나루고 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅰ 기출 분석 (2025 학년)
나루고 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅰ은 2025학년 기준 총 20문항. 출제 범위는 삼각함수의 활용 · 등차수열과 등비수열 · 수열의 합으로, 수학Ⅰ 교과서 II단원의 삼각함수의 활용과 III단원의 등차·등비수열·수열의 합까지입니다. 수학적 귀납법은 출제되지 않은 점이 이번 시험의 특징입니다. 나루고는 경기 화성시 동탄2신도시에 위치한 공립 일반계 고등학교로, 동탄 학군의 자연계 상위권 학생들이 진학하는 학교입니다. 2025학년 나루고 2학년 1학기 기말 수학1 시험의 특징은 08 등차·등비수열 11문항(55%) + 09 수열의 합 7문항(35%) 으로 III단원 비중이 압도적이고, 상 1문항(17번)이 Σ|등차수열| 절댓값 합의 부호 변화점을 묻는 변별 포인트라는 점입니다.
핵심 요약
- 20문항, 19·20번 단답 2문항
- 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 8 / 상 1 (17번)
- 출제 단원: 08 등차·등비수열(11) · 09 수열의 합(7) · 07 삼각함수의 활용(4) · 06 삼각함수의 그래프(1)
- 수학적 귀납법 미출제 — 다른 화성·수원권 학교와 진도가 다름
- ★ 빈출 핵심 유형: Σ의 성질(3회·3·17·20번) · 등비중항(2회·9·12번) · 등차수열의 일반항(2회·14·15번) · 등차합의 최대·최소(2회·14·17번)
- 상 17번: Σ|등차| 절댓값 합 + 등차합의 최대·최소 (부호 변화점 검출)
- 단답 19번 답 16 (등비수열 합 인수분해), 20번 답 "공차 -2, S₁₀=50"
나루고 수학Ⅰ 기말고사는 어떤 시험인가
나루고등학교는 경기도 화성시 동탄2신도시(반송동)에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 동탄 학군의 자연계 상위권 학생들이 진학하는 학교로, 동탄1·동탄2 권역에서 수학 내신 출제가 깔끔하고 단원 학습 충실도를 평가하는 시험으로 알려져 있습니다.
2025학년 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅰ은 총 20문항. 객관식 18문항(1~18번) + 단답·서술 2문항(19·20번) 구성입니다. 같은 1학기 기말이어도 서울 양천구 학교들이 수학적 귀납법까지 진도가 나간 반면, 나루고는 수학적 귀납법을 제외하고 등차·등비수열·수열의 합까지만 출제된 점이 특이합니다. 학교마다 진도가 다르므로 본인 학교 출제 범위를 반드시 확인하세요.
참고로 2025 개정 교육과정 이후 고등학교 수학에서 "수학Ⅰ"이라는 과목명은 점차 "대수"로 재편됩니다. 본문에서 다루는 시험은 2025학년 출제분으로, 당시 명칭인 수학Ⅰ을 그대로 사용합니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 1문항, 중·중상이 두텁게
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 3 | 15% |
| 중 | 8 | 40% |
| 중상 | 8 | 40% |
| 상 | 1 | 5% |
상 1문항(17번)만으로 변별. 하·중·중상이 19문항(95%) 분포로 계산 정확도가 등급을 좌우합니다. 17번 한 문제를 잡지 못해도 1등급 컷에 안정적으로 도달할 수 있지만, 중·중상 16문항 중 2~3개를 흘리면 등급이 두 칸 빠지는 구조입니다. 나루고 기말은 "어려운 한 문제 정복"보다 "중상 16문항의 정확한 풀이"가 핵심.
출제 단원 — 등차·등비수열 11 + 수열의 합 7 = III단원 90%
| 중단원 | 출제 문항 번호 |
|---|---|
| 08 등차수열과 등비수열 | 2·4·9·10·12·14·15·16·19·20번 등 11문항 |
| 09 수열의 합 | 3·5·6·7·13·17·20번 7문항 |
| 07 삼각함수의 활용 | 1·8·11·18번 4문항 |
| 06 삼각함수의 그래프 | 8번 1문항 |
08 등차·등비수열 11문항 + 09 수열의 합 7문항 = 18문항(90%) 이 III단원. 삼각함수의 활용은 4문항으로 단원 비중이 매우 낮습니다. 나루고 대비는 III단원(수열) 완벽 정복이 절대적 1순위.
