중산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

중산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항, 100점 만점입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지, 즉 수학Ⅱ 앞부분 네 단원 전체입니다. 중산고 2학년 2학기 중간 시험의 특징은 하 난이도가 단 2문항이고 중상이 9문항으로 가장 두껍다는 점, 그리고 배점이 3.4점에서 7점까지 두 배 넘게 벌어져 뒤쪽 문항의 무게가 훨씬 크다는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 100점 만점, 배점 3.4~7점으로 편차가 큼
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 9 / 상 4
• 출제 중단원: 01 함수의 극한(7) / 03 미분계수와 도함수(7) / 02 함수의 연속(5) / 04 도함수의 활용(1)(2)
• 반복 출제 유형: 0/0 꼴의 극한·유리식(6번·20번), 곱의 미분법(10번·21번)
• 상 난이도 4문항은 16·17·20·21번 — 모두 후반부, 배점도 가장 큼
• 마지막 20·21번은 각 7점

중산고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

중산고등학교는 경기도 고양시에 있는 학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항 100점 만점으로 출제됐습니다.

범위는 01 함수의 극한, 02 함수의 연속, 03 미분계수와 도함수, 04 도함수의 활용(1)입니다. 2015 개정 교육과정 수학Ⅱ의 전반부를 통째로 다루는 시험입니다. 극한 개념에서 시작해 접선의 방정식까지 이어지는 구간이라, 개념이 한 줄로 연결돼 있다는 점이 이 범위의 특징입니다. 극한을 대충 넘기면 미분계수의 정의에서 막히고, 미분계수를 대충 넘기면 접선에서 막힙니다.

2025학년 난이도 분포 — 하가 2문항뿐

하 난이도는 1번(미분법의 공식)과 3번(평균변화율) 두 문항뿐입니다. 도함수를 구해 값을 대입하는 문항, 두 끝점의 함숫값으로 평균변화율을 구하는 문항입니다. 이 둘을 빼면 나머지 19문항은 최소 두 단계 이상입니다.

중상 9문항(43%) 이 시험의 중심입니다. 7번(미정계수의 결정), 8번(극한에 대한 성질), 11번(평균변화율의 기하적 의미), 12번(다항함수의 결정), 13번(연속일 조건), 14번(미분계수를 이용한 극한값), 15번(항등식이 주어질 때 도함수), 18번(연속함수의 성질), 19번(접선이 곡선과 다시 만나는 점)입니다.

배점 구조 — 뒤로 갈수록 두 배 무거워진다

이 시험을 준비할 때 반드시 알아야 할 것이 배점 편차입니다. 1번이 3.4점인 반면 20·21번은 각 7점입니다. 뒤쪽 두 문항이 앞쪽 네 문항과 맞먹습니다.

배점은 문항 번호 순서대로 대체로 올라갑니다. 1~6번이 3.4~3.6점대, 7~15번이 4~5.5점대, 16~21번이 5.5~7점대입니다. 즉 시험지 뒤로 갈수록 난이도와 배점이 함께 올라가는 정직한 구조입니다.

전략은 명확합니다. 앞 6문항을 빠르게 정리해 시간을 확보하고, 16번 이후에 시간을 쏟는 것입니다. 앞 문항을 꼼꼼히 검산한다고 시간을 쓰다가 뒤쪽 7점짜리를 못 건드리면 손해가 큽니다.

출제 단원 — 극한 7, 미분계수 7

01 함수의 극한과 03 미분계수와 도함수가 각각 7문항으로 시험의 3분의 2를 차지합니다. 도함수의 활용은 5번(평균값 정리)과 19번(접선이 곡선과 다시 만나는 점) 두 문항뿐입니다. 진도상 마지막 단원의 비중이 가장 작다는 점은 시험 대비 우선순위를 정할 때 중요한 정보입니다.

함수의 극한 7문항은 2번(극한의 대소 관계), 6번(0/0 꼴 유리식, 절댓값 포함), 7번(미정계수의 결정, 무리식), 8번(극한에 대한 성질), 12번(다항함수의 결정), 17번(극한의 활용, 도형), 20번(0/0 꼴 유리식, 경우 분기)으로 극한 단원의 대표 유형이 거의 다 나왔습니다.

반복 출제된 두 유형

0/0 꼴의 극한, 유리식(6번 중 · 20번 상). 6번은 절댓값이 얹힌 한쪽 극한으로, 부호를 판정해 절댓값을 벗기고 인수분해해 약분하면 끝납니다. 20번은 같은 유형인데 매개변수에 따라 경우가 갈립니다. 두 이차식을 인수분해해 공통 인수 구조를 파악한 뒤, 분모가 0이 되는 값을 찾아 각 경우에서 극한을 따로 계산해야 합니다. 같은 코드가 3.6점과 7점으로 나뉜 사례입니다.

곱의 미분법(10번 중 · 21번 상). 10번은 두 극한에서 함숫값과 미분계수를 읽어 곱의 미분법을 적용하는 표준형입니다. 21번은 마지막 문항답게 조건이 겹쳐 있습니다. 분자가 0이어야 한다는 조건에서 두 함숫값이 같음을 얻고, f−g를 하나의 함수로 묶어 미분계수를 읽은 뒤, 곱의 미분법으로 미분해 연립하고 접선의 방정식까지 세워야 합니다.

