돌마고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
돌마고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지 수학Ⅱ 전 범위이며, 1~18번 객관식에 19·20번 서술형이 붙습니다. 돌마고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 상 난이도가 3문항(15%)으로 성남권 같은 범위 시험들 중에서는 무난한 편이지만, 중상 7문항이 두껍게 깔려 있어 실수 관리가 곧 등급인 구조입니다.
핵심 요약
- 총 20문항. 1~18번 객관식, 19·20번 서술형 2문항
- 난이도 분포: 하 4 / 중 6 / 중상 7 / 상 3
- 배치 단원: 01 함수의 극한 5문항 · 03 미분계수와 도함수 5문항 · 02 함수의 연속 4문항 · 05 도함수의 활용(2) 4문항 · 04 도함수의 활용(1) 1문항 · 06 도함수의 활용(3) 1문항
- 최다 반복 코드: 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 4회(10·16·17·20번)
- 상 3문항은 15·17·18번 — 다항함수의 결정, 삼차함수의 극값 조건, 두 그래프의 교점 개수
돌마고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가
돌마고등학교는 경기도 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항으로, 1번부터 18번까지 객관식, 19·20번이 서술형입니다.
2025학년 고2는 2015 개정 교육과정 대상이므로 과목명은 수학Ⅱ입니다. 범위는 I단원 함수의 극한과 연속, II단원 다항함수의 미분법 전체입니다.
난이도 분포 — 중상 7문항이 승부처
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% |
| 중 | 6 | 30% |
| 중상 | 7 | 35% |
| 상 | 3 | 15% |
하 4문항은 1·2·3번과 서술형 19번입니다. 앞 세 문항은 곱의 미분법, 그래프가 주어진 좌·우극한, 극한의 대소 관계로 개념 확인 수준이고, 서술형 19번도 사잇값 정리 기본형이라 하 난이도로 분류됐습니다.
서술형 한 문항이 하 난이도라는 게 이 시험의 큰 특징입니다. 서술형을 어렵게 내는 학교와 달리 돌마고는 19번을 확실한 득점 구간으로 열어 두었습니다. 대신 8번부터 18번까지 객관식 후반부에 중상·상을 촘촘히 배치했습니다.
상은 15·17·18번 세 문항뿐이라 최상위권 변별폭은 좁습니다. 결국 중상 7문항(8·9·10·12·13·14·16번)에서 몇 개를 지키느냐가 등급을 가릅니다.
배치 단원별 출제 문항 수
| 배치 단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 5 | 25% |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 25% |
| 02 함수의 연속 | 4 | 20% |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 20% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 5% |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 5% |
I단원 함수의 극한과 연속이 9문항(45%) 으로 절반 가까이를 차지합니다. II단원 다항함수의 미분법은 11문항입니다.
II단원 안에서는 05 도함수의 활용(2), 즉 극대·극소와 최대·최소 파트가 4문항으로 가장 두껍습니다. 반면 접선의 방정식이 주력인 04 도함수의 활용(1)은 서술형 20번 한 문항, 방정식·부등식이 주력인 06은 18번 한 문항뿐입니다.
즉 돌마고는 접선보다 극값 쪽에 무게를 실은 시험입니다.
돌마고의 시그니처 — "극대·극소를 이용한 미정계수의 결정" 4회
이 시험을 관통하는 코드는 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정입니다. 10·16·17·20번 네 문항에 반복해 들어갔습니다.
10번은 항등식으로 미분계수를 구하는 문제와, 16번은 사차함수가 극값을 가질 조건과, 17번은 삼차함수가 극값을 가질 조건과, 서술형 20번은 평균값 정리와 각각 결합됐습니다. 난이도도 중상 → 중상 → 상 → 중으로 흩어져 있습니다.
극값 조건에서 미지수를 역으로 결정하는 훈련이 이 시험 대비의 중심축입니다. 여기에 함수의 극대·극소 자체가 5·9·17번 세 문항에 들어가 있어, 극값 관련 문항만 세어도 전체의 상당 부분입니다.
문항별 출제 유형
함수의 극한 (2·3·11·13·15번)
2번은 그래프가 주어진 좌·우극한에 합성함수의 극한을 얹었고, 3번은 극한의 대소 관계입니다. 둘 다 하 난이도입니다.
11번은 ∞−∞ 꼴의 극한으로, 미정계수 결정 응용과 함께 나왔습니다. 무리식이면 유리화, 다항식이면 최고차항으로 묶는 표준 처리가 필요합니다.
13번은 극한값의 존재 조건과 0/0 꼴 유리식 극한을 묶은 중상 문항입니다.
15번은 상 난이도의 다항함수의 결정입니다. 극한 조건으로 함수의 차수와 계수를 확정한 뒤, 곱의 미분법과 미분계수 극한까지 이어가는 다단계 문항입니다.
함수의 연속 (4·12·14·19번)
4번은 연속일 조건과 최대·최소를 묶은 중 난이도입니다.