나루고 수학Ⅰ 2-1 기말의 시그니처 — "Σ의 성질" 3회 + "등비중항·등차 일반항·합의 최대·최소" 각 2회
나루고 기말의 핵심 특징은 Σ의 성질(No.3556) 코드가 3회(3·17·20번) 출제된 점. 3번 하(다항식 전개), 17번 상(Σ|등차수열| 절댓값 합 + 등차합의 활용·최대·최소 3중 결합), 20번 중상 단답(등차합의 활용 + Σ의 성질, 대칭 활용). Σ의 성질이 시험 시작·중간·끝을 모두 누르는 척추 코드.
또한 등비중항(No.3534) 2회(9·12번) · 등차수열의 일반항(No.3541) 2회(14·15번) · 등차수열의 합의 최대·최소(No.3547) 2회(14·17번) · 등차수열의 합의 활용(No.3548) 2회(17·20번) — 등차·등비수열의 거의 모든 핵심 코드가 빠짐없이 출제됐습니다.
★ 빈출 유형 (실제 2025 기출 기준)
1. Σ의 성질·자연수의 거듭제곱의 합·수열의 합 결합 (3·5·6·7·13·17·20번) — ★ 7문항
3번 하(Σ 선형성), 5번 중(Σ 범위 일치 → (k+a)²-(k-a)² 차분 → 수열의 합을 묶어 규칙 찾기), 6번 중(분수 일반항 부분분수 분해 → 텔레스코핑), 7번 중(분모 유리화 → 텔레스코핑 합), 13번 중상(k²·(n-k+1) 일반항 → Σk² 와 Σk³ 분해), 17번 상(Σ|등차수열| 절댓값 합), 20번 중상 단답(등차합 + Σ의 성질, 대칭 활용 → 답 공차 -2, S₁₀=50). 수열의 합 단원 7문항이 모두 변별 포인트.
2. 등차수열의 일반항 + 합 + 합의 최대·최소 (4·14·15·17·20번) — ★ 5문항 (상 1)
4번 중(두 부분합 연립 → S_n 식), 14번 중(등차합의 최대·최소, a_n 부호 임계), 15번 중상(부분의 합이 주어진 등차수열 + 일반항, 양 끝항 합), 17번 상(등차합의 최대·최소 + 활용 + Σ의 성질), 20번 중상 단답(등차합 + Σ대칭 → 답 공차 -2, S₁₀=50). 등차수열의 모든 코드가 단원 학습 충실도로 검증.
3. 등비수열의 일반항·중항·활용·합 (2·9·10·12·16·19번) — ★ 6문항 (단답 1)
2번 하(공비 r 결정 → 일반항), 9번 중(등비중항 b 결정 → (a+c)² 곱셈공식), 10번 중(원리합계, 매년 초 등비 적립금 공식), 12번 중상(등차수열의 세 항이 등비 조건, 등차수열을 이루는 수 + 등비중항), 16번 중상(등비수열 부등식 → r 케이스 분기 → 합의 최댓값), 19번 중상 단답(등비수열의 합 인수분해 r⁹-1=(r³-1)(r⁶+r³+1) → 답 16). 등비수열도 5코드 6문항으로 광범위 출제.
4. 사인·코사인법칙 + 외접원 (1·8·11·18번) — ★ 4문항 (도입부와 후반 변별)
1번 하(두 변·끼인각 ½ab sin C 넓이), 8번 중(사인법칙 활용 + 여러 가지 각의 삼각함수), 11번 중상(직선 위 점 좌표화 → 삼각형 → 코사인법칙 cosθ), 18번 중상(대칭성으로 변수 통일 + 코사인법칙의 활용). 삼각함수의 활용 단원 비중은 작지만, 11·18번 중상 두 문항이 후반 변별점.
5. 분수 꼴 수열·근호 수열의 합 (6·7번) — ▲ 2문항 (망원합 핵심)
6번 중(분수 꼴 부분분수 분해), 7번 중(근호 분모 유리화). 두 문항 모두 텔레스코핑(망원합) 핵심 유형. 합 표현식의 첫 항·마지막 항만 남고 중간이 모두 소거되는 패턴.
6. Σ|등차수열| 절댓값 합 — 17번 상 단독 (★ 핵심 변별)
17번 상(Σ의 성질 + 등차수열의 합의 활용 + 등차수열의 합의 최대·최소). 등차수열의 a_n 부호가 바뀌는 임계점을 찾아 그 전과 후의 절댓값 합을 따로 계산하는 고난도 유형. 부호 변화점을 놓치면 0점. 1등급 컷을 가르는 유일한 상 문항.
