분당중앙고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
분당중앙고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지 수학Ⅱ 전 범위이고, 1~18번 객관식에 19~21번 서술형이 붙습니다. 분당중앙고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 앞 9문항을 하·중으로 열어 준 뒤 10번부터 난도를 급격히 끌어올리는 구조입니다. 상 6문항 중 두 문항이 서술형 20·21번이라, 마지막까지 집중력을 유지해야 하는 시험입니다.
핵심 요약
- 총 21문항. 1~18번 객관식, 19~21번 서술형 3문항
- 난이도 분포: 하 3 / 중 7 / 중상 5 / 상 6 — 상이 29%
- 배치 단원: 01 함수의 극한 6문항 · 03 미분계수와 도함수 5문항 · 05 도함수의 활용(2) 4문항 · 02 함수의 연속 3문항 · 06 도함수의 활용(3) 2문항 · 04 도함수의 활용(1) 1문항
- 최다 반복 코드: 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 5회(5·9·11·14·17번)
- 서술형 20·21번이 모두 상 — 사잇값 정리, 연속 조건 + 항상 성립하는 부등식
분당중앙고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가
분당중앙고등학교는 경기도 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항으로, 1번부터 18번까지 객관식, 19·20·21번이 서술형입니다.
2025학년 고2는 2015 개정 교육과정 대상이므로 과목명은 수학Ⅱ입니다. 범위는 I단원 함수의 극한과 연속, II단원 다항함수의 미분법 전체입니다.
난이도 분포 — 앞 9문항은 열어 주고 10번부터 조인다
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% |
| 중 | 7 | 33% |
| 중상 | 5 | 24% |
| 상 | 6 | 29% |
1~9번이 전부 하 또는 중입니다. 좌·우극한, 극대·극소, 미분계수 극한, 미정계수 결정 같은 기본형이 순서대로 나옵니다. 여기까지는 교과서·기본서 수준에서 소화됩니다.
10번부터 성격이 바뀝니다. 10·11·12번이 중상, 13번이 상, 14·15번이 중상, 16·17·18번이 연속으로 상입니다.
서술형은 19번이 중이고 20·21번이 모두 상입니다. 결국 상 6문항이 13번 이후에 전부 몰려 있습니다.
전략은 명확합니다. 앞 9문항을 15분 안에 무실점으로 통과한 뒤, 남은 시간을 13·16·17·18번과 서술형 20·21번에 배분하는 것입니다.
배치 단원별 출제 문항 수
| 배치 단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 6 | 29% |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 24% |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 19% |
| 02 함수의 연속 | 3 | 14% |
| 06 도함수의 활용 (3) | 2 | 10% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 5% |
대단원으로 묶으면 I단원 함수의 극한과 연속이 9문항(43%), II단원 다항함수의 미분법이 12문항(57%) 입니다.
04 도함수의 활용(1), 즉 접선의 방정식이 6번 한 문항뿐이라는 게 눈에 띕니다. 대신 05 도함수의 활용(2), 극대·극소와 최대·최소가 4문항입니다. 분당중앙고는 접선보다 극값 쪽에 확실히 무게를 실었습니다.
분당중앙고의 시그니처 — "극값으로 미정계수 결정" 5회
이 시험의 중심 코드는 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정입니다. 5·9·11·14·17번 다섯 문항에 들어갔습니다.
극댓값이나 극솟값이 특정 값이라는 조건에서 미지수를 역으로 구하는 유형입니다. 5·9번은 기본형(중), 11번은 실근 개수와 결합(중상), 14번은 구간별 정의 함수의 미분가능성·접선과 결합(중상), 17번은 평균변화율·실근 개수와 결합(상)으로 난이도가 계단식입니다.
여기에 함수의 극대·극소 자체가 2·5·7·18번 네 문항에 들어갑니다. 극값 관련 문항만 세어도 절반에 가깝습니다.
두 번째 축은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성으로 10·14·18번 세 문항입니다. 18번은 상 난이도이고 극대·극소까지 결합돼 있습니다.
문항별 출제 유형
함수의 극한 (1·3·8·12·13·19번)
1번은 그래프가 주어진 좌·우극한(하), 3번은 극한의 성질과 극한값 구하기(중)입니다.
8번은 다항함수의 결정을 ∞/∞ 꼴 극한과 묶은 중 난이도입니다.
12번은 미정계수의 결정에 0/0 꼴 유리식 극한과 다항함수의 결정이 함께 들어간 중상 문항입니다.
13번은 상 난이도로, 같은 세 코드를 쓰면서 극한값의 존재 조건이 주가 됩니다. 12번과 13번이 같은 재료로 난이도만 다르게 구성돼 있어, 12번을 제대로 이해하면 13번이 열립니다.
서술형 19번도 같은 계열로, 답은 g(x)=2x−2입니다.
함수의 연속 (15·20·21번)
15번은 (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속입니다. 분모가 0이 되는 지점에서 분자도 0이어야 한다는 조건을 쓰는 중상 문항입니다.
서술형 20·21번은 둘 다 상 난이도로, 아래에서 따로 다룹니다.
미분계수와 도함수 (4·10·14·17·18번)
4번은 x→a 꼴 미분계수 극한(중)입니다.
10번은 구간별 정의 함수의 미분가능성에 (x−a)f(x) 꼴 연속까지 얹은 중상 문항, 14번은 같은 유형에 접선과 극값 조건이 붙은 중상 문항입니다.
