울산고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025)

울산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 명제 · 함수 · 유리식과 유리함수 · 무리식과 무리함수로, 공통수학2의 II단원 후반부와 III단원 함수 전체입니다. 울산고등학교는 울산광역시에 있는 고등학교입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 명제 9문항, 함수 8문항으로 두 단원이 전체의 71% 를 차지하고, 그중 충분·필요조건 계열만 네 문항이 나왔다는 점입니다.

핵심 요약

• 24문항 (객관식 1~22번 + 단답형 23·24번)
• 난이도: 하 4 / 중 11 / 중상 7 / 상 2
• 배치 단원: 07 명제(9) / 08 함수(8) / 09 유리식과 유리함수(4) / 10 무리식과 무리함수(3)
• 대단원 기준 III 함수 15문항(63%), II 집합과 명제 9문항(38%)
• 최다 반복 유형: 산술평균과 기하평균 3회(20·21·23번)
• 충분·필요조건 계열 4문항(9·15·16·17번)이 전부 중상
• 상 난이도 2문항은 21번(유리함수)·24번(무리함수) — 둘 다 그래프와 직선의 위치 관계

울산고 고1 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

울산고등학교는 울산광역시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 총 24문항이며, 1~22번이 객관식, 23·24번이 답만 적는 단답형입니다.

시험지 흐름이 뚜렷합니다. 1~4번은 하 난이도로 시작하고, 5번부터 중 난이도가 이어지다가, 9번에서 첫 중상이 나옵니다. 15·16·17번에서 충분·필요조건 중상 세 문항이 연달아 나오고, 마지막 21~24번에 상 2문항과 중상 2문항이 몰려 있습니다.

주목할 점은 단원 배치가 순서대로가 아니라는 것입니다. 명제와 함수가 번갈아 나오다가 13~17번에서 명제가 다시 다섯 문항 연속으로 등장합니다. 단원별로 끊어서 푸는 습관이 있다면 이 시험에서는 통하지 않습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중이 11문항으로 가장 두껍다

하+중이 15문항(63%) 이라 기본기만 갖춰도 절반 이상은 확보할 수 있는 구조입니다. 다만 중상 이상 9문항(38%) 을 어디까지 가져가느냐로 등급이 갈립니다.

상 난이도 두 문항의 성격이 같다는 점이 이 시험의 핵심입니다. 21번은 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 24번은 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계입니다. 함수 그래프에 직선을 그어 교점 조건을 따지는 유형이 두 단원에서 각각 한 번씩 나온 셈입니다.

출제 단원 — 명제 9문항, 함수 8문항

대단원으로 묶으면 III 함수 15문항(63%), II 집합과 명제 9문항(38%) 입니다.

명제가 9문항으로 최다입니다. 기말고사 범위 중 가장 앞 단원인데도 비중이 가장 큽니다. 명제 아홉 문항 중 네 문항(9·15·16·17번)이 충분·필요조건 계열이고, 전부 중상 난이도입니다.

반대로 무리식과 무리함수는 3문항(11·12·24번)으로 가장 적습니다. 다만 24번이 상 난이도 단답형이라 배점 비중은 문항 수보다 큽니다. 범위 마지막 단원이라 학습 시간이 부족하기 쉬운데, 문항 수가 적다고 넘기면 24번에서 그대로 손해를 봅니다.

시그니처 유형 — 충분·필요조건 4문항, 산술기하 3문항

이 시험을 관통하는 두 축이 있습니다.

첫째, 충분·필요조건입니다.

• 9번 중상 충분·필요조건과 명제의 참·거짓 + 명제와 역·대우 + 삼단논법
• 15번 중상 충분·필요·필요충분조건과 진리집합 + 명제의 참·거짓과 진리집합
• 16번 중상 충분·필요·필요충분조건이 되도록 하는 상수 구하기
• 17번 중상 충분조건·필요조건·필요충분조건

네 문항이 전부 중상입니다. p ⇒ q가 참이면 P ⊂ Q라는 진리집합 포함 관계 하나를 얼마나 자유롭게 쓰느냐가 이 시험의 승부처입니다. 특히 16번은 포함 관계를 만족시키는 상수의 범위를 역으로 구하는 유형이라, 등호 처리에서 실수가 나오기 쉽습니다.

둘째, 산술평균과 기하평균입니다. 20·21·23번 세 문항에서 쓰였습니다.

• 20번 중상 유리함수의 그래프의 활용 + 산술기하로 합의 최솟값
• 21번 상 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계 + 산술기하 + 유리함수의 최대·최소
• 23번 중상 단답형 산술기하로 합의 최솟값 + x절편과 y절편이 주어진 직선의 방정식

a > 0, b > 0일 때 a + b ≥ 2√(ab) 이고 등호는 a = b일 때 성립한다는 성질이 세 문항의 공통 열쇠입니다. 특히 등호 성립 조건을 확인하지 않으면 최솟값을 잘못 잡습니다. 23번은 직선의 절편과 결합돼 도형의 방정식 단원까지 넘나듭니다.

이 밖에 반복된 유형은 이렇습니다.

• 역함수의 성질 — 4·10번 2회, 역함수와 함숫값 — 4·11번 2회
• 일대일함수와 일대일대응 — 2·8번 2회
• 유리함수의 최대·최소 — 7·21번 2회
• 무리함수의 역함수 — 11·24번 2회

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 시작 4문항 (1~4번) — 전부 하 난이도

1번 진리집합, 2번 일대일함수와 일대일대응, 3번 합성함수의 함숫값 구하기, 4번 역함수와 함숫값·역함수의 성질. 정의를 알고 있으면 바로 답이 나오는 구간입니다. 3번은 (g∘f)(a) 꼴에 값을 대입하는 기본형, 4번은 f⁻¹(b)를 f(x) = b로 바꿔 푸는 기본형입니다.

