용산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 최신)
용산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한 · 함수의 연속 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용으로, 수학Ⅱ 전반부 전체입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 상 난이도가 6문항(26%) 으로 두껍고, 그중 서술형 마지막 두 문항(22·23번)이 모두 상이라는 점입니다.
핵심 요약
- 23문항 — 객관식 1~18번, 서술형 19~23번
- 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 6 / 상 6
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6문항 / 01 함수의 극한 5 / 03 미분계수와 도함수 4 / 02 함수의 연속 3 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 2
- 최다 반복 유형: 미분가능성과 연속성 3회(18·21·22번)
- 가장 까다로운 구간: 15~18번 객관식 마지막 4연속 상, 그리고 서술형 22·23번
용산고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
용산고등학교는 서울 용산구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 23문항이며, 1~18번이 객관식, 19~23번이 서술형 구조입니다.
문항 배치가 난이도순으로 깔끔하게 올라갑니다. 1~3번이 하, 4~14번이 중·중상, 15~18번 네 문항이 연속으로 상입니다. 즉 객관식 마지막 네 문항이 이 시험의 1차 관문입니다.
서술형은 다섯 문항인데 성격이 갈립니다. 19번(중)·21번(중)은 확보 가능한 구간이고, 20번은 중상, 22·23번은 상입니다. 결과적으로 상 난이도 6문항 중 4개가 객관식 후반, 2개가 서술형 끝에 몰려 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 6문항(26%)
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 13% | 1·2·3 |
| 중 | 8 | 35% | 4·5·7·10·11·12·19·21 |
| 중상 | 6 | 26% | 6·8·9·13·14·20 |
| 상 | 6 | 26% | 15·16·17·18·22·23 |
하 난이도가 3문항뿐입니다. 1·2·3번을 넘기면 곧바로 중 난이도로 들어가고, 6번에서 이미 중상이 나옵니다. 시험지 앞부분에서 시간을 벌어 두는 전략이 잘 통하지 않는 구성입니다.
상이 6문항(26%) 이라는 점은 특히 중요합니다. 상 난이도 문항 여섯 개가 그대로 등급을 가르는 구간이라고 보면 됩니다.
출제 단원 — 다항함수의 미분법 15문항, 극한과 연속 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 6 | 4·5·11·12·15·20 |
| 01 함수의 극한 | 5 | 1·9·16·19·23 |
| 03 미분계수와 도함수 | 4 | 2·3·18·22 |
| 02 함수의 연속 | 3 | 6·7·13 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 8·10·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 2 | 14·17 |
대단원으로 묶으면 II 다항함수의 미분법 15문항(65%), I 함수의 극한과 연속 8문항(35%) 입니다.
미분 파트가 3분의 2입니다. 그중에서도 05 도함수의 활용 (2), 즉 함수의 증가·감소와 극대·극소·최대·최소에서 6문항이 나와 단일 단원 최다입니다. 4·5·11·12번은 중 난이도로 확보 가능한 구간이고, 15번(상)과 20번(중상 서술형)이 여기서 나옵니다.
한편 06 도함수의 활용 (3) 은 범위 표기상 눈에 잘 띄지 않지만 14·17번 두 문항이 배치돼 있고, 둘 다 "두 그래프의 교점의 개수" 유형입니다. 17번은 상 난이도입니다. 방정식·부등식에의 활용까지 반드시 범위에 넣고 준비해야 합니다.
시그니처 유형 — "미분가능성과 연속성" 3회
이 시험을 관통하는 개념은 미분가능성과 연속성입니다. 18·21·22번 세 문항에서 쓰였고, 그중 18번과 22번이 상 난이도입니다.
여기에 다음 유형들이 2회씩 겹칩니다.