17번은 상 난이도인데 주 코드가 평균변화율입니다. 평균변화율 조건을 실근 개수·극값 조건으로 넘겨 푸는 결합형입니다.
18번은 객관식 마지막 상 문항으로, 구간별 정의 함수의 미분가능성에 극대·극소와 연속성 판정을 모두 요구합니다.
도함수의 활용 (2·5·6·7·9·11·16번)
2번과 7번은 극대·극소 기본형(하)입니다. 7번은 도함수가 주어질 때 원함수 구하기가 함께 들어갔습니다.
6번은 접선이 곡선과 다시 만나는 점입니다. 접선을 구한 뒤 곡선과의 교점을 다시 찾는 유형으로, 삼차식 인수분해에서 (x−접점)²이 인수가 된다는 성질을 쓰면 빠릅니다.
11번은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(중상), 16번은 상 난이도의 삼차방정식의 근의 판별입니다. 극댓값과 극솟값의 곱의 부호로 실근 개수를 판정합니다.
조심해야 할 상 문항 (객관식)
13번 — 극한값의 존재 + 미정계수 결정. 0/0 꼴이 되도록 조건을 맞추는 과정에서 미지수가 두 개 이상 나옵니다. 조건을 순서대로 적용하지 않으면 식이 꼬입니다.
16번 — 삼차방정식의 근의 판별. (극댓값)×(극솟값)의 부호로 서로 다른 실근의 개수가 결정된다는 원리를 씁니다. 경계값(=0)에서 중근이 생기는 경우를 빠뜨리기 쉽습니다.
17번 — 평균변화율 + 실근 개수 + 극값. 주 코드가 평균변화율이라는 점이 함정입니다. 평균변화율 조건을 도함수 조건으로 바꾸는 첫 단계에서 막히면 진행이 안 됩니다.
18번 — 구간별 미분가능성 + 극대·극소. 연속 조건, 미분가능 조건, 극값 조건을 모두 세워야 합니다. 이 시험 객관식 최고난도입니다.
서술형 19·20·21번
| 번호 | 난이도 | 핵심 유형 | 답 |
|---|---|---|---|
| 19 | 중 | 미정계수의 결정 + 다항함수의 결정 | g(x)=2x−2 |
| 20 | 상 | 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 | h(x)=(x+1)(x−1)(x−a) 꼴로 정리한 뒤, 구간 (−3/2, −1)과 (1, 9/5)에서 각각 실근 존재 |
| 21 | 상 | 연속일 조건(응용) + 부등식이 항상 성립할 조건 | (1) f(x)=(x−2)²(x+1)² (2) 최댓값 −7/2 |
서술형 세 문항 중 두 문항이 상입니다. 배점이 크게 걸린 만큼 부분 점수 전략이 필요합니다.
20번은 h(−1)=h(1)=0이라는 조건에서 h(x)를 인수 형태로 정리한 뒤, 사잇값 정리로 두 구간에 실근이 존재함을 논증하는 문항입니다. 정리를 쓸 때 "닫힌구간에서 연속"이라는 가정을 명시하고, 구간 양 끝 함숫값의 부호를 실제로 계산해 보여야 점수가 나옵니다.
21번은 (1)에서 함수 f(x)=(x−2)²(x+1)²을 확정하고, (2)에서 부등식이 항상 성립할 조건으로부터 최댓값 −7/2를 구하는 2단 구성입니다. (1)을 틀리면 (2)가 자동으로 무너지므로 (1)의 검산이 중요합니다.
19번은 중 난이도라 반드시 잡아야 하는 자리입니다.
분당중앙고 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 극값으로 미정계수 결정 — 5·9·11·14·17번형. 이 시험 최다 반복 코드
- 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 10·14·18번형. 연속 조건 + 미분계수 일치 조건 2단 세팅
- 삼차방정식 근의 판별·실근 개수 — 11·16번형. 극값 곱의 부호와 경계 케이스
- 사잇값 정리 논증 — 서술형 20번형. 가정 확인 → 구간 끝 부호 계산 → 결론의 3단 서술
- 항상 성립하는 부등식 — 서술형 21번형. (좌변−우변)의 최솟값을 극값에서 찾는 절차
- 21문항 시간 배분 — 앞 9문항 15분 무실점, 나머지 시간을 상 6문항에 집중
자주 나오는 질문
분당중앙고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
함수의 극한부터 도함수의 활용까지입니다. 01 함수의 극한, 02 함수의 연속, 03 미분계수와 도함수, 04~06 도함수의 활용이 모두 포함됩니다.
서술형은 몇 문항인가요?
19·20·21번 세 문항이고, 20·21번이 상 난이도입니다. 20번은 사잇값 정리, 21번은 함수 결정과 부등식 조건이었습니다.
난이도는 어느 정도인가요?
상이 6문항(29%)입니다. 다만 1~9번이 하·중으로 채워져 있어 기본기가 잡혀 있으면 절반은 안정적으로 확보됩니다.
접선 문제는 많이 나오나요?
배치 단원 기준으로 04 도함수의 활용(1)은 6번 한 문항뿐이었습니다. 대신 극대·극소 관련 문항이 많습니다.
과년도 분당중앙고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 회차가 없다면 내신판에서 시험지 요청을 남기면 팀이 확보를 시도합니다.
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