풍동고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

풍동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항, 100점 만점입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(2)까지로, 수학Ⅱ 앞 다섯 단원이 모두 들어갑니다. 풍동고 2학년 2학기 중간 시험의 가장 큰 특징은 상 난이도가 5문항(25%) 이고 하 난이도는 1번 한 문항뿐이라는 점입니다. 여기에 마지막 20번이 롤의 정리를 이용한 증명 문항으로 나왔다는 점도 눈여겨볼 대목입니다.

핵심 요약

• 20문항 100점 만점, 배점 4.1~6점
• 난이도: 하 1 / 중 7 / 중상 7 / 상 5 — 상이 25%
• 출제 중단원: 02 함수의 연속(6) / 01 함수의 극한(5) / 03 미분계수와 도함수(4) / 04 도함수의 활용(1)(3) / 05 도함수의 활용(2)(2)
• 반복 출제 유형 4개 — 다항함수의 결정(11·18번), (x−a)f(x) 꼴의 연속(3·19번), 함수가 연속일 조건 응용(10·16번), 접선의 방정식 기울기 주어진 경우(5·17번)
• 상 난이도 5문항은 11·15·16·18·19번
• 20번은 롤의 정리를 이용한 실근 존재 증명 문항

풍동고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

풍동고등학교는 경기도 고양시에 있는 학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항 100점 만점으로 출제됐습니다.

범위가 넓습니다. 01 함수의 극한, 02 함수의 연속, 03 미분계수와 도함수, 04 도함수의 활용(1), 05 도함수의 활용(2)까지 다섯 단원이 들어갑니다. 2015 개정 교육과정 수학Ⅱ에서 극한부터 함수의 증가·감소와 도함수 그래프 해석까지 이어지는 구간입니다.

배점은 4.1점(1번)에서 6점(19·20번)까지로, 앞에서 뒤로 갈수록 조금씩 올라갑니다. 극단적인 배점 몰아주기는 없지만 뒤쪽 문항이 앞쪽보다 1.5배가량 무겁습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항, 하 1문항

하 난이도는 1번(미분법의 공식) 한 문항뿐입니다. 거듭제곱의 도함수 공식과 합·차의 미분법을 그대로 적용하면 끝나는 문항입니다. 이것을 빼면 19문항이 전부 두 단계 이상입니다.

상 5문항(25%) 은 11·15·16·18·19번입니다. 후반부에 몰려 있고, 11번과 18번이 같은 유형(다항함수의 결정) 이라는 점이 이 시험의 성격을 잘 보여줍니다. 조건을 읽고 함수의 계수를 확정하는 능력이 등급을 가릅니다.

출제 단원 — 함수의 연속이 6문항으로 최다

02 함수의 연속이 6문항(30%) 으로 가장 많습니다. 2번(최대·최소 정리), 3번((x−a)f(x) 꼴의 연속), 10번(f와 f+a의 곱이 연속일 조건), 13번(사잇값 정리와 홀함수 대칭), 16번(주기함수의 근의 개수 조건), 19번(개수 함수와 다항함수의 곱)입니다. 연속 단원에서만 상 난이도 2문항(16·19번) 이 나왔습니다.

극한과 연속을 합치면 11문항으로 시험의 절반이 넘습니다. 반면 도함수의 활용(2)는 6번(증가·감소 조건)과 12번(도함수 그래프 해석) 두 문항뿐입니다. 진도 막바지 단원의 비중이 작다는 점은 시간 배분에 참고할 만합니다.

네 개 유형이 두 번씩 반복 출제

풍동고 중간고사의 두 번째 특징은 반복 출제 코드가 네 개라는 점입니다. 각 유형이 쉬운 버전과 어려운 버전으로 짝을 이룹니다.

다항함수의 결정(11번 상 · 18번 상). 둘 다 상 난이도입니다. 11번은 절댓값이 씌워진 극한이 존재할 조건에서 f(0)과 f′(0)을 함께 도출한 뒤, 부등식 조건으로 인수를 찾아 함수를 확정합니다. 18번은 f(k+1)−f(k−1)을 전개해 k의 삼차식으로 정리하고, 두 부등식의 합이 특정 꼴임을 계산해 k=1, 2에서 값이 0이어야 함을 도출합니다.

(x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속(3번 중 · 19번 상). 3번은 x=3을 대입해 상수를 결정하고 약분해 f(3)을 구하면 끝납니다. 19번은 절댓값 이차함수의 그래프에서 구간별 교점 개수 g(t)를 완성해 불연속점 두 개를 찾는 네 단계 문항입니다.

함수가 연속일 조건 응용(10번 중상 · 16번 상). 10번은 f가 불연속인 점이 한 곳뿐임을 파악해 그 점만 확인하면 됩니다. 16번은 주기 조건과 경계 연속 조건에서 관계식을 만들고, 한 주기 안의 두 근이 대칭축에 대해 대칭임을 이용해 근의 개수를 세는 문항입니다.

접선의 방정식, 기울기가 주어진 경우(5번 중 · 17번 중상). 5번은 도함수를 기울기와 같게 놓아 접점을 찾는 표준형입니다. 17번은 원에 접하고 기울기가 1인 직선 두 개와 포물선의 접선 하나를 함께 다뤄, 세 평행선 중 y절편 차가 최대인 쌍의 거리를 구합니다.