- 다항함수의 결정 — 18·23번
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 19·23번
- 함수의 극한값의 존재 — 16·23번
- 함수의 그래프와 연속 — 6·14번
- 함수가 연속일 조건 (응용) — 7·17번
- 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 — 8·15번
- 함수의 극대·극소 — 15·22번
- 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 12·18번
- 두 그래프의 교점의 개수 — 14·17번
정리하면 이 시험의 축은 두 개입니다. 하나는 "연속인데 미분가능하지 않은 지점"을 다루는 능력(18·21·22번), 다른 하나는 "그래프를 그려 교점 개수·근의 개수를 세는 능력"(14·17·22번)입니다. 상 6문항 중 5문항이 이 두 축 안에 들어옵니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 극한 기본과 미분법 공식 (1·2·3번) — 3문항, 전부 하
1번 함수의 극한값 구하기, 2번 평균변화율, 3번 곱의 미분법·미분법의 공식. 정의와 공식만 정확히 알면 끝나는 구간입니다. 여기서 시간을 쓰면 뒤가 무너집니다.
2. 함수의 연속 (6·7·13번) — 3문항
6번 중상 함수의 그래프와 연속·(x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속·연속함수의 성질, 7번 중 함수가 연속일 조건(응용)·0/0 꼴의 극한(유리식), 13번 중상 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간. 6번은 그래프가 주어진 상태에서 세 가지 성질을 동시에 판정해야 하는 합답형입니다. (x−a)f(x) 꼴이 x=a에서 연속이 되는 조건은 이 학교가 실제로 물어본 지점이므로 반드시 정리해 두세요.
3. 접선의 방정식 (8·10번) — 2문항
8번 중상 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 10번 중 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우·기울기가 주어진 경우·접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이. 접선 세 유형(접점 주어짐 / 기울기 주어짐 / 곡선 밖의 점)이 모두 나왔습니다. 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선은 접점을 미지수로 놓는 표준 풀이를 반복 훈련해야 합니다.
4. 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소 (4·5·11·12번) — 4문항, 전부 중
4번 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 11번 최대·최소의 활용; 부피, 12번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정·삼차함수가 극값을 가질 조건. 네 문항 모두 중 난이도이고, 삼차함수의 도함수 판별식 조건(D≤0이면 증가·감소, D>0이면 극값 존재) 하나로 5번과 12번이 함께 정리됩니다. 확보해야 하는 4문항입니다.
5. 극한의 도형 활용 (9번) — 1문항, 중상
9번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이·0/0 꼴의 극한(무리식). 도형에서 길이나 넓이를 문자로 표현한 뒤 극한을 계산하는 유형입니다. 무리식이 섞이므로 분모·분자의 유리화가 필수입니다.
6. 서술형 (19~23번) — 5문항
19번 중 미정계수의 결정·∞/∞ 꼴의 극한·미분계수를 이용한 극한값 계산(3문항 구조의 소문항형), 20번 중상 도함수의 그래프의 해석·도함수의 그래프를 이용한 극대·극소·함수의 그래프와 증가·감소, 21번 중 롤의 정리·최대·최소 정리·미분가능성과 연속성(빈칸 채우기형 증명), 22번 상 미분가능성과 연속성·방정식 f(x)=k의 실근의 개수·함수의 극대·극소, 23번 상 다항함수의 결정·∞/∞ 꼴의 극한·함수의 극한값의 존재.
21번은 롤의 정리 증명 과정의 빈칸을 채우는 문항입니다. 교과서 본문 증명의 논리 순서(닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능, 최대·최소 정리 적용)를 그대로 물어봤습니다. 교과서 정리 증명을 읽어두면 그대로 득점되는 문항이니 절대 넘기지 마세요.
주의 문항 — 상 6문항
15번 상 (함수의 극대·극소) — 극대·극소에 삼차방정식의 근의 판별과 평균값 정리가 함께 얽혔습니다. 극값의 존재 여부를 근의 개수 문제로 바꿔 읽는 전환이 필요합니다.
16번 상 (개수 세기형 계단함수의 극한) — 이 시험에서 가장 이질적인 문항입니다. 조건을 만족하는 개수를 세어 만든 함수의 극한을 다루므로, 좌극한과 우극한이 다른 지점을 직접 찾아내야 합니다. 함수의 극한값의 존재 조건(좌극한 = 우극한)이 판정 기준입니다.
