정발고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
정발고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 객관식 18문항(1~18번)과 서술형 2문항(19·20번)으로 구성되며, 출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용입니다. 경기 고양시에 위치한 정발고는 정발고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ에서 극한과 연속을 절반 이상 배치하고, 상 난이도 2문항을 17·18번에 몰아 변별하는 구성을 택했습니다.
핵심 요약
- 20문항 = 객관식 18 + 서술형 2(19·20번)
- 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 8 / 상 2 — 중상 이상이 10문항(50%)
- 출제 단원: 01 함수의 극한 6 / 02 함수의 연속 5 / 03 미분계수와 도함수 5 / 04 도함수의 활용(1) 2 / 06 도함수의 활용(3) 2
- 2회 반복 출제 유형: 함수의 극한에 대한 성질(6·12번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(4·17번)
- 상 2문항은 17·18번 — 둘 다 "개수를 세는 함수"의 극한·연속 판정형
정발고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
정발고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2015 개정 교육과정 수학Ⅱ 과목에서 출제됐고, 문항 수는 총 20개입니다.
구조를 보면 1~18번이 객관식, 19·20번이 서술형입니다. 서술형 2문항은 모두 중 난이도로 배치돼 있어, 서술형에서 변별하기보다 객관식 후반부(17·18번)에서 등급을 가르는 방식입니다. 다시 말해 서술형은 반드시 맞혀야 하는 구간이고, 실질적인 1등급 승부처는 17·18번입니다.
난이도 분포 — 중상이 8문항, 하는 단 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% |
| 중 | 9 | 45% |
| 중상 | 8 | 40% |
| 상 | 2 | 10% |
하 난이도가 1번 한 문항뿐입니다. 2번부터 바로 중 난이도가 시작되고, 중상이 8문항(40%)이나 됩니다. 워밍업 구간이 사실상 없다는 뜻이라, 시험지를 받자마자 계산 속도를 올려야 합니다. 중상 8문항 중 하나라도 시간에 쫓겨 흘리면 17·18번을 볼 시간 자체가 사라집니다.
출제 단원 — 극한·연속에 11문항(55%)
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 6 | 1·6·7·8·12·19 |
| 02 함수의 연속 | 5 | 2·5·9·13·18 |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 3·11·14·15·16 |
| 04 도함수의 활용(1) | 2 | 10·20 |
| 06 도함수의 활용(3) | 2 | 4·17 |
I단원(함수의 극한과 연속) 11문항, II단원(다항함수의 미분법) 9문항입니다. 미분 파트를 후반 진도라고 가볍게 보면 안 되지만, 무게중심은 여전히 극한·연속 쪽에 있습니다.
특히 눈에 띄는 건 도함수의 활용에서 접선·평균값 정리(10·20번)와 방정식의 실근 개수(4·17번)가 각각 2문항씩 나온 점입니다. 접선의 방정식은 10번에 중 난이도로, 평균값 정리는 20번 서술형으로 배치돼 있어 두 유형 모두 "정의를 알면 풀리는" 자리에 놓였습니다. 반면 실근의 개수는 4번(중상)과 17번(상)에 걸쳐 있어 난이도 폭이 가장 큽니다.
빈출 유형 (2025학년 기출 기준)
1. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (4·17번) — 2회 출제
4번 중상은 구간 제한이 붙은 형태로, 교점을 방정식의 실근으로 보고 k를 분리해 k=h(x) 꼴로 만든 뒤 구간에서 h의 치역을 구해 정수 k의 개수를 셉니다. 17번 상은 같은 유형을 절댓값 삼차함수로 확장한 것으로, 극댓값·극솟값을 구해 그래프 개형을 잡고 수평선과의 교점 개수 함수 g(t)를 구간별로 완성한 뒤 한쪽 극한을 읽어야 합니다. 같은 코드가 중상에서 상까지 난이도만 올려 두 번 나온 셈이라, k 분리 → 치역 → 개수 세기 흐름은 손에 익혀두는 것이 좋습니다.
2. 함수의 극한에 대한 성질 (6·12번) — 2회 출제
6번 중상은 3f-2g를 하나의 함수로 묶어 발산하는 쪽을 찾아낸 뒤 분자·분모를 그 함수로 나눠 극한을 계산하는 문제입니다. 12번 중상은 보기 ㄱ~ㄹ의 진위를 가리는 판정형으로, 몫·곱·발산의 성질을 역방향으로 적용해 존재성을 따집니다. 두 문항 모두 "성질을 그대로 대입"하는 수준이 아니라 무엇으로 나눌지를 스스로 설계해야 하는 형태입니다.