2. 명제와 함수의 중 난이도 구간 (5~8번)

5번 중 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제 + 이차부등식이 항상 성립할 조건, 6번 중 서로 같은 함수·함숫값, 7번 중 유리함수의 최대·최소·정의역과 치역, 8번 중 항등함수와 상수함수.

5번이 특히 중요합니다. '모든 x에 대해 참'인 명제는 이차부등식이 항상 성립할 조건, 즉 판별식 조건으로 바뀝니다. 명제 단원과 공통수학1의 이차부등식이 만나는 지점입니다.

3. 함수 심화 (10·11·12·18번)

10번 중 역함수 구하기·역함수의 성질, 11번 중 무리함수의 역함수·역함수와 함숫값, 12번 중 무리함수의 최대·최소·정의역과 치역, 18번 중 fⁿ 꼴의 합성함수·그래프가 주어질 때 합성함수의 함숫값.

18번의 fⁿ 꼴 합성함수는 f를 반복 적용했을 때 값이 순환하는 주기를 찾는 유형입니다. f¹, f², f³을 직접 계산해 주기를 확인한 뒤 n을 그 주기로 나눈 나머지를 쓰는 것이 정석입니다.

4. 명제 블록 (13·14번)

13번 중 명제·명제의 참 거짓·거짓인 명제의 반례, 14번 중 귀류법·대우를 이용한 명제의 증명. 14번은 증명 방식 자체를 묻는 문항입니다. 귀류법은 결론을 부정해 모순을 이끌고, 대우 증명은 ~q ⇒ ~p를 보이는 방식이라는 차이를 정확히 구분해야 합니다.

5. 마무리 4문항 (21~24번) — 상 2 + 중상 2

21번 상 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 22번 중상 f∘g에 대한 조건이 주어진 경우·합성함수의 그래프 그리기, 23번 중상 단답형 산술평균과 기하평균, 24번 상 단답형 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계·역함수의 그래프의 성질.

21번과 24번이 이 시험의 최고 난도입니다. 둘 다 함수 그래프에 직선을 그어 교점 개수나 위치를 따지는 유형인데, 21번은 유리함수(점근선이 있는 쌍곡선형), 24번은 무리함수(정의역이 제한된 반쪽 포물선형)라 그래프 개형부터 다릅니다.

24번에는 역함수의 그래프의 성질까지 결합돼 있습니다. y = f(x)와 y = f⁻¹(x)의 교점이 대체로 y = x 위에 있다는 성질을 쓰는 흐름이며, 무리함수의 역함수가 이차함수의 일부가 된다는 점도 함께 이해해 두어야 합니다.

울산고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 충분·필요조건과 진리집합 — 9·15·16·17번 네 문항을 관통. p ⇒ q ⟺ P ⊂ Q 관계를 그림으로 익힐 것.
2. 필요충분조건이 되는 상수 구하기 — 16번 대비. 포함 관계에서 등호 처리 실수 주의.
3. ★ 산술평균과 기하평균 — 20·21·23번 3회 등장. 등호 성립 조건 확인이 필수.
4. 명제의 역·대우·반례 — 13번 대비. 반례 하나로 거짓임을 보이는 훈련.
5. 귀류법과 대우 증명 — 14번 대비. 두 증명법의 논리 구조 차이 정리.
6. '모든'과 '어떤' 명제 + 이차부등식 — 5번 대비. 판별식 조건으로 바꾸는 연습.
7. 함수의 정의 3종 — 일대일함수·일대일대응·항등함수·상수함수. 2·8번 대비.
8. ★ 역함수 계열 총정리 — 4·10·11·24번. 역함수 구하기, 역함수와 함숫값, 역함수의 그래프 성질.
9. fⁿ 꼴 합성함수의 주기 — 18번 대비. 앞 몇 개를 직접 계산해 주기 찾기.
10. 유리함수 그래프 — 7·19·20·21번. 점근선, 평행이동, 정의역과 치역, 최대·최소.
11. 무리함수 그래프 — 11·12·24번. 정의역 제한과 그래프 개형.
12. ★ 그래프와 직선의 위치 관계 — 21·24번 대비. 유리함수·무리함수 각각 교점 조건 세우는 연습.

자주 나오는 질문

울산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~22번이 객관식, 23·24번이 단답형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

07 명제가 9문항(38%) 으로 가장 많고, 함수 8문항, 유리식과 유리함수 4문항, 무리식과 무리함수 3문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

21번과 24번이 상 난이도입니다. 21번은 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 24번은 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계입니다. 둘 다 그래프 개형을 정확히 그릴 수 있어야 접근이 가능합니다.

명제만 준비하면 되나요?

아닙니다. 명제는 9문항(38%)이고, 함수 대단원이 15문항(63%)입니다. 다만 중상 7문항 중 네 문항이 명제 단원이라 명제를 놓치면 등급을 올리기 어렵습니다.

무리함수는 문항이 적으니 넘겨도 되나요?

문항 수는 3개로 가장 적지만 그중 24번이 상 난이도 단답형입니다. 문항 수만 보고 넘기면 손해가 큽니다.

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