17번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 여기에 "함수가 연속일 조건(응용)"이 결합돼 있습니다. 그래프 개형을 그린 뒤 수평선을 움직이며 교점 개수를 세는 표준 흐름에, 연속 조건이 한 겹 더 붙은 형태입니다.
18번 상 (미분가능성과 연속성) — 다항함수의 결정, 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정이 함께 쓰였습니다. 구간별로 정의된 함수가 이어지는 지점에서 연속이면서 동시에 미분가능하려면 함숫값과 미분계수가 모두 일치해야 한다는 두 조건을 세워 미정계수를 잡는 유형입니다.
22번 상 (서술형, 미분가능성과 연속성) — 미분가능성 조건 위에 방정식 f(x)=k의 실근 개수까지 물었습니다. 이 시험에서 손이 가장 많이 가는 문항으로 보입니다.
23번 상 (서술형, 다항함수의 결정) — 극한 조건으로부터 다항함수의 차수와 계수를 역으로 결정하는 유형입니다. ∞/∞ 꼴의 극한값이 존재한다는 조건이 곧 분자·분모의 차수 관계라는 점, 0/0 꼴에서 극한값이 존재하면 분모가 0이 될 때 분자도 0이라는 점이 열쇠입니다.
용산고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- 극한 계산 기본기 — 0/0 꼴(유리식·무리식), ∞/∞ 꼴. 1·7·9·19·23번의 공통 토대.
- 미분법 공식과 평균변화율·미분계수 — 2·3번 확보. 곱의 미분법은 실수 없이.
- ★ 함수가 연속일 조건 — 구간별 정의 함수, (x−a)f(x) 꼴. 6·7·17번 대비.
- 사잇값 정리 — 13번 대비. 부호가 바뀌는 구간을 찾는 연습.
- 접선의 방정식 3종 — 접점 주어짐 / 기울기 주어짐 / 곡선 밖의 점. 8·10번 대비.
- 삼차함수 판별식 조건 — 증가·감소 조건과 극값 존재 조건. 5·12번 대비.
- 최대·최소의 활용 — 부피·넓이를 변수로 두고 미분. 4·11번 대비.
- ★ 미분가능성과 연속성 — 함숫값 일치 + 미분계수 일치. 18·21·22번을 관통하는 최중요 주제.
- ★ 두 그래프의 교점·실근의 개수 — 그래프 개형 후 수평선 이동. 14·17·22번 대비.
- 도함수의 그래프 해석 — f'(x)의 그래프만 보고 f(x)의 증감·극값 읽기. 20번 서술형 대비.
- 교과서 정리 증명 암기 — 롤의 정리, 평균값 정리, 최대·최소 정리. 21번 빈칸형 대비.
- ★ 다항함수의 결정 — 극한 조건으로 차수·계수 역산. 18·23번 대비, 마지막 마무리.
자주 나오는 질문
용산고 2학년 2학기 중간 수학은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 23문항입니다. 객관식 1~18번, 서술형 19~23번 구조입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많고, 함수의 극한 5문항, 미분계수와 도함수 4문항, 함수의 연속 3문항, 도함수의 활용 (1) 3문항, 도함수의 활용 (3) 2문항 순입니다. 대단원으로는 다항함수의 미분법이 15문항(65%) 입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도가 6문항(26%) 입니다. 15·16·17·18번이 객관식 후반에 연속으로 배치돼 있고, 서술형 22·23번도 상입니다.
서술형 배점 비중은 어떻게 되나요?
배점 정보는 확보된 분석 자료에 포함돼 있지 않아 단정할 수 없습니다. 다만 서술형이 5문항(19~23번) 이고 그중 세 문항이 중상 이상이라는 점은 확인됩니다.
방정식·부등식에의 활용도 나오나요?
나옵니다. 14번과 17번이 "두 그래프의 교점의 개수" 유형이고 배치 단원은 도함수의 활용 (3)입니다. 17번은 상 난이도입니다.
과년도 용산고 기출도 볼 수 있나요?
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용산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출 받아보기
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