백석고는 경기도 고양시에 있는 고등학교이며, 선택형 20문항과 서술형 2문항(21·22번) 구조입니다.
핵심 요약
- 22문항, 선택형 20 + 서술형 2(21·22번)
- 난이도: 하 2 / 중 5 / 중상 9 / 상 6 — 상 6문항(27%)
- 단원별: 함수의 극한 7 · 미분계수와 도함수 7 / 함수의 연속 5 / 도함수의 활용(1) 3
- 상 난이도 배치: 13·15·17·18·19·20번 — 13번 이후에만 등장
- "함수가 연속일 조건(응용)"이 3회 반복(19·20·21번)
어디까지 나오나 — 단원별 문항 수
| 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 7 | 2·3·8·11·12·16·18 |
| 03 미분계수와 도함수 | 7 | 1·5·9·13·14·19·22 |
| 02 함수의 연속 | 5 | 4·6·17·20·21 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 7·10·15 |
극한 7문항, 미분계수와 도함수 7문항이 균형을 이루고, 함수의 연속이 5문항으로 뒤를 받칩니다. 접선을 다루는 도함수의 활용(1)은 3문항으로 가장 적습니다. 백석고 중간은 "미분의 활용"보다 "극한과 연속의 정밀한 판정"에 무게를 둔 시험입니다.
난이도 분포 — 중상 9문항이 두껍다
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 2 | 9% |
| 중 | 5 | 23% |
| 중상 | 9 | 41% |
| 상 | 6 | 27% |
하 난이도는 1·2번뿐입니다. 상 6문항(13·15·17·18·19·20번)이 모두 13번 이후에만 나타나는 전형적인 후반 배치입니다. 12번까지를 안정적으로 끝내면 나머지 시간을 상 문항에 집중할 수 있으니, 실전에서는 12번까지의 소요 시간을 미리 재보는 연습이 효과적입니다.
빈출 유형
1. 함수가 연속일 조건(응용) — 3회 반복 (19·20·21번)
백석고 중간의 시그니처입니다. 19번(상)은 h(x)=f(x)g(x)가 x=0에서 미분가능하도록 하는 정수 k를 모두 찾아 h'(0)을 계산합니다. 20번(상)은 조각으로 정의된 f와 그 평행이동의 곱이 실수 전체에서 연속일 조건을 k의 경우로 나눠 따집니다. 21번(서술형)은 불연속인 계단함수 g와 이차함수 h의 곱이 연속일 조건으로 h를 결정합니다(h(x)=x²-6x+5).
세 문항 모두 논리가 같습니다. 한쪽이 불연속·미분불가능한 지점에서 다른 쪽이 0이 되어야 곱이 연속·미분가능해진다는 것입니다. 이 한 문장을 세 번 다르게 물었습니다.
2. 개수 세기형 계단함수 (17번)
17번(상)은 반지름 t에 따라 교점 개수가 계단식으로 바뀌는 f(t)의 그래프를 그려 불연속점을 판정합니다. 21번의 계단함수와 같은 계열이라 묶어서 준비하는 편이 좋습니다.
3. 다항함수의 결정 (12·16·18번)
12번은 ∞에서의 극한 조건으로 f를 x³+3x²+ax+b 꼴로 확정하고, 16번은 두 극한 조건으로 ax³+bx²+3x 꼴을 확정합니다. 18번(상)은 분모가 0이 되는 점에서 극한이 존재하려면 분자도 0이어야 한다는 조건에서 출발합니다. 극한 조건을 계수 조건으로 번역하는 훈련이 세 번 필요합니다.
4. 미분가능성 판정 (13·19번)
13번(상)은 조각으로 정의된 f와 삼차함수 g의 곱이 x=1에서 미분가능할 조건을 따집니다. 좌·우 미분계수를 각각 계산해 일치시키는 절차를 정확히 밟아야 합니다.
5. 접선의 방정식 (7·10·15번)
10번은 한 곡선의 접선이 다른 곡선에도 접하는 공통 접선 상황에서 미정계수를 정합니다. 15번(상)은 기울기 m이 주어진 두 접선의 접점을 f'(x)=m의 두 근으로 잡습니다. 7번은 평균값 정리를 세우고 f'의 상계를 대입해 함숫값의 범위를 얻는 문항입니다.
6. 다항식의 나눗셈에 미분법 걸기 (9번)
9번은 나머지가 0이 아닌 나눗셈 등식을 미분해 f(-1)과 f'(-1)을 동시에 쓰는 유형입니다. 나눗셈 등식을 세우고 양변을 미분한다는 발상이 필요합니다.
서술형 2문항 (21·22번)
| 번호 | 난이도 | 유형 |
|---|---|---|
| 21 | 중상 | 계단함수 g와 이차함수 h의 곱이 연속일 조건으로 h 결정 |
| 22 | 중상 | 두 극한을 미분계수 꼴로 분해해 f'(1)·g'(1)을 구하고 곱의 미분법으로 h'(1) 계산 |
21번은 g가 불연속인 지점에서 h가 0이 되어야 한다는 논리를 세워 h(x)=x²-6x+5를 얻습니다. 22번은 f(1)=2, g(1)=-1, f'(1)=-3, g'(1)=4를 차례로 구한 뒤 곱의 미분법으로 h'(1)=28을 계산하는 단계형 문항입니다. 앞 단계 값이 틀리면 마지막 답까지 연쇄로 어긋나므로 중간 검산이 중요합니다.
백석고 2-2 중간 대비 학습 순서
- "곱함수가 연속·미분가능할 조건"을 한 문장으로 정리합니다. 19·20·21번이 전부 이 논리입니다.
- 계단함수의 그래프를 손으로 그려 좌·우극한과 불연속점을 읽는 연습(17·21번형).
- 극한 조건 → 다항함수의 계수 조건 번역을 세 유형(∞ 극한, 두 극한 조합, 0/0 조건)으로 나눠 훈련합니다.
- 좌·우 미분계수를 각각 계산해 일치시키는 절차를 조각함수 곱까지 확장합니다(13번형).
- 공통 접선(10번형)과 기울기가 주어진 접선(15번형)을 구분해 정리합니다.
- 나눗셈 등식에 미분 걸기(9번형)를 별도 유형으로 챙깁니다.
- 12번까지 목표 시간을 정해 실전 배분을 연습합니다. 상은 전부 13번 이후에 있습니다.
자주 나오는 질문
백석고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
2025학년 원문 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 접선의 방정식과 평균값 정리까지 포함되며, 극대·극소와 그래프 개형은 범위 밖입니다. 같은 고양시 안에서도 도함수의 활용(2)까지 나가는 학교가 있으니 범위를 꼭 확인하세요.
어떤 유형이 가장 많이 반복됐나요?
함수가 연속일 조건의 응용이 19·20·21번에서 세 번 나왔습니다. 여기에 계단함수 문항(17번)까지 더하면 "불연속을 다루는 문항"이 4개입니다.
서술형은 몇 문항인가요?
21·22번 2문항입니다. 21번은 연속 조건으로 이차함수를 결정하는 문항, 22번은 미분계수와 곱의 미분법을 단계로 잇는 문항입니다.
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