상 난이도 4문항 — 16·17·20·21번

16번 — (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속. 개수 함수와 이차함수의 곱을 다룹니다. 이차함수의 볼록성과 두 근에서 절댓값 그래프의 개형을 파악하고, t의 구간별 실근의 개수 g(t)를 완성해 불연속점 두 개를 찾아야 합니다. 곱이 연속이려면 각 불연속점에서 f의 값이 0이어야 한다는 조건으로 상수를 결정합니다. 그래프 개형을 정확히 그리는 것이 전부인 문항입니다.

17번 — 함수의 극한의 활용. 정사각형 안에서 두 선분의 교점과 삼각형의 넓이를 다루는 도형 문제입니다. 좌표를 도입해 두 점의 좌표를 t의 식으로 표현하고, 두 직선을 연립해 교점을 구한 뒤, 삼각형의 넓이를 t의 식으로 세워 극한을 계산합니다. 좌표를 어디에 잡느냐로 계산량이 크게 달라집니다.

20번 — 0/0 꼴의 극한(경우 분기), 7점. 위에서 다룬 대로, 분모가 0이 되는 값을 따로 찾아 세 경우를 모두 계산한 뒤 최댓값과 최솟값을 골라야 합니다. 경우를 하나만 빠뜨려도 답이 달라집니다.

21번 — 곱의 미분법과 접선의 방정식, 7점. 조건 (가)와 (나)를 결합해 두 함숫값과 두 미분계수를 순서대로 확정한 뒤 접선을 세우는 네 단계 문항입니다. 답이 직선의 방정식 형태이므로 과정 서술까지 요구되는 마지막 관문입니다.

자주 틀리는 중상 문항

13번 — 함수가 연속일 조건(주기 조건 결합). x=1에서의 연속 조건으로 첫 관계식을 얻고, 주기 조건에서 f(3)=f(−1)임을 써서 두 번째 관계식을 얻습니다. 주기 조건을 어떻게 식으로 옮기느냐가 관건입니다.

15번 — 항등식이 주어질 때 도함수 구하기. x=y=0을 대입해 f(0)을 먼저 결정하고, 도함수의 정의에 관계식을 대입합니다. 도함수의 정의를 직접 쓰는 훈련이 안 돼 있으면 접근이 어렵습니다.

18번 — 연속함수의 성질(보기 판정형). ㄱ·ㄴ·ㄷ 세 개를 모두 판정해야 하는데, ㄷ에서 두 불연속점 각각에서 곱이 연속일 조건을 f(k∓1)=0으로 옮긴 뒤 영점 네 개 중 차가 2인 쌍을 찾아야 합니다. 시간이 가장 많이 드는 유형입니다.

학부모·학생이 체크할 포인트

• 하 난이도 2문항 — 기본 문제로 확보할 점수가 거의 없습니다. 개념 확인 수준의 학습으로는 중위권도 어렵습니다.
• 배점이 뒤로 갈수록 두 배 — 앞 문항 검산에 시간을 다 쓰면 7점짜리 두 문항을 놓칩니다.
• 극한과 미분계수가 각각 7문항 — 이 두 단원이 시험의 3분의 2입니다. 도함수의 활용은 2문항뿐입니다.
• 그래프 개형을 그려야 풀리는 문항이 많다 — 16·18번은 개형 없이 식만으로는 접근이 어렵습니다.
• 같은 유형이 난이도를 바꿔 반복 — 0/0 꼴 극한과 곱의 미분법이 각각 쉬운 버전과 어려운 버전으로 나왔습니다.

다음 시험 대비 학습 순서 제안

1. 극한 계산 유형 총정리 — 0/0 꼴 유리식·무리식, 미정계수 결정, 극한의 대소 관계, 다항함수 결정
2. 매개변수에 따라 경우가 갈리는 극한 — 20번형, 분모가 0이 되는 값을 따로 찾는 습관
3. 함수의 연속 조건 심화 — 13번형(주기 결합), 16번형(개수 함수와의 곱)
4. 개수 함수 g(t) 그리기 훈련 — 구간별 실근의 개수를 그래프로 정리하는 연습
5. 미분계수의 정의와 항등식 — 14·15번형, 정의를 직접 쓰는 계산
6. 곱의 미분법 + 접선의 방정식 결합 — 21번형, 조건을 순서대로 확정하는 흐름
7. 중산고 2025학년 2학기 중간 기출 21문항 실전 — 앞 6문항 10분, 뒤 6문항에 시간 몰아주는 배분 연습

자주 나오는 질문

중산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

2025학년 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(1)까지입니다. 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용(1) 네 단원이 범위입니다.

몇 문항이고 몇 점 만점인가요?

21문항 100점 만점입니다. 배점은 3.4점부터 7점까지 분포하며, 뒤쪽 문항일수록 배점이 큽니다.

가장 어려운 문항은 어디였나요?

상 난이도는 16번((x−a)f(x) 꼴의 연속), 17번(함수의 극한의 활용), 20번(0/0 꼴 극한의 경우 분기), 21번(곱의 미분법과 접선) 네 문항입니다. 20·21번은 배점도 각 7점으로 가장 큽니다.

어느 단원을 가장 많이 공부해야 하나요?

함수의 극한과 미분계수와 도함수입니다. 각각 7문항으로 둘이 합쳐 전체의 3분의 2입니다.

과년도 중산고 기출도 있나요?

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