12번과 14번은 모두 함수가 연속일 조건 응용입니다. 12번은 방정식 f(x)=k의 실근 개수와, 14번은 연속의 정의와 결합했습니다. 같은 코드를 두 번 낸 만큼 이 유형은 반드시 잡아야 합니다.
서술형 19번은 사잇값 정리로 실근의 개수를 보이는 문제입니다. g(x)=f(x)−x로 새 함수를 정의한 뒤 g(0)g(1)<0, g(2)g(3)<0을 보여 각 구간에 실근이 존재함을 논증하는 구성입니다.
미분계수와 도함수 (1·6·7·8·10번)
1번은 y={f(x)}ⁿ 꼴 곱의 미분법, 6번은 y=f(x)g(x) 꼴 곱의 미분법입니다.
7번은 도함수의 정의를 이용해 도함수를 구하는 문항으로, 공식이 아니라 극한 정의로 접근하는 유형입니다.
8번은 x→a 꼴 미분계수 극한에 미정계수 결정이 붙은 중상, 10번은 항등식이 주어질 때 미분계수 구하기입니다.
도함수의 활용 (5·9·16·17·18·20번)
5번은 도함수의 그래프 해석입니다. f′(x)의 그래프를 보고 f(x)의 증가·감소와 극값을 읽는 유형으로, 수학Ⅱ에서 가장 자주 헷갈리는 자리입니다.
9번은 극대·극소에 미분가능성과 구간별 정의 함수까지 얹은 중상 문항입니다.
16번은 사차함수가 극값을 가질 조건(중상), 17번은 삼차함수가 극값을 가질 조건(상)입니다. 삼차함수는 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 D>0으로 처리합니다.
18번은 상 난이도의 두 그래프의 교점의 개수로, 평균값 정리와 미분가능성 판정까지 결합돼 있습니다.
조심해야 할 상 3문항
15번 — 다항함수의 결정. 극한 조건으로 차수와 최고차항 계수를 확정하는 것이 1단계입니다. 여기서 함수를 잘못 잡으면 뒤 계산이 전부 무의미해집니다.
17번 — 삼차함수가 극값을 가질 조건. f′(x)=0의 판별식 조건과, 문제에서 요구한 극댓값·극솟값 조건을 동시에 만족시켜야 합니다. 부등식 영역을 그림으로 정리하면 실수가 줄어듭니다.
18번 — 두 그래프의 교점의 개수. 방정식의 실근 개수를 그래프 개형으로 환원합니다. 평균값 정리와 미분가능성 판정까지 얹혀 있어 이 시험 최고난도입니다.
서술형 19·20번
| 번호 | 난이도 | 핵심 유형 | 답 |
|---|---|---|---|
| 19 | 하 | 사잇값 정리; 실근의 개수 | g(x)=f(x)−x로 두고 g(0)g(1)<0, g(2)g(3)<0 |
| 20 | 중 | 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 | a=0, b=3, c=√3 |
두 서술형 모두 난이도가 높지 않습니다. 19번은 사잇값 정리 적용, 20번은 평균값 정리의 c를 실제로 구하는 문항입니다.
다만 정리를 쓸 때는 가정 확인이 채점 포인트입니다. 19번은 "닫힌구간에서 연속", 20번은 "닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능"을 먼저 명시해야 감점이 없습니다. 답만 맞고 가정 서술이 빠지면 부분 감점됩니다.
돌마고 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 극값으로 미정계수 결정 — 10·16·17·20번형. 이 시험 최다 반복 코드
- 도함수 그래프 해석 — 5번형. f′(x) 그래프 → f(x) 증감표 변환을 반복
- 연속일 조건 응용 — 12·14번형. 실근 개수·연속 정의와 묶인 형태로 연습
- 극한 계산 4종 — 0/0 유리식, ∞−∞, 대소 관계, 극한값 존재 조건
- 다항함수의 결정 — 15번형. 극한 조건에서 차수·계수를 확정하는 절차
- 정리 진술 연습 — 사잇값 정리와 평균값 정리의 가정을 문장으로 쓰는 훈련
자주 나오는 질문
돌마고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
함수의 극한부터 도함수의 활용까지입니다. 01 함수의 극한, 02 함수의 연속, 03 미분계수와 도함수, 04~06 도함수의 활용이 모두 포함됩니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19·20번 두 문항입니다. 19번은 사잇값 정리로 실근 개수를 보이는 문제, 20번은 평균값 정리의 c 값을 구하는 문제였습니다.
난이도는 어느 정도인가요?
상이 3문항(15%)으로 성남권 같은 범위 시험들과 비교하면 무난한 편입니다. 대신 중상이 7문항이라 실수 하나가 크게 작용합니다.
과년도 돌마고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 회차가 없다면 내신판에서 시험지 요청을 남기면 팀이 확보를 시도합니다.
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2025학년 돌마고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문(HWP)은 내신판에서 바로 다운로드할 수 있습니다. 위 문항별 단원·유형·난이도 분석도 원문 기준으로 정리한 것입니다.
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