단답 19·20번 구성
| 번호 | 난이도 | 핵심 유형 | 답 |
|---|---|---|---|
| 19 | 중상 단답 | 등비수열의 합 인수분해 r⁹-1=(r³-1)(r⁶+r³+1) + S_n과 a_n 관계 | 16 |
| 20 | 중상 단답 | 등차수열 합의 활용 + Σ의 성질 (대칭 a_i+a_j=2a_(i+j)/2) | 공차 -2, S₁₀=50 |
19번은 등비수열의 합 공식을 r⁹-1을 (r³-1)(r⁶+r³+1)로 인수분해하는 형태로 환원하는 단답. 인수분해를 보지 못하면 풀이가 막힙니다. 20번은 등차수열의 i, j 항 대칭 평균을 활용한 합의 환원으로, 답이 두 부분(공차·S₁₀) 이라 한 쪽만 맞아도 부분 점수입니다.
학부모·학생이 체크할 포인트
- 수학적 귀납법 미출제 — 같은 1학기 기말이어도 학교마다 진도가 다름. 본인 학교 범위 반드시 확인.
- III단원(수열) 90%(18문항) — 등차·등비수열·수열의 합 단원 완벽 정복이 1순위. 삼각함수의 활용은 4문항만 가볍게.
- 중·중상 16문항이 등급 결정 — 상 1문항보다 중상 16문항의 정확한 풀이가 점수.
- 17번 Σ|등차수열| 절댓값 합 — 부호 변화점을 정확히 찾아야. a_n=0 근처에서 ±가 바뀜.
- 19번 인수분해형 등비합 — r⁹-1 같은 형태가 나오면 (r³-1)(r⁶+r³+1) 인수분해를 떠올릴 것.
- 20번 두 답 단답 — 공차·S₁₀ 두 답을 모두 요구. 한 쪽만 맞아도 부분 점수.
2025학년 1학기 기말 대비 학습 순서 제안
- 수학Ⅰ 교과서 + 기본서 III단원(08 등차·등비수열) 완주 — 모든 핵심 코드 빠짐없이
- ★ Σ의 성질 + 자연수의 거듭제곱의 합 + 분수·근호 수열의 합 — 3·5·6·7·13번 유형, 텔레스코핑 훈련
- ★ 등차수열의 합의 최대·최소 + 부호 변화점 — 14·17번 유형, a_n=0 임계점 찾기
- 등비중항·원리합계·등비수열의 활용 — 9·10·12·16번 유형
- 17번 상 Σ|등차| 절댓값 합 — 부호 변화점 전후 절댓값 합 분리 훈련
- 등비수열의 합 인수분해 r^n-1 변형 — 19번 단답 핵심
- 등차수열 대칭 a_i+a_j=2a_(i+j)/2 — 20번 단답 핵심
- 사인·코사인법칙 + 외접원 보조 — 1·8·11·18번 가볍게
- 나루고 2025 1학기 기말 기출 + 변형본 — 20문항 실전 시간 관리
자주 나오는 질문
나루고는 어떤 학교인가요?
경기도 화성시 동탄2신도시(반송동)에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 동탄 학군의 자연계 상위권 학생들이 진학하는 학교로, 동탄1·동탄2 권역에서 수학 내신 출제가 깔끔하기로 알려져 있습니다.
2학년 1학기 기말 수학Ⅰ은 어디까지 나오나요?
삼각함수의 활용 · 등차수열과 등비수열 · 수열의 합까지. 수학Ⅰ 교과서 II단원 후반과 III단원의 수학적 귀납법을 제외한 부분이 범위입니다. 같은 1학기 기말이어도 서울 양천구 학교들은 수학적 귀납법까지 진도가 나간 반면, 나루고는 수학적 귀납법 미출제입니다. 본인 학교 출제 범위부터 반드시 확인하세요.
상 1문항은 어디서 나오나요?
2025학년 기준 17번(Σ|등차수열| 절댓값 합 + 등차합의 최대·최소·활용 3중 결합). 등차수열 a_n의 부호가 바뀌는 임계점을 찾아 그 전과 후의 절댓값 합을 분리 계산하는 형태입니다.
단답 답이 왜 두 부분(공차·S₁₀)인가요?
20번 단답은 등차수열의 i, j 항 대칭 평균을 활용해 공차와 S₁₀을 모두 도출하는 문제입니다. 답이 공차 -2, S₁₀=50 두 값으로 떨어집니다. 한 답만 맞으면 부분 점수.
과년도 나루고 기출은 어디서 받나요?
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