3. 함수의 연속 심화 (9·13·18번)
9번 중상은 주기 조건과 결합된 연속 조건 문제로, 주기에서 상수 하나를 정하고 경계점 연속으로 이차방정식을 세운 뒤 정의역 조건으로 근을 걸러냅니다. 13번 중상은 그래프에서 좌우극한을 읽고 f(x)=t 치환으로 합성함수의 극한을 계산해 연속성을 판정합니다. 18번 상은 두 그래프의 교점 개수 h(t)를 근의 분리로 완성한 뒤 불연속점 네 개를 찾는 최고난도 문항입니다.
4. 미분계수와 도함수 (3·11·14·15·16번) — 5문항
평균변화율과 미분계수(3번 중), 구간별 정의 함수의 미분가능성(11번 중상), 평균변화율의 기하적 의미(14번 중상), 미분계수를 이용한 극한값 계산(15번 중), 곱의 미분법(16번 중상)이 각각 한 문항씩입니다. 유형이 겹치지 않고 한 유형씩 골고루 나왔기 때문에, 특정 유형만 파고드는 대비는 통하지 않습니다.
주의해야 할 상 난이도 2문항
17번(상) — 절댓값 삼차함수의 그래프 개형을 극댓값·극솟값으로 구성하고, 극댓값이 극솟값의 절댓값보다 크다는 점을 확인해 접어 올린 그래프의 봉우리 높이 순서를 정합니다. 그 뒤 t의 구간별 교점 개수를 세고, 극한값이 존재하지 않는 t를 찾아 우극한을 읽어 합산합니다. 네 단계짜리 문항입니다.
18번(상) — 구간별로 정의된 두 그래프의 교점 개수 h(t)를 이차방정식의 근의 분리(판별식·경계값·축)로 구간마다 분류하고, 두 결과를 합쳐 h(t)를 완성한 뒤 불연속인 네 점에서 좌극한·우극한·함숫값을 읽어 계산합니다.
두 문항의 공통점은 "개수를 세는 함수"를 스스로 만들어야 한다는 것입니다. 개수 함수 g(t) 또는 h(t)를 구간별로 정확히 쓰지 못하면 뒤의 극한·연속 판정은 손도 못 댑니다. 이 유형만큼은 답만 맞히는 연습이 아니라 개수 함수를 표로 정리하는 연습이 필요합니다.
서술형 19·20번
| 번호 | 난이도 | 핵심 유형 |
|---|---|---|
| 19 | 중 | 0/0 꼴의 극한(무리식) — 곡선 위 두 점을 잇는 직선의 y절편 극한 |
| 20 | 중 | 평균값 정리 — 정의를 이용해 구간 내부의 c 구하기 |
19번은 기울기의 분자를 유리화해 공통 인수를 약분한 뒤 직선의 방정식을 세우고 y절편을 매개변수의 식으로 표현해 극한을 계산합니다. 20번은 다항함수이므로 평균값 정리 조건이 성립함을 밝히고, 평균변화율을 구한 뒤 f'(c)가 그 값과 같다는 방정식을 풀어 구간 내부의 근을 고릅니다.
두 문항 모두 난이도는 중이지만, 서술형은 조건 확인 문장을 빠뜨리면 감점됩니다. 특히 20번은 "닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하다"는 조건 서술과, 두 근 중 구간 내부의 것을 고르는 근거를 반드시 써야 합니다.
학습 순서 제안
- 함수의 극한·연속 기본 유형 완주 — 11문항이 여기서 나옵니다.
- 극한의 성질 역방향 적용 훈련 — 6·12번형. 보기 판정형 문제를 따로 모아 풀 것.
- 개수 함수 만들기 집중 — 4·17·18번형. k 분리, 근의 분리, 절댓값 그래프 접어 올리기를 표로 정리.
- 미분 단원은 유형별 1문항씩 — 평균변화율·미분가능성·곱의 미분법을 빠짐없이.
- 서술형 조건 서술 연습 — 평균값 정리·유리화 과정을 문장으로 쓰는 훈련.
- 정발고 2025학년 2학기 중간 기출 실전 20문항 — 하 난이도가 1문항뿐이라 시간 배분 연습이 필수.
자주 나오는 질문
정발고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?
2025학년 기준 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용까지입니다. 극한과 연속에서 11문항, 미분법에서 9문항이 나왔습니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19·20번 2문항이며, 난이도는 둘 다 중입니다. 0/0 꼴 무리식 극한과 평균값 정리가 나왔습니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
17번과 18번입니다. 둘 다 교점·실근의 개수를 t의 함수로 표현한 뒤 그 함수의 극한이나 불연속점을 묻는 형태로, 4단계 이상의 사고 과정을 요구합니다.
과년도 정발고 기출은 어디서 받나요?
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정발고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출 받아보기
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