이 구조가 주는 메시지는 분명합니다. 한 유형을 기본 문제 수준에서만 익히면 절반만 맞습니다. 같은 유형의 심화 버전까지 훈련해야 합니다.

상 난이도 5문항 정리

11번 — 다항함수의 결정(절댓값 극한 + 부등식). 절댓값 극한이 존재하려면 좌·우극한 부호가 갈리는 점에서 조건이 두 개 나온다는 점이 출발점입니다.

15번 — 함수의 극한의 활용(도형). x축에 접한다는 조건에서 원의 중심을 (t, r)로 놓고, 점 A를 지난다는 식으로 r을 t의 식으로 표현합니다. 원의 방정식에 x=0을 대입해 얻은 이차방정식에서 근과 계수의 관계로 점 P의 좌표를 구한 뒤 넓이 S(t)를 세우고 극한을 계산합니다.

16번 — 함수가 연속일 조건(주기함수의 근의 개수). 주기와 대칭성을 함께 다뤄야 하는 문항입니다. 주기별 근의 분포를 그려놓고 세는 것이 정석입니다.

18번 — 다항함수의 결정(차분 부등식). 두 부등식을 각각 다항식 조건으로 옮긴 뒤 합을 계산해 특정 값에서 0이 되어야 함을 이끌어냅니다. 부등식 두 개를 더해보는 발상이 핵심입니다.

19번 — (x−a)f(x) 꼴의 연속(개수 함수). 무한대 극한 조건에서 f의 꼴을 좁히고, 교점 개수 함수 g(t)의 불연속점에서 f가 0이어야 한다는 조건으로 계수를 확정합니다.

20번 — 롤의 정리 증명 문항

이 시험에서 형식이 가장 다른 문항이 마지막 20번입니다. 보조함수 h(x)=(x−1)f(x)를 세워 롤의 정리로 실근의 존재를 증명하는 문항입니다.

난이도 자체는 중입니다. 조건을 정리해 h의 도함수가 곱의 미분법으로 g(x)와 같음을 보이고, f(0)=0에서 h(0)=h(1)=0임을 확인한 뒤, 다항함수의 연속·미분가능을 근거로 롤의 정리를 적용하면 됩니다.

다만 증명 문항은 답만 맞혀서는 점수가 나오지 않습니다. 보조함수를 왜 그렇게 잡았는지, 롤의 정리의 가정(닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능, 양 끝 함숫값이 같음)을 각각 확인했는지를 문장으로 써야 합니다. 정리의 조건을 빠짐없이 서술하는 연습이 필요합니다.

학부모·학생이 체크할 포인트

• 하 난이도 1문항 — 기본 문제로 확보할 점수가 사실상 없습니다.
• 상 5문항(25%) — 상위권 변별이 강합니다. 중상 7문항까지 안정적으로 잡아야 1등급권입니다.
• 네 유형이 쉬운 버전·어려운 버전으로 짝을 이룸 — 유형별 심화까지 훈련해야 합니다.
• 함수의 연속이 6문항 — 극한보다 연속에 무게가 실렸습니다. 불연속점 찾기와 개수 함수 그리기가 핵심 기술입니다.
• 증명 문항 출제 — 롤의 정리, 평균값 정리, 사잇값 정리의 조건을 정확히 서술하는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서 제안

1. 함수의 연속 전 유형 정리 — 최대·최소 정리, (x−a)f(x) 꼴, 곱의 연속 조건, 사잇값 정리
2. 개수 함수 g(t) 그리기 훈련 — 19번형, 절댓값 그래프와 직선의 교점 개수를 구간별로 정리
3. 다항함수의 결정 심화 — 11·18번형, 극한 조건과 부등식 조건을 계수 조건으로 번역
4. 주기함수와 연속·근의 개수 — 16번형, 주기와 대칭을 함께 다루는 문제
5. 접선의 방정식 결합형 — 17번형, 원의 접선과 곡선의 접선을 함께 비교
6. 평균값 정리·롤의 정리 증명 서술 — 20번형, 정리의 가정을 문장으로 확인하는 답안 작성
7. 풍동고 2025학년 2학기 중간 기출 20문항 실전 — 앞 5문항을 빠르게 정리하고 후반에 시간을 남기는 배분

자주 나오는 질문

풍동고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 어디까지 나오나요?

2025학년 기준 함수의 극한부터 도함수의 활용(2)까지입니다. 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용(1), 도함수의 활용(2) 다섯 단원이 범위입니다.

몇 문항이고 몇 점 만점인가요?

20문항 100점 만점입니다. 배점은 4.1점부터 6점까지 분포합니다.

가장 어려운 문항은 어디였나요?

상 난이도는 11번·18번(다항함수의 결정), 15번(함수의 극한의 활용), 16번(주기함수의 연속 조건), 19번((x−a)f(x) 꼴의 연속) 다섯 문항입니다.

증명 문항도 나오나요?

2025학년 기준 20번이 롤의 정리를 이용한 실근 존재 증명 문항으로 출제됐습니다. 정리의 가정을 확인하는 서술이 필요합니다.

과년도 풍동고 기출도 